第08讲 四边形及多边形（4个知识点+12大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第08讲 四边形及多边形（4个知识点+12大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 四边形的不稳定性 题型二 多边形的概念与分类 题型三 多边形截角后的边数问题 题型四 网格中多边形面积比较 题型五 多边形对角线的条数问题 题型六 多边形内角和问题 题型七 正多边形的内角问题 题型八 多边形截角后的内角和问题 题型九 正多边形的外角问题 题型十 多边形外角和的实际应用 题型十一 多边形内角和与外角和综合 题型十二 平面镶嵌 知识点一：多边形 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 【即时训练】 1．（2025·河北沧州·模拟预测）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有 个． 【答案】 【分析】根据邻余四边形概念作出相应图形即可求解． 【详解】解：如图所示： 故该方格纸中符合条件的邻余四边形ABCD的个数有6个． 故答案为：6． 【点睛】考查了邻余四边形概念的理解与运用，正确理解新定义是解题的关键． 知识点二：正多边形 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 【补充】（1）正n边形有n条对称轴． 2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 【即时训练】 1．（2025八年级下·广东深圳·模拟预测）如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 2（25-26八年级下·重庆·月考）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 知识点三：多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·云南昆明·月考）历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求多边形的内角和，根据多边形的内角和公式，，进行求解即可． 【详解】解：八边形的内角和为； 故选A． 2．（24-25八年级下·全国·期中）如图，是一块四边形钢板缺了一个角，根据图中所标出的测量结果得所缺损的的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟知四边形的内角和是解题的关键；用减去其余各角即可得解． 【详解】解：由题意，， 故答案为：． 知识点四： 多边形外角和定理 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）九边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的外角和性质，牢记任意多边形的外角和都是是解题的关键. 多边形的外角和恒为，与边数无关，由此可解. 【详解】解：∵ 任意多边形的外角和都等于, ∴ 九边形的外角和为. 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北荆州·月考）如图，科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 米． 【答案】18 【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， ∵每一次都是左转40°， ∴多边形的边数＝360°÷40°＝9， 周长＝9×2＝18（米）． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键． 【核心考点一 四边形的不稳定性】 【例1】（24-25八年级上·重庆开州·期中）下列图形中具有稳定性的是（    ） A．梯形 B．长方形 C．三角形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据三角形的稳定性求解即可． 【详解】解：梯形、长方形、正方形不具有稳定性，三角形具有稳定性， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的性质，熟记三角形的稳定性是解题的关键． 【例2】（2025·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 【答案】C 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，根据四边形的不稳定性求解即可． 【详解】解：升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是：四边形的不稳定性， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·广东云浮·期中）新兴县实验中学教学楼一楼打开或者关闭铁闸门的过程是利用了四边形的 【答案】不稳定性 【分析】利用四边形的不稳定性进行解答． 【详解】解：铁闸门做成四边形的形状，是利用四边形的不稳定性，易变形的特性． 故答案为：不稳定性． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，四边形的不稳定性运用比较广泛，铁闸门的制作运用了四边形的不稳定性． 【例4】（2025八年级下·浙江·专题练习）生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ． 【答案】平行四边形具有不稳定性 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的不稳定性求解可得． 【详解】解：因为平行四边形具有不稳定性， 所以可以灵活的开关窗户， 故窗户的支撑装置（四边形被设计成平行四边形． 故答案为：平行四边形具有不稳定性． 【核心考点二 多边形的概念与分类】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中不是凸四边形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了凸四边形的定义，正确理解该概念是解题的关键． 根据凸四边形的定义，所有内角小于，且所有顶点位于任意一边的同一侧叫做凸四边形，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个矩形，满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； B、是一个平行四边形，满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； C、满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； D、有一个内角大于，且有一个顶点位于其他顶点的对侧，不满足凸四边形的定义，不是凸四边形，符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·河北沧州·期中）下列图形是正多边形的是（    ） A．   B．   C．    D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形，根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案． 【详解】解：A.是等腰三角形，不是正多边形，故选项A不符合题意； B.是圆角矩形，不是正多边形，故选项B不符合题意； C.是正五边形，符合题意； D.是一般六边形，不是正多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是 ． 【答案】看图中有无直角 【分析】本题考查了多边形的概念与分类，根据题意，得出③④都是有直角的，①②都是无直角的，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵题干的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②， ∴该分类的标准是看图中有无直角， 故答案为：看图中有无直角 【例4】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键． 据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出符合条件的点D的位置即可． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知， 所有符合条件的点D共有3个，即图形中的， 故答案为：3 【核心考点三 多边形截角后的边数问题】 【例1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可． 【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【答案】D 【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，    ∴剩下纸片的角的个数为3或4或5； 故选D． 【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 【例3】（24-25八年级上·重庆綦江·期中）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 【答案】6或7或8 【分析】存在三种情况，根据图示进行分析． 【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图 一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8， 故答案为：6或7或8． 【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解． 【例4】（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是 ． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 【核心考点四 网格中多边形面积比较】 【例1】（24-25八年级·江苏·假期作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 【例2】（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 【例3】（24-25八年级下·浙江·期中）如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个 【答案】6 【分析】A，B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A，B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4即可使△ABC的面积为2个平方单位． 【详解】解：符合条件的点C如图， 可知共有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况． 【例4】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 【核心考点五 多边形对角线的条数问题】 【例1】（24-25八年级上·广东珠海·期末）一个五边形，它的对角线共有（   ）条 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形对角线， 根据边形对角线有条即可解答． 【详解】解：五边形的对角线条数是：， 故选：C 【例2】（24-25八年级上·河北沧州·月考）如图，要使一个六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少需要再钉上几根木条（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的对角线，三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性是关键． 根据三角形的稳定性，即可得到答案． 【详解】解：从一个顶点作三条对角线，形成三个三角形，即可使六边形木架不变形，如图： 故选：B． 【例3】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）从九边形的一个顶点出发画这个多边形的对角线，最多可以画 条． 【答案】 6/六 【分析】本题主要考查了多边形对角线的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．根据“从n边形的一个顶点出发可以画条对角线”进一步求解即可． 【详解】解：∵图形为九边形， ∴从一个顶点出发画这个多边形的对角线，最多可以画条， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级下·陕西西安·月考）学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线．