第15讲 一次函数的图象和性质（3个知识点+14大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第15讲 一次函数的图象和性质（3个知识点+14大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 正比例函数的图象与性质 题型二 判断一次函数的图象 题型三 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型四 已知函数经过的象限求参数范围 题型五 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型六 画一次函数图象 题型七 一次函数图象平移问题 题型八 一次函数图象与对称问题 题型九 判断一次函数的增减性 题型十 根据一次函数增减性求参数 题型十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型十二 比较一次函数值的大小 题型十三 求一次函数解析式 题型十四 一次函数的规律探究问题 知识点一：一次函数的图像 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，通过解析式上的点确定函数图象是解题关键． 根据解析式求出该函数图象与坐标轴的交点坐标，通过交点坐标逐项判断即可（也可根据，，通过函数图象经过的象限判断）． 【详解】解：令，则， ∴该函数图象经过点， 令，则，， ∴该函数图象经过点， 四个选项中，只有A选项的图象同时经过这两点， 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·课前预习）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是 ． 【答案】一条直线 【解析】略 知识点二：一次函数的图像与性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一次函数的图象不经过第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，需要根据一次函数的图象不经过第一象限这一条件，分析a和b的取值范围. 【详解】一次函数的图象有以下几种情况： 当时，图象经过第一、二、三象限； 当时，图象经过第一、三象限； 当时，图象经过第一、三、四象限； 当时，图象经过第一、二、四象限； 当时，图象经过第二、四象限； 当时，图象经过第二、三、四象限。 已知一次函数的图象不经过第一象限，所以图象只能经过第二、三、四或第二、四象限，此时. 【点睛】一次函数的图象性质：a决定直线的倾斜方向，b决定直线与y轴的交点位置。根据图象经过的象限，可快速判断a和b的符号. 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知一次函数（是常数），如果函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】由一次函数的函数值y随x的增大而减小可得为负，从而可求得m的取值范围． 【详解】解：由题意知，， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟悉一次函数的图象与性质是关键． 知识点三：一次函数的平移规律 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2） k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 【即时训练】 1．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据勾股定理求得，所以，，进而可得，，再根据平移的性质得，，，，总结出规律即可得解． 【详解】解：设点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ，， 将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得， ，，，，， 第次平移后，点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，平移的性质，勾股定理，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）已知直线与直线平行，且将直线向下平移5个单位后得到直线， 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，两条直线相交或平行问题以及一次函数图象的平移规律，若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．利用一次函数图象的平移规律“上加下减”和两直线相互平行时k的值相同，得出，的值，即可解题． 【详解】解：直线与直线平行， ， 直线向下平移5个单位后得到直线， ， 解得， ， 故答案为：． 【核心考点一 正比例函数的图象与性质】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）画正比例函数的图象，可以先描出原点和下列四个点中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正比例函数图象经过原点，且需另一个点确定直线方向. 当时，，故点 在函数图象上； 本题考查了正比例函数的图像，熟练掌握正比例函数的图像是解题的关键. 【详解】解：∵ 函数为 ， 当 时，， ∴ 点 在函数图象上； 故选：C. 【例2】（25-26八年级上·山西运城·期末）四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据对于正比例函数，当时，图象经过第一、三象限，k越大，图象越靠近y轴；当时，图象经过第二、四象限，越大，图象越靠近y轴，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】解：由图象可知： 的图象都经过第一、三象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以； 的图象都经过第二、四象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以，所以 综上所述：； 故选D． 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点和点都在正比例函数的图象上，则 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【分析】根据正比例函数 的图象性质，函数值随自变量增大而减小，通过比较点P 和点Q 的横坐标大小关系即可判断； 本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握在函数上，函数值随自变量增大而减小是解题的关键． 【详解】解：将点 P 的横坐标代入函数解析式 ， 得 ； 将点 Q 的横坐标代入函数解析式， 得 由于， 因此 ； 故答案为：＞． 【例4】（25-26八年级上·山西晋中·期中）图中直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例图象和性质，采用待定系数法即可求得答案． 【详解】因为直线经过原点，所以设直线对应的函数表达式为． 因为直线经过点，将其代入，得 ， 解得 ． 所以直线对应的函数表达式为． 故答案为： 【核心考点二 判断一次函数的图象】 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 当时，图象过一，三象限，时，图象过二，四象限，当图象与y轴交于正半轴，当图象与y轴交于负半轴，据此可求解． 