如图，过四边形的一个顶点可以作1条对角线，过五边形的一个顶点可以作2条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 【答案】7 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键．根据从一个多边形的一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十边形从一个顶点出发，可以画条对角线． 故答案为：． 【核心考点六 多边形内角和问题】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，对于定理的理解是解决本题的关键． 多边形的内角和公式为，其中为边数且，因此内角和必须是的整数倍。 【详解】解：∵ 多边形的内角和为， ∴ 内角和必为的倍数。 A、，为整数，不符合题意； B、，为整数，不符合题意； C、，为整数，不符合题意； D、，不为整数，符合题意． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，部分多边形的三角剖分方法如下图，如：四边形三角剖分得到两个三角形，它的内角和为，用你发现的规律求七边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义：多边形的三角剖分，多边形内角和的探究，熟练掌握新定义是解题的关键．根据七边形三角剖分得到五个三角形，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，七边形三角剖分得到五个三角形， 它的内角和为． 故选：B． 【例3】（2025·广东东莞·模拟预测）中式园林中的窗户讲究对称美．如图，窗户外框可以抽象成图中的正八边形，则这个正八边形的内角和为 ． 【答案】/1080度 【分析】本题主要考查了多边形的内角和问题，掌握n边形的内角和为是解题的关键． 根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：这个八边形的内角和为， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是 度． 【答案】60 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理．求出每个内角度数，然后根据周角求出答案． 【详解】解：∵正六边形内角和：， ∴每个内角度数：， ∴， ∴的度数为． 故答案为：60． 【核心考点七 正多边形的内角问题】 【例1】（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的内角问题，根据多边形的内角和公式，求出的度数，再利用角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意，，， ∴； 故选A． 【例2】（2025·山东青岛·模拟预测）运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形为正五边形，三角形为正三角形，延长交CD于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，根据题意求出该正五边形的每个内角度数为：，即可求解； 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴该正五边形的每个内角度数为：； ∴； ∵三角形为正三角形， ∴； ∴； ∴； 故选：B 【例3】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，正八边形内接于，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查正多边形内角和公式，正多边形的内角性质，熟练掌握正多边形内角和公式是解题关键． 先确定正八边形的边数为，然后代入正多边形内角和公式算出内角和，再结合正八边形内角相等的性质，求出作为其内角的的度数． 【详解】解：对于边数为（且为整数）的正多边形，其内角和为， 正八边形的边数为， 则其内角和为， 正八边形的所有内角大小相等且为其内角， ． 故答案为：． 【例4】 （2025·吉林松原·模拟预测）如图，六个正九边形的中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中 度． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件求得正九边形每个内角的度数是解题的关键． 利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求得正九边形每个内角的度数，然后利用角的和差即可求得答案． 【详解】解：正九边形每个内角的度数为， 则， 故答案为：． 【核心考点八 多边形截角后的内角和问题】 【例1】（24-25八年级上·广西柳州·期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形． 【详解】解：∵当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形， ∴这张纸原来的形状可能是四边形或五边形或三角形，不可能是六边形； 即原多边形纸片的边数为:． 故选． 【点睛】本题考查了多边形剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条． 【例2】（24-25八年级上·北京西城·期中）如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的内角和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据n边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为 ． 【答案】或或 【分析】根据直线不同位置，得出不同的情况，从而得出答案． 【详解】解：将一个长方形切去一个角后， 可得如图三类图形，即五边形，四边形和三角形， 则内角和分别为，，， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形内角和，角的意义以及分类讨论思想，主要考查学生的画图能力和理解能力，题目比较典型，是一道比较容易出错的题目． 【例4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为 1800°的新多边形，则原多边形的边数为 ． 【答案】11 【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案． 【详解】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得： （n﹣2）180°＝1800°， 解得n＝12， 原多边形是12﹣1＝11， 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是要熟练掌握多边形的内角和公式． 【核心考点九 正多边形的外角问题】 【例1】（25-26八年级上·新疆昌吉·期中）已知一个正多边形的一个外角是，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，熟知多边形外角和为360度是解题的关键． 利用正多边形的外角和为的性质，每个外角相等，即可求解边数． 【详解】解：这个多边形的边数为， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，小杨从点A出发，沿直线前进后左转，再沿直线前进后左转，……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形外角的性质，掌握此性质是关键． 根据多边形外角和为可得所走的多边形是正八边形，则可求得其周长，从而得所走的路程． 【详解】解：依题意，每次沿直线前进后向左转，再回到出发点时走了一个正多边形， ∵， ∴正好走了一个正八边形，其周长为． ∴一共走的路程是． 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·辽宁营口·期末）已知一个正多边形的一个外角为，则这是个正 边形． 【答案】八/ 【分析】本题考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为．利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 【详解】解：多边形的每个外角相等，且其和为，可得 ， 故答案为：八． 【例4】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图所示，该正六边形图案的外角和为 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和为即可得解． 【详解】解：该正六边形图案的外角和为， 故答案为：． 【核心考点十 多边形外角和的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键． 多边形的外角和为，与四边形的外角和均为，即可作答． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴与四边形的外角和与均为， ∴， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·山西大同·月考）如图，是的三个外角，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的外角和性质，根据三角形外角和为以及进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的三个外角， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【例3】（2025·宁夏·模拟预测）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数可直接让除以一个外角度数即可． 由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形， ∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：， 则第一次回到出发点时，该机器人共走了步， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案．若，则 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和是是解题的关键．根据多边形的外角和是和已知条件即可求出的度数． 【详解】解：根据多边形的外角和是得： ， 故答案为：． 【核心考点十一 多边形内角和与外角和综合】 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图是正n边形纸片的一部分，其中只有，和边是完整的，直线l与破损的边，相交．若，则n的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】此题考查了正多边形外角和内角综合，如图所示，首先求出，得到，然后利用多边形内角和得到，求出，然后求出相邻外角为，然后根据正多边形外角性质求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵多边形是正n边形， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ， ∴， ∴与相邻的多边形的一个外角为， ∵正n边形的外角和为， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，八边形中，、的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，先求出，再求出五边形的内角和，即可得解． 【详解】解：∵，，，的外角和等于， ∴， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴， 故选：A． 【例3】（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，是五边形的4个外角，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和，先求出相邻的外角为，由多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：， 与相邻的外角为， ， 故答案为． 【例4】（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）2025年4月24日，神舟十二号发射圆满成功，内蒙古籍航天员王杰飞上太空，在鄂尔多斯市广大校园中掀起学习载人航天精神的热潮．某学校举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，如图，设计了航天纪念章，则此正八边形徽章一个内角的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角度数、正多边形的外角和，因为多边形的外角和为，正八边形的个外角都相等，所以每个外角的度数是，又因为正八边形的每一个内角与它相邻的外角互为邻补角，所以正八边形徽章每一个内角的大小为． 【详解】解：正八边形的个外角都相等， 每个外角的度数是， 正八边形徽章每一个内角的大小为． 故答案为： ． 【核心考点十二 平面镶嵌】 【例1】（2025八年级下·江苏无锡·模拟预测）下面四种正多边形平面镶嵌，每个顶点处正多边形不完全相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面镶嵌，根据图形逐项分析即可得出答案，掌握一个顶点处的度数是解此题的关键． 【详解】解：A、如图中点处， ， 由两个正六边形和两个正三角形围城，则，不符合题意； B、如图中点处， ， 由一个正方形和两个正八边形围城，则，不符合题意； C、如图中点处， ， 由两个正六边形和两个正三角形围城，则，不符合题意； 而D选项符合题意， 故选：D． 【例2】 （24-25八年级上·重庆丰都·期末）活动探究：有些地板的拼合图案如图所示，它是用正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙不重叠，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．商店出售下列形状的瓷砖（同一形状均是全等的），若只从其中选择一种瓷砖镶嵌地面（墙边墙角需要切割的部分忽略不计），则可以选择的是（   ）       A．只能④ B．只能③或④ C．只能①或②或④ D．只能①或③或④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合内角度数和能整除，任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除，由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数和是否能整除，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能，理解题意是解决问题的关键． 【详解】解：①三角形的内角和是，6个能组成镶嵌； ②四边形的内角和是，4个能组成镶嵌； ③正五边形每个内角是，不能整除，不能密铺； ④正六边形的每个内角是，能整除，3个能组成镶嵌； 综上所述，若只选购题中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖只能①或②或④， 故选：C． 【例3】（2025·陕西西安·二模）图形的镶嵌（或称图形的密铺）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是①正三角形②正方形③正五边形④正六边形 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了平面镶嵌，正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． 【详解】解：①等边三角形的内角为，（个），所以个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于，不符合题意； ②正方形的内角为，（个），所以个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于，不符合题意； ③正五边形的内角为，，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于，符合题意； ④正六边形的内角为，（个），所以个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于，不符合题意； 故答案为：③． 【例4】（2025·河北石家庄·一模）有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接，方式1：如图1；方式2：如图2． （1）若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是 ； （2）有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为 ． 【答案】 26 7 【分析】本题考查平面镶嵌，利用数形结合的思想是解题关键． （1）采用方式1拼接，则所得图案的外轮廓的周长为，将代入计算即可； （2）两种方式的一种或两种方式混合拼接，n越大，外轮廓周长越小，可得正六边形间重叠的边数越多，则把六个正六边形绕一个六边形拼接即可． 【详解】解：（1）有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长为． 故答案为：26； （2）按下图拼接，图案的外轮廓的周长为，此时正六边形的个数最多，即n的最大值为7． 故答案为：7． 【变式训练1 四边形的不稳定性】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列图形具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断． 【详解】解：三角形具有稳定性． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，这时木架的形状不会改变，这是因为三角形具有 ． 【答案】稳定性 【分析】根据三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，能解释这一实际应用的数学知识是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 【点睛】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【答案】见解析 【分析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可． 【详解】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键． 【变式训练2 多边形的概念与分类】 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的 ． 【答案】灵活性． 【分析】根据四边形的灵活性，可得答案． 【详解】我们常见的晾衣服的伸缩晾衣架，是利用了四边形的灵活性， 故答案为灵活性． 【点睛】此题考查多边形，解题关键在于掌握四边形的灵活性. 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，你能数出多少个不同的四边形？ 【答案】27 【分析】根据四边形的组成方式，分别数出由单个的四边形，由2个四边形，3个四边形，4个四边形，5个四边形，6个四边形，7个四边形组成的大四边形，从而可得答案． 【详解】解：单个的四边形：一共有9个， 由2个四边形组成的四边形有6个， 由3个四边形组成的四边形有4个， 由4个四边形组成的四边形有1个， 由5个四边形组成的四边形有4个， 由6个四边形组成的四边形有2个， 由7个四边形组成的四边形有1个， 故一共有27个四边形． 【点睛】本题主要考查了认识平面图形，做到不重复不遗漏的数图形是解题关键． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期末）随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．    (1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）    A．    B．    C．    D． (2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；    (3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．    【答案】(1)D (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案； （2）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案； （3）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图2，阴影部分的区域（含边界）内的点都是完美观测点， 即是完美观测点， 故选：D；    （2）如图，点，点落在图中阴影部分的区域（含边界）即可；    （3）如图所示：阴影部分即为所求.    【点睛】本题考查了多边形的应用，正确理解“完美观测点”的意义是解题的关键． 【变式训练3 多边形截角后的边数问题】 1．（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形，示意图见解析 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 4．（24-25七年级·全国·单元测试）用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三棱锥，剩下的几何体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）              【答案】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点 见解析 【分析】截去正方体的一个顶点，根据截面是否过与该顶点最近的三个顶点可知需要分四种情况. 【详解】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点，如图所示．（答案不唯一） 【点睛】本题考查平面截几何体,解题的关键是知道平面截正方体时,穿过了几个面或与几条棱相交. 【变式训练4 网格中多边形面积比较】 1．（24-25八年级下·重庆合川·期中）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（　 　） A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 【答案】B 【详解】试题分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答． 试题解析：如图： 小方格都是边长为1的正方形， ∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25 S△AED=DE•AE=×1×2=1， S△DCH=•CH•DH=×2×4=4， S△BCG=BG•GC=×2×3=3， S△AFB=FB•AF=×3×3=4．5． S四边形ABCD=S□EFGH-S△AED-S△DCH-S△BCG-S△AFB=25-1-4-3-4．5=12．5． 故选B． 考点：三角形的面积． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上，问在格点上是否存 在一个点C，使△ABC的面积为2，这样的点C有_________个． 【答案】5 【分析】根据三角形的面积分别以2为高，1为高求出底边的长，然后在网格结构上确定出点C的位置即可得解． 【详解】要分情况讨论①若以2为高时，有四个点满足题意；②若以1为高时有一个点满足题意，所以这样的点有5个．如图所示： 【点睛】本题考查了三角形的面积，以及分类讨论的数学思想．利用网格结构，根据高的不同，分情况求出底边的长是确定点C的位置的关键． 3．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)求证：； (2)四边形ABCD的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （2）根据题意可得：四边形ABCD的面积=△ADC的面积+△ABC的面积，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：证明：连接AC， 由题意得：AD2=12+22=5， CD2=22+42=20， AC2=52=25， ∴AD2+CD2=AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC=90°； （2）解：如图： 由题意得： 四边形ABCD的面积=△ADC的面积+△ABC的面积 =AC•DF+AC•BE =×5×2+×5×1 =5+ = 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图： (1)以A为顶点画△ABC，使顶点B、C都在格点上，且AB＝2，AC＝，BC＝5； (2)在（1）中你画的△ABC中，求AC边上的高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先利用勾股定理找到使AB=的点B，同样的方法找到点C可能的位置，再选取使得BC=5的位置，从而画出图形； （2）先求出△ABC的面积，再以AC为底求出对应的高即可． 【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求； （2）由图可知： △ABC的面积==5， ∵AC=， ∴AC边上的高为==． 【点睛】本题考查作图-应用与设计、勾股定理以及三角形的面积公式，解题的关键是结合勾股定理找出相应线段的长，属于中考常考题型． 