【详解】解：∵，， ∴图象过二，三，四象限， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·山东威海·期末）小丽根据画出了函数的图象，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、分段函数等知识．根据x的取值范围确定函数图象即可得到答案． 【详解】解：当时，，图象为直线在y轴右侧部分，y随着x的增大而减小， 当时，，即为点， 当时，，图象为直线在y轴左侧部分，y随着x的增大而增大， 只有选项B符合题意， 故选：B 【例3】（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·北京·期末）“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出． 壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下面图象中适合表示y与x的对应关系 (不考虑水量变化对压力的影响)的是 (填序号即可)． 【答案】② 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴图象②适合表示y与x的对应关系． 故答案为：②． 【核心考点三 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例1】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数图象与系数关系，由斜率k和截距b的符号判断图象所经过象限即可． 【详解】解：由函数可知：， ∴图象经过第一、三、四象限； 故选D． 【例2】（25-26九年级上·江苏·期末）如图，图象上对应的一次函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 由图象可得，，，进而判断即可. 【详解】解：由图象可得，，， 观察选项，只有B选项中的解析式符合． 故选：B． 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据一次函数的与判断图象所经过的象限． 【详解】解：对于一次函数 ， ，， 图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 【例4】 （24-25八年级上·陕西西安·月考）已知点，在直线上，当时，，且，则在平面直角坐标系内，它的图象经过第 象限． 【答案】一，二，三 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意，判断，的正负是解答本题的关键． 根据点，在直线上，当时，，且，可以得到，的正负情况，然后根据一次函数的性质，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 点，在直线上，当时，，且， ，， 直线经过第一，二，三象限， 故答案为：一，二，三． 【核心考点四 已知函数经过的象限求参数范围】 【例1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）一次函数（为常数）的图象经过第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数中，的含义是解题的关键．由一次函数的图象经过第一象限，且与轴的负半轴交于点，可知直线必经过第一、三、四象限，此时，随的增大而增大，即． 【详解】∵一次函数与轴交于点，且经过第一象限， ∴直线必经过第一、三、四象限，此时，随的增大而增大， ∴的取值范围是． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）两个一次函数与，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，先结合每个选项的一次函数经过的图象，得出的取值范围，再分析与的的取值范围是否一致，即可作答． 【详解】解：A、观察一次函数的图象，得出；观察一次函数的图象，得出，故该选项符合题意； B、观察一次函数的图象，得出；观察一次函数的图象，得出，故该选项不符合题意； C、观察一次函数的图象，得出；观察一次函数的图象，得出，故该选项不符合题意； D、观察一次函数的图象，得出；观察一次函数的图象，得出，故该选项不符合题意； 故选：A． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）若一次函数的图象经过第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系．根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象与轴的交点坐标为，且图象经过第四象限， 函数的图象必经过第一、二、四象限， ， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·四川成都·期中）一次函数的图象如图所示：则点在平面直角坐标系中位于第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数范围，判断点所在的象限．先观察图象，得出一次函数经过第一、三、四象限，即，故点位于第四象限，即可作答． 【详解】解：观察图象，得出一次函数经过第一、三、四象限， ∴， 则点在平面直角坐标系中位于第四象限， 故答案为：四. 【核心考点五 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期中）若一次函数的图象经过点，且与x轴和y轴的交点到原点的距离相等，那么它的解析式不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，分别求出一次函数图象与x轴和y轴的交点即可得到答案． 【详解】解：当时，，，，， 即选项中的函数图象都经过点， A.当时，， 当时，，解得， ∴与x轴和y轴的交点分别为，，与x轴和y轴的交点到原点的距离都为，不符合题意； B. 当时，， 当时，，解得， ∴与x轴和y轴的交点分别为，，与x轴和y轴的交点到原点的距离不相等，符合题意； C. 当时，， 当时，，解得， ∴过原点，与x轴和y轴的交点到原点的距离相等，不符合题意； D.当时，， 当时，，解得， ∴与x轴和y轴的交点分别为，，与x轴和y轴的交点到原点的距离都为，不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·四川成都·期中）在一次函数中，x每增加1，增加了k，b没变，因此，y也增加了k．而如图所示的一次函数图象中从1变成2时，函数值从3变为5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2．小明发现在一次函数中，x每增加2，y就增加了1，则一次函数与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得函数中k的值为，则有，然后令，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 令，则有，解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为； 故选B． 【例3】（25-26八年级上·山东青岛·周测）直线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，掌握交点特征是解题的关键．把代入运算即可． 【详解】解：令，代入， 故交点坐标为 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）定义：在函数中，我们把关于x的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题： （1）一次函数的对称函数在y轴上的截距为 ； （2）若一次函数的对称函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为8，则k的值为 ． 