【变式训练5 多边形对角线的条数问题】 1．（24-25八年级上·四川绵阳·月考）为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（   ）场比赛． A．30 B．45 C．105 D．210 【答案】C 【分析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m-1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛 m（m-1）． 【详解】解：15支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：×15×（15-1）=105． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的对角线的知识，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义，利用多边形的对角线条数的知识进行解答． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，过边形一个顶点的对角线条数是边数的，则 . 【答案】13 【分析】根据过n边形一个顶点有n-3条对角线进行解答即可． 【详解】解：∵过十边形的一个顶点有7条对角线，∴m=10， ∵三角形没有对角线，∴n=3， 又∵k-3= k，解得，k=6， ∴m-n+k=13， 故答案为13． 【点睛】本题考查的是多边形的对角线的求法，掌握过n边形一个顶点有n-3条对角线是解题的关键． 3．（24-25八年级下·河南郑州·开学考试）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【答案】(1)2，3， (2)5 (3) 【分析】（1）根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线，解答即可； （2）根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线，解答即可； （3）根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线，解答即可． 本题考查了多边形的对角线的规律探索，熟练掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：2，3，． （2）解：根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线， 故答案为：5． （3）解：根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】    【规律发现】 (1)七边形的对角线条数为______． (2)三边形的对角线条数可表示为，四边形对角线条数可表示为，五边形的对角线条数可表示为，…，n边形的对角线条数可表示为______． (3)【规律应用】若一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数和对角线的条数． 【答案】(1)14 (2) (3)这个多边形的边数为11，对角线的条数为44． 【分析】此题考查多边形对角线计算公式，多边形内角和公式，图形类规律探究， （1）根据各图形分别求出对角线条数，由规律即可得到答案； （2）利用（1）的计算结果即可得到规律； （3）设多边形的边数为n，则列方程为，解得，再根据（2）求出对角线． 【详解】（1）三边形的对角线条数可表示为， 四边形对角线条数可表示为， 五边形对角线条数可表示为， 六边形对角线条数可表示为， 七边形对角线条数可表示为， 故答案为：14； （2）三边形的对角线条数可表示为， 四边形对角线条数可表示为， 五边形对角线条数可表示为， … n边形的对角线条数可表示为， 故答案为：； （3）设多边形的边数为n，则 ，解得， 对角线为（条）， ∴这个多边形的边数为11，对角线的条数为44． 【变式训练6 多边形内角和问题】 1．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，的度数为（   ） A．180° B．240° C．300° D．360° 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和定理，三角形的内角和定理； 【详解】解：连接，可得， ∴， ∵，， ∴， ∵在四边形中，， ∴. 故选：D. 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，求的度数 【答案】/540度 【分析】本题主要考查了三角形内角和的定理、多边形内角和定理等知识点，将所求角度的和转化为五边形的内角和成为解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理以及对顶角的性质可得，进而将所求角度的和转化为五边形的内角和求解即可 【详解】如图：连接，设与相交于点． 在和中，，， 又∵(对顶角相等)， ∴． ∴，即为五边形的内角和． ∵五边形的内角和为， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）求出下列图形中的值． 【答案】36；40 【分析】本题考查了四边形内角和，解题的关键是结合四边形的内角和寻求等量关系，构建方程． 先根据四边形内角和为，用建立方程，对每个逐一求解即可． 【详解】解：图①：四边形的内角和等于， ， 解得． 图②：四边形的内角和等于， ， 解得． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·月考）课本再现，探究多边形内角和与外角的关系． 多边形的边数 从一个顶点引出的对角线的条数 分割出的三角形的个数 多边形的内角和 3 0 1 4 1 2 5 2 3 ．．．．．． ．．． ．．． ．．．．．． n-3 (1)公式应用：若一个多边形的内角和是，则它的边数是___________；它的一个内角为与它相邻的外角为的关系是___________； (2)根据上述的探究过程，请推导出多边形的外角和为 【答案】(1)8， (2)见解析 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，多边形对角线分三角形个数问题，多边形外角和定理，三角形内角和定理，熟知多边形的相关知识是解题的关键． （1）根据从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度，n边形的内角和为，而它的一个内角为与它相邻的外角为是互为邻补角，即可得出； （2）结合多边形的内角和公式及相邻内外角关系列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度， ∴n边形的内角和为； 当一个多边形的内角和是时，， 解得， ∴这个多边形的边数为8； 它的一个内角为与它相邻的外角为是互为邻补角，即． 故答案为8，． （2）证明：设多边形为边形 多边形的内角和外角的和为 边形所有外角和内角的总和为 多边形外角和为 ． 【变式训练7 正多边形的内角问题】 1．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的外角，三角形的内角和定理，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵为正五边形的外角， ∴， ∴； 故选：C． 2．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在1970年墨西哥“世界杯”上使用的足球由32块手缝嵌面组成12块黑色的正五边形和20块白色的正六边形，如图是侧面展开图局部，则图中∠α度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角. 先求出正五边形和正六边形的每个内角，进而根据镶嵌的定义即可求出． 【详解】解：如图所示， ∵正五边形的每个内角为， 正六边形的每个内角为， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·北京·期中）2025年9月3日，我们迎来了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的重要时刻．这次阅兵，由徒步方队、装备方队和空中梯队组成．空中护旗梯队由多型直升机组成，他们以“最高标准、最好状态、最佳效果”飞过天安门上空，接受祖国和人民的检阅．如图1，26架直升机汇成巨大的“”字样，其中“”由14架飞机组成，“”由12架飞机组成．如图2，将每一架飞机当作一个点，连接形成由两个正八边形组成的图案“”如果将B，C两点隐去，连接AE，DF，则得到图3中的图案“”．发现“”的面积比“”的面积大，求组成正八边形“”的相邻两架飞机的距离是多少米？ 【答案】组成正八边形的相邻两架飞机的距离是20米． 【分析】本题考查了正八边形的性质，连接，根据正八边形的性质求得，再得到，设米，则，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ，均为正八边形的一个内角， ， ， 设米， ∴， 解得：，（舍去） ∴组成正八边形的相邻两架飞机的距离是20米． 4．（24-25八年级上·河北沧州·月考）中，，分别以和为边作正方形和正六边形． (1)如图，当和重叠时，求n的值． (2)调整的大小，使和的夹角，直接写出调整后n的值． 【答案】(1)150 (2)145或155 【分析】本题考查了正多边形的内角和及周角的度数，解题的关键是能求出正方形和正六边形的内角的度数． （1）先求出和的度数，然后根据求解； （2）分两种情况画出图形求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形和正六边形， ∴，， ∴ ， ∴； （2）解：如图， ∵ ， ∴； 如图， ∵ ， ∴； 综上可知，n的值为145或155． 【变式训练8 多边形截角后的内角和问题】 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案． 【详解】三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°， ①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件， ②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件， ③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件， ④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件， ∴符合条件的剪法是①③， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）一个凸多边形除一个内角外，其余各角之和为2750°，这个多边形的边数为 ，除去的这个内角的度数为 ． （2）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是 ． （3）一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】 18 130° 10，11，12 4或5 【分析】（1）设这个多边形的边数为a，根据凸多边形的内角和公式列出不等式，再根据a的整数性可得出a的值，从而可得内角和，然后减去即可得出答案； （2）先根据内角和公式求出剪完后多边形的边数，从而可得原来多边形的边数； （3）设这个多边形的边数为，这个内角的度数为x，先根据内角和公式、外角的定义列出等式，求出n的等式，再根据n为正整数、求解即可． 【详解】（1）设这个多边形的边数为，则这个多边形的内角和为 由题意得 解得 因a为正整数 则，除去的这个内角的度数为 故答案为：18；； （2）设剪去一个角后，形成的多边形的边数为 则 解得 因为一个多边形截去一个角后，其边数可以增加1条、不变、减少1条 所以原来多边形的边数为10或11或12 故答案为：10或11或12； （3）设这个多边形的边数为，这个内角的度数为x 由题意得 解得 为正整数 是的倍数 又，即有 或 代入，解得或5 故答案为：4或5． 【点睛】本题考查了多边形的内角和、外角的定义等知识点，利用内角和公式中n的整数性求解是解题关键． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 4．（24-25八年级上·广东惠州·月考）阅读下题及解题过程． 如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？ 如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为． 上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论． 【答案】不正确，见解析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或． 【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答案． 【详解】上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下： 如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是； 如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是． 所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【变式训练9 正多边形的外角问题】 1．（2025·河北保定·模拟预测）小刚设计了用n个完全相同的△ABC纸片(如图1)拼接正多边形的游戏，用6个△ABC纸片按照图2所示的方法拼接起来，能够围成正六边形．如果用若干个△ABC纸片按照图3所示的方法拼接起来，那么能够围成的正多边形为（    ） A．正六边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 【答案】C 【分析】先根据正六边形计算一个内角为120度，可知△ABC各角的度数，再根据图3中正多边形的内角的度数，可得结论． 【详解】解：∵正六边形每一个内角为120°， ∴∠ACB=120°-80°=40°， ∴∠CAB=180°-120°=60°， ∴图3中正多边形的每一个内角为60°+80°=140°， ∵， ∴可以得到外轮廓的图案是正九边形． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和图形的变化类，解决本题的关键是掌握正多边形内角和与外角和公式． 2．（24-25八年级上·吉林延边·月考）一个正方形、一个等边三角形和一个正五边形如图摆放，若∠3=36°，则∠1+∠2 的大小是 度． 【答案】66 【分析】先分别求出正五边形的每个内角的度数、等边三角形的每个内角的度数，正方形的每个内角的度数，再根据多边形的外角和等于360°和已知求出即可． 【详解】正五边形的每个内角的度数是×（5﹣2）×180°=108°，等边三角形的每个内角的度数是60°，正方形的每个内角的度数是90°． ∵三角形的外角和等于360°，∴∠1+108°+∠3+60°+∠2+90°=360°，∴∠1+∠2+∠3=102°． ∵∠3=36°，∴∠1+∠2=66°． 故答案为66． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角、正多边形等知识点，能根据题意得出∠1+108°+∠3+60°+∠2+90°=360°是解答此题的关键，注意：边数为n（n≥3）的多边形的内角和=（n﹣2）×180°，多边形的外角和=360°． 3．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 4．（24-25八年级下·四川达州·月考）如图，小华在空旷的操场上向右行走米后，接着向左转，再向前行走米，再接着向左转，再向前行走米，…这样一直走下去．    (1)请你补画出小华第四次的行走路线示意图，并描述该次行走路线与首次行走路线的关系． (2)小华能回到原出发点吗？若能，求出小华第一次回到原出发点所走过的路程，若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析，该次行走路线与首次行走路线平行 (2)能，小华第一次回到原出发点所走过的路程是米 【分析】（1）根据题意先画出示意图，然后判断出小华走六次得到的图形是正六边形，可得答案； （2）根据小华走六次得到的图形是正六边形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示：    ∵，每次向前行走米， ∴小华走六次得到的图形是正六边形， ∴第四次行走的路线与首次行走路线平行； （2）能； ∵，每次向前行走米， ∴小华走六次得到的图形是正六边形， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了米． 【点睛】本题主要考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【变式训练10 多边形外角和的实际应用】 1．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形外角的性质和多边形外角和定理得出答案即可． 【详解】解：由三角形外角的性质可得：等于中间四边形四个外角的和， 故， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和多边形外角和定理，判断出所求角度的和等于中间四边形四个外角的和是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图所示，分别以边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 . 【答案】4π 【详解】∵多边形的外角和为360°， ∴=π×22=4π（cm2）． 故答案为：4π． 3．（24-25八年级上·云南昭通·月考）求下列图中x的值． 【答案】图1中x的值为95，图2中x的值为60 【分析】根据五边形内角和与四边形外角和列方程求解即可． 【详解】在图1中，由五边形内角和可知， 解得：， 在图2中，由四边形外角和可知：， 解得：， 答：图1中x的值为95，图2中x的值为60． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记公式是解题的关键． 4．（24-25八年级上·吉林辽源·期中）如图，小东在足球场的中间位置，从A点出发，每走6m向左转60°，已知AB=BC=6m． （1）小东是否能走回A点，若能回到A点，则需走几m，走过的路径是一个什么图形？为什么？（路径A到B到C到…） （2）求出这个图形的内角和． 【答案】（1）走过的路径是一个边长为6的正六边形；（2）720°． 【详解】试题分析：1）利用外角和为360°计算出多边形的边数即可； （2）利用内角和公式直接计算即可． 试题解析：（1）从A点出发，每走6m向左转60°， 走过的路径是一个边长为6的正六边形； （2）正六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°． 【变式训练11 多边形内角和与外角和综合】 1．（24-25八年级上·重庆江津·期末）如图，正边形纸片被撕掉一块，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了多边形的内角和外角和，延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数，掌握相关定义是解题的关键． 解：如图，延长，交于点，   ， ， 正多边形的一个外角为， ， 故选：． 2．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）小明用一笔画成了如图所示的图形，则的度数为 . 【答案】540°. 【分析】根据五边形的内角和是540°，可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠1=540°，又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1=∠E+∠2，∠2=∠F+∠G，从而求出所求的角的和． 【详解】在五边形ABCDH中：∠A+∠B+∠C+∠D+∠1=540°， ∵∠1=∠E+∠2，∠2=∠F+∠G， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°. 故答案为540°. 【点睛】此题考查多边形的内角和与外角和，解题关键在于掌握其定理. 3．（24-25八年级上·重庆秀山·期中）（1）根据图中的相关数据，求出的值； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题关键是牢记边形的内角和是，外角和是． （1）利用四边形内角和是列出方程即可求解； （2）利用内角和公式及外角和是，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形内角和是， ∴， ∴， ∴； （2）设这个多边形的边数为n， ， ， ∴边数为6． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）(1)如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系； (2)如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； (3)用你发现的结论解决下列问题： 如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 【答案】(1)；(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；(3) 【分析】（1）根据四边形的内角和等于用表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据（1）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：、、、是四边形的四个内角， ， ， ，， ， ； （2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和； （3）解：， ， 、分别是、的平分线， ，， ， ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，整体思想的利用是解题的关键． 【变式训练12 平面镶嵌】 1．（24-25八年级下·河南南阳·月考）小芳家装修时，选择了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意，先清楚正八边形的每个内角度数为，再求出所给选项中的图形每个内角的度数，看其能否够成的周角，并以此为依据进行求解判断即可． 【详解】解：A项，正八边形、正三角形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意； B项，正方形、正八边形的每个内角度数分别为，，由于，所以能铺满，符合题意 C项，正六边形和正八边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满； D项，正八边形、正五边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平面镶嵌，解决此类题的关键是记住几个常用正多边形的内角度数，以及能够用多种正多边形镶嵌的几个组合． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）把边长为2的正方形纸片分割成如图的四块，其中点为正方形的中心，点分别是，的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形的周长是 . 【答案】10或或 【分析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解． 【详解】如图所示： 图1的周长为1+2+3+2=6+2； 图2的周长为1+4+1+4=10； 图3的周长为3+5++=8+2． 故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2． 故答案为6+2或10或8+2． 【点睛】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙）的各种情况． 3．（24-25八年级上·江西·月考）已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． (1)试分别确定A，B是什么正多边形？ (2)画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 【答案】(1)A为正四边形，B为正三边形 (2)见解析 【分析】本题考查了平面镶嵌，正确求出A，B是什么正多边形是解此题的关键． （1）设B的内角为，则A的内角为，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据（1）所求答案画出图形即可． 【详解】（1）解：设B的内角为，则A的内角为， ∵个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌密铺， ∴， 解得：， ∴ ∴可确定A为正四边形，B为正三边形． （2）解：所画图形如下： 4．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形． （1）如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 （2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ （3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 【答案】（1）60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n；（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；（3）答案见详解． 