【答案】 8 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，解题的关键是理解题目中对称函数的概念． （1）先根据对称函数的定义写出一次函数的对称函数的解析式，再令，求出对应的y值即可； （2）先求出的对称函数，再求出的长度，利用三角形面积公式列出等式，即可求解． 【详解】解：（1）根据对称函数的定义， 可知一次函数的对称函数是， 当时，， 一次函数在轴上的截距为， 故答案为：； （2）根据对称函数的定义， 可知一次函数的对称函数为， 当时，， 点坐标为， ， ， 当时，， 点坐标为， ， 三角形的面积为8， ， 解得或（舍， 故答案为：8． 【核心考点六 画一次函数图象】 【例1】（24-25八年级下·福建漳州·期中）土地沙漠化是人类生存的大敌，某地原有绿地a万公顷，由于人们环保意识不强，植被遭到严重破坏，经观察前段时间土地沙化速度为0.1万公顷年，当人们意识到环境恶化的危害性之后，决定改变环境，以每年0.3万公顷的速度进行绿化，那么年以后该地的绿地面积与时间的关系可用下图中的哪一个来近似地刻画（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】根据题意确定出前段时间沙漠化后的绿地面积不断减少，改变环境后绿地面积在增大，并判断出图象，然后选择答案即可． 【详解】解：原有绿地万公顷，前段时间土地沙化速度为0.1万公顷年， 绿地面积， 为随着时间增大而减小的一条线段， 环境恶化后，以每年0.3万公顷的速度进行绿化， 所以，绿地面积每年以万公顷的速度增加， 为随着的增大而增大的射线， 纵观各选项，只有D选项图形符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，理清土地沙漠化的变化过程，分决定改变环境前后两段确定函数图象是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·福建福州·期中）函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据画图像的基本步骤，画图判断即可． 【详解】解：∵， ∴函数的图像大致是   ， 故选C． 【点睛】本题考查了分段函数图像的画法，熟练掌握画图像的基本步骤是解题的关键． 【例3】（2026·江苏苏州·模拟预测）过，两点画一次函数的图象，若点的坐标为，则点的坐标可以是 （只需写出一个即可）． 【答案】，答案不唯一 【分析】本题考查一次函数的图象性质，理解“直线上的点坐标都满足函数解析式”是解题关键． 点需在一次函数的图象上，且不同于点，故可任取一个不为的值计算对应值． 【详解】解：已知一次函数解析式， 取，则， 故点坐标可为． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）下面有3个表格、3幅图、3个表达式，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上： 、 、 ． 【答案】 A，F，G B，E，I C，D，H 【分析】根据函数解析式、列表的特点及一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】y=-2x+1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … 5 3 1 -1 -3 … 对应函数图象如下： y=x-1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -3 -2 -1 0 1 … 对应函数图象如下： y=2x-1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -5 -3 -1 1 3 … 对应函数图象如下： 故答案为：A，F，G；B，E，I；C，D，H． 【点睛】此题主要考查一次函数图象与性质，解题的关键是熟知画一次函数的图象的方法． 【核心考点七 一次函数图象平移问题】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若将直线向上平移4个单位长度后得到新的直线，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据一次函数图象平移的规律“上加下减”，先确定平移前后直线解析式的关系，再求出的值． 【详解】解：一次函数图象向上平移个单位长度，即平移后的解析式为． 已知平移后直线为，因此可得： ，且，解得． 逐一分析选项： A、，与计算结果一致，符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移规律，解题关键是掌握“上加下减”的平移法则，建立平移前后解析式的联系． 【例2】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）将一次函数的图象平移得到图象的函数关系式为，则移动方法为 （    ） A．向左平移 4 个单位 B．向右平移 4 个单位 C．向上平移 4 个单位 D．向下平移 4 个单位 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移．根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移 4 个单位得到图象的函数关系式为． 故选：D 【例3】（24-25八年级下·广东江门·期中）将直线向上平移2个单位长度后得到的函数解析式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移的规则是解题的关键． 根据一次函数图象平移的规则，“上加下减常数项”，向上平移只改变常数项，则问题可解． 【详解】解：根据一次函数图象平移的规则，“上加下减常数项”，则直线向上平移2个单位长度，常数项增加2，得到． 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上移个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的的范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是运用数形结合思想． 求得平移后的直线解析式，求得直线过点、、时的值，结合图象即可求解． 【详解】解：将直线向上移个单位长度，得到直线， 将代入得，， 将代入得，，解得， 将代入得，，解得， 由图象可知， 当平移后的直线与折线只有一个交点时，则或． 故答案为：或． 【核心考点八 一次函数图象与对称问题】 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 【例2】 （25-26八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行条件k相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可． 【详解】A、点代入①，通过；②，通过；③，不通过；④，通过，通过的是①②④，该选项错误； B、交点在y轴上需时y值相等，时，①，②，③，④，②和④y值不相等，该选项错误； C、函数的，①，③，均与平行，该选项正确； D、②与③，关于x轴对称需x取相同值时，y值互为相反数，但时均为，不相反，该选项错误； 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）请写出直线关于轴对称的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握直线关于轴对称点的特点是关键．先求得经过，，设直线关于轴对称的直线解析式为，根据关于轴对称点的特点得出经过点，，待定系数法解析式，即可求解． 