【分析】（1）利用正多边形一个内角=180°-° 求解； （2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍； （3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形． 【详解】解：（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n， 故答案为60°，90°，108°，120°，…， ； （2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形； （3）正方形和正八边形（如下图所示）， 理由：设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应是方程m·90＋n·135＝360的正整数解， 即2m＋3n＝8的正整数解，只有 一组， ∴符合条件的图形只有一种． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和的知识点，求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 1．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角、个外角，该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 2．（2025·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案． 【详解】∵三角形具有稳定性， ∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线， ∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条）， ∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用显微镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用相似图形的性质判断即可． 【详解】解：∵所有六边形都是正六边形， ∴ 依题意，用显微镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大， 故选：D. 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）． 如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．受此启发，小广提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，画出n的值为5时对应的图形并数出对应的三角形个数，据此可得t的值等于2倍的m的值加上n的值减2． 【详解】解：如图所示，当时， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，． 故选：A． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，连接、，利用任意凸多边形的外角和均为正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可，熟记公式是解答本题的关键． 【详解】解：连接、， 多边形的每个外角相等，且其和为 据此可得多边形的边数为： ， 故选：． 6．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为 ． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 7．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 8．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，点，分别在四边形的边，上，将沿直线翻折，点恰好落在边上，若，，则 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，四边形的内角和，折叠的性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据折叠的性质得到，求得，根据四边形的内角和得到，即可得到结论． 【详解】解：将沿直线翻折，点恰好落在边上， ∴， ，， ， ， ， ， 故答案为： 9．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． 【答案】 / 【分析】（）多边形内一点，可与多边形顶点连接条线段，构造出个三角形； （）若点取在一边上，则可以与其他顶点连接出条线段，可以分边形为个三角形； 本题考查了多边形的对角线，正确找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形； （）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形． 故答案为：，． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，边数为，观察每个正边形中的变化情况，当时， ． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的内角和外角和计算，分别计算正三角形，正四边形，正五边形中的值，找到计算思路，据此求出当时的度数，熟练掌握正多边形外角和及内角与外角的关系是解题的关键 【详解】解：正三角形中， ， 正四边形的每个内角为，， 正五边形的每一个内角为，， 正六边形的每一个内角为，， 依次类推，正n边形的每一个内角为， 则， ∴当时，． 故答案为： 11．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）已知一个正多边形的每个内角均为． (1)求这个正多边形的边数． (2)若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查正多边形性质，以及分式方程的应用，设这个正多边形的边数为，根据正多边形外角和为，表示出正多边形一个内角，根据一个正多边形的每个内角均为建立等式求解，即可解题． （2）本题考查负整数指数幂，以及正多边形的周长，利用负整数指数幂运算法则算出正多边形的边长，再根据周长定义计算即可． 【详解】（1）解：设这个正多边形的边数为， 利用多边形外角可得，， 解得， 经检验，使得， 所以是该方程的解， 答：这个正多边形的边数为． （2）解：， 该正多边形的周长为． 答：该正多边形的周长为． 12．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形． (1)小明一共走了多少米? (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了 (2) 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和． （1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意，得这个正多边形的外角为， 该正多边形的边数为， ． 答：小明一共走了． （2）解：由（1）知这个正多边形的边数为9边形，则这个正多边形的内角和为． 13．（25-26八年级下·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 14．（24-25八年级下·山东临沂·期末）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明； （2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？ （3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？ 【答案】（1）见解析，∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，三角形中的外角和为360°，见解析；（2）∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°，见解析；（3）多边形的外角和和都是360°，见解析 【分析】（1）经测量得出∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°，∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，则据此得出结论三角形中的外角和为360°，根据平角是180°和多边形内角和证明即可； （2）分别测量出几个角并求出这几个角的和，得出结论：在四边形的外角和是360°；根据（1）中证明方法证明即可； （3）猜想：多边形的外角和和都是360°．根据（1），（2）方法证明即可； 【详解】解：（1） 经测量知∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°， ∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°， 发现：三角形中的外角和为360°， 理由：∵∠CBD+∠ABC＝180°， ∠ACE+∠ACB＝180°， ∠BAC+∠BAF＝180°， ∴∠CBD+∠ACE+∠BAF+∠ABC+∠ACB+∠BAC＝540°， 又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°； （2） ∠RQG＝125°，∠SRH＝113°，∠PSM＝48°，∠QPN＝74°， 所以∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°； 发现：在四边形的外角和是360°； ∵∠RQG+∠PQR＝180°，∠SRH+∠QRS＝180°，∠PSM+∠RSP＝180°，∠QPN+∠QPS＝180°， ∵∠RQG+∠PQR+∠SRH+∠QRS+∠PSM+∠RSP+∠QPN+∠QPS＝720°， ∵∠PQR+∠QRS+∠RSP+∠QPS＝360°， ∴∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°． （3）猜想：多边形的外角和都是360°． 设多边形为n边形，则n边形的每一个内角与它相邻的外角的和为180°， ∴n边形的外角和＝180°n﹣（n﹣2）×180°＝180°n﹣180°n+360°＝360°． 【点睛】此题考查多边形外角和的知识，利用平角是180°结合多边形内角和证明即可． 15．（24-25八年级下·山西运城·期末）阅读下列材料，并完成相应任务． 关于同一种多边形的平面密铺 平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题① 铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为___________，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题② 认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③ 观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④ 图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 【答案】任务一：问题①360；问题②不能，理由见解析 任务二：问题③三角形，四边形；问题④ 【分析】本题考查了多边形内角和、平面镶嵌，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：问题①：根据题意即可得出答案；问题②：求出正五边形的内角度数，结合①的结论即可得出答案； 任务二：问题③：结合图形即可得出答案；问题④：由图形并结合题意计算可得答案． 【详解】解：任务一： 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺； 问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下： ∵正五边形的每一个内角度数为，， ∴正五边形不以进行密铺； 任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺； 问题④：由图形并结合题意可得：的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 四边形及多边形（4个知识点+12大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 四边形的不稳定性 题型二 多边形的概念与分类 题型三 多边形截角后的边数问题 题型四 网格中多边形面积比较 题型五 多边形对角线的条数问题 题型六 多边形内角和问题 题型七 正多边形的内角问题 题型八 多边形截角后的内角和问题 题型九 正多边形的外角问题 题型十 多边形外角和的实际应用 题型十一 多边形内角和与外角和综合 题型十二 平面镶嵌 知识点一：多边形 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 【即时训练】 1．（2025·河北沧州·模拟预测）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有 个． 知识点二：正多边形 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 【补充】（1）正n边形有n条对称轴． 2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 【即时训练】 1．（2025八年级下·广东深圳·模拟预测）如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 2（25-26八年级下·重庆·月考）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为 ． 知识点三：多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·云南昆明·月考）历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期中）如图，是一块四边形钢板缺了一个角，根据图中所标出的测量结果得所缺损的的度数为 ． 知识点四： 多边形外角和定理 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）九边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北荆州·月考）如图，科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 米． 【核心考点一 四边形的不稳定性】 【例1】（24-25八年级上·重庆开州·期中）下列图形中具有稳定性的是（    ） A．梯形 B．长方形 C．三角形 D．正方形 【例2】（2025·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 【例3】（24-25八年级上·广东云浮·期中）新兴县实验中学教学楼一楼打开或者关闭铁闸门的过程是利用了四边形的 【例4】（2025八年级下·浙江·专题练习）生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ． 【核心考点二 多边形的概念与分类】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中不是凸四边形的是（   ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北沧州·期中）下列图形是正多边形的是（    ） A．   B．   C．    D．   【例3】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是 ． 【例4】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 个． 【核心考点三 多边形截角后的边数问题】 【例1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【例3】（24-25八年级上·重庆綦江·期中）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 【例4】（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是 ． 【核心考点四 网格中多边形面积比较】 【例1】（24-25八年级·江苏·假期作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【例2】（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【例3】（24-25八年级下·浙江·期中）如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个 【例4】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【核心考点五 多边形对角线的条数问题】 【例1】（24-25八年级上·广东珠海·期末）一个五边形，它的对角线共有（   ）条 A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25八年级上·河北沧州·月考）如图，要使一个六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少需要再钉上几根木条（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）从九边形的一个顶点出发画这个多边形的对角线，最多可以画 条． 【例4】（25-26八年级下·陕西西安·月考）学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线．如图，过四边形的一个顶点可以作1条对角线，过五边形的一个顶点可以作2条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 【核心考点六 多边形内角和问题】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，部分多边形的三角剖分方法如下图，如：四边形三角剖分得到两个三角形，它的内角和为，用你发现的规律求七边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·广东东莞·模拟预测）中式园林中的窗户讲究对称美．如图，窗户外框可以抽象成图中的正八边形，则这个正八边形的内角和为 ． 【例4】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是 度． 【核心考点七 正多边形的内角问题】 【例1】（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山东青岛·模拟预测）运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形为正五边形，三角形为正三角形，延长交CD于，则（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，正八边形内接于，则的度数为 ． 【例4】 （2025·吉林松原·模拟预测）如图，六个正九边形的中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中 度． 【核心考点八 多边形截角后的内角和问题】 【例1】（24-25八年级上·广西柳州·期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·北京西城·期中）如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的内角和为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为 ． 【例4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为 1800°的新多边形，则原多边形的边数为 ． 【核心考点九 正多边形的外角问题】 【例1】（25-26八年级上·新疆昌吉·期中）已知一个正多边形的一个外角是，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【例2】（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，小杨从点A出发，沿直线前进后左转，再沿直线前进后左转，……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·辽宁营口·期末）已知一个正多边形的一个外角为，则这是个正 边形． 【例4】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图所示，该正六边形图案的外角和为 ． 【核心考点十 多边形外角和的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【例2】（25-26八年级上·山西大同·月考）如图，是的三个外角，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·宁夏·模拟预测）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步． 【例4】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案．若，则 【核心考点十一 多边形内角和与外角和综合】 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图是正n边形纸片的一部分，其中只有，和边是完整的，直线l与破损的边，相交．若，则n的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，八边形中，、的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，是五边形的4个外角，若，则 ． 【例4】（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）2025年4月24日，神舟十二号发射圆满成功，内蒙古籍航天员王杰飞上太空，在鄂尔多斯市广大校园中掀起学习载人航天精神的热潮．某学校举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，如图，设计了航天纪念章，则此正八边形徽章一个内角的大小为 °． 【核心考点十二 平面镶嵌】 【例1】（2025八年级下·江苏无锡·模拟预测）下面四种正多边形平面镶嵌，每个顶点处正多边形不完全相同的是（   ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级上·重庆丰都·期末）活动探究：有些地板的拼合图案如图所示，它是用正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙不重叠，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．商店出售下列形状的瓷砖（同一形状均是全等的），若只从其中选择一种瓷砖镶嵌地面（墙边墙角需要切割的部分忽略不计），则可以选择的是（   ）       A．只能④ B．只能③或④ C．只能①或②或④ D．只能①或③或④ 【例3】（2025·陕西西安·二模）图形的镶嵌（或称图形的密铺）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是①正三角形②正方形③正五边形④正六边形 ．（填序号） 【例4】（2025·河北石家庄·一模）有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接，方式1：如图1；方式2：如图2． （1）若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是 ； （2）有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为 ． 【变式训练1 四边形的不稳定性】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列图形具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，这时木架的形状不会改变，这是因为三角形具有 ． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【变式训练2 多边形的概念与分类】 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的 ． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，你能数出多少个不同的四边形？ 4．（24-25八年级下·广东深圳·期末）随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．    (1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）    A．    B．    C．    D． (2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；    (3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．    【变式训练3 多边形截角后的边数问题】 1．（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 4．（24-25七年级·全国·单元测试）用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三棱锥，剩下的几何体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）              【变式训练4 网格中多边形面积比较】 1．（24-25八年级下·重庆合川·期中）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（　 　） A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上，问在格点上是否存 在一个点C，使△ABC的面积为2，这样的点C有_________个． 3．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)求证：； (2)四边形ABCD的面积为______． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图： (1)以A为顶点画△ABC，使顶点B、C都在格点上，且AB＝2，AC＝，BC＝5； (2)在（1）中你画的△ABC中，求AC边上的高． 【变式训练5 多边形对角线的条数问题】 1．（24-25八年级上·四川绵阳·月考）为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（   ）场比赛． A．30 B．45 C．105 D．210 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，过边形一个顶点的对角线条数是边数的，则 . 3．（24-25八年级下·河南郑州·开学考试）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】    【规律发现】 (1)七边形的对角线条数为______． (2)三边形的对角线条数可表示为，四边形对角线条数可表示为，五边形的对角线条数可表示为，…，n边形的对角线条数可表示为______． (3)【规律应用】若一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数和对角线的条数． 【变式训练6 多边形内角和问题】 1．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，的度数为（   ） A．180° B．240° C．300° D．360° 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，求的度数 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）求出下列图形中的值． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·月考）课本再现，探究多边形内角和与外角的关系． 多边形的边数 从一个顶点引出的对角线的条数 分割出的三角形的个数 多边形的内角和 3 0 1 4 1 2 5 2 3 ．．．．．． ．．． ．．． ．．．．．． n-3 (1)公式应用：若一个多边形的内角和是，则它的边数是___________；它的一个内角为与它相邻的外角为的关系是___________； (2)根据上述的探究过程，请推导出多边形的外角和为 【变式训练7 正多边形的内角问题】 1．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在1970年墨西哥“世界杯”上使用的足球由32块手缝嵌面组成12块黑色的正五边形和20块白色的正六边形，如图是侧面展开图局部，则图中∠α度数为 ． 3．（25-26九年级上·北京·期中）2025年9月3日，我们迎来了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的重要时刻．这次阅兵，由徒步方队、装备方队和空中梯队组成．空中护旗梯队由多型直升机组成，他们以“最高标准、最好状态、最佳效果”飞过天安门上空，接受祖国和人民的检阅．如图1，26架直升机汇成巨大的“”字样，其中“”由14架飞机组成，“”由12架飞机组成．如图2，将每一架飞机当作一个点，连接形成由两个正八边形组成的图案“”如果将B，C两点隐去，连接AE，DF，则得到图3中的图案“”．发现“”的面积比“”的面积大，求组成正八边形“”的相邻两架飞机的距离是多少米？ 4．（24-25八年级上·河北沧州·月考）中，，分别以和为边作正方形和正六边形． (1)如图，当和重叠时，求n的值． (2)调整的大小，使和的夹角，直接写出调整后n的值． 【变式训练8 多边形截角后的内角和问题】 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）一个凸多边形除一个内角外，其余各角之和为2750°，这个多边形的边数为 ，除去的这个内角的度数为 ． （2）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是 ． （3）一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数是 ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 4．（24-25八年级上·广东惠州·月考）阅读下题及解题过程． 如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？ 如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为． 上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论． 【变式训练9 正多边形的外角问题】 1．（2025·河北保定·模拟预测）小刚设计了用n个完全相同的△ABC纸片(如图1)拼接正多边形的游戏，用6个△ABC纸片按照图2所示的方法拼接起来，能够围成正六边形．如果用若干个△ABC纸片按照图3所示的方法拼接起来，那么能够围成的正多边形为（    ） A．正六边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 2．（24-25八年级上·吉林延边·月考）一个正方形、一个等边三角形和一个正五边形如图摆放，若∠3=36°，则∠1+∠2 的大小是 度． 3．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 4．（24-25八年级下·四川达州·月考）如图，小华在空旷的操场上向右行走米后，接着向左转，再向前行走米，再接着向左转，再向前行走米，…这样一直走下去．    (1)请你补画出小华第四次的行走路线示意图，并描述该次行走路线与首次行走路线的关系． (2)小华能回到原出发点吗？若能，求出小华第一次回到原出发点所走过的路程，若不能，请说明理由． 【变式训练10 多边形外角和的实际应用】 1．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图所示，分别以边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 . 3．（24-25八年级上·云南昭通·月考）求下列图中x的值． 4．（24-25八年级上·吉林辽源·期中）如图，小东在足球场的中间位置，从A点出发，每走6m向左转60°，已知AB=BC=6m． （1）小东是否能走回A点，若能回到A点，则需走几m，走过的路径是一个什么图形？为什么？（路径A到B到C到…） （2）求出这个图形的内角和． 【变式训练11 多边形内角和与外角和综合】 1．（24-25八年级上·重庆江津·期末）如图，正边形纸片被撕掉一块，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）小明用一笔画成了如图所示的图形，则的度数为 . 3．（24-25八年级上·重庆秀山·期中）（1）根据图中的相关数据，求出的值； （2）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）(1)如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系； (2)如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； (3)用你发现的结论解决下列问题： 如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 【变式训练12 平面镶嵌】 1．（24-25八年级下·河南南阳·月考）小芳家装修时，选择了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（    ） A．   B．   C． D．   2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）把边长为2的正方形纸片分割成如图的四块，其中点为正方形的中心，点分别是，的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形的周长是 . 3．（24-25八年级上·江西·月考）已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． (1)试分别确定A，B是什么正多边形？ (2)画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 4．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形． （1）如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 （2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ （3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 1．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 2．（2025·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用显微镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）． 如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．受此启发，小广提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存的数量关系为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为 ． 7．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 8．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，点，分别在四边形的边，上，将沿直线翻折，点恰好落在边上，若，，则 ． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，边数为，观察每个正边形中的变化情况，当时， ． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 11．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）已知一个正多边形的每个内角均为． (1)求这个正多边形的边数． (2)若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长． 12．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形． (1)小明一共走了多少米? (2)求这个正多边形的内角和． 13．（25-26八年级下·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 14．（24-25八年级下·山东临沂·期末）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明； （2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？ （3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？ 15．（24-25八年级下·山西运城·期末）阅读下列材料，并完成相应任务． 关于同一种多边形的平面密铺 平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题① 铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为___________，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题② 认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③ 观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④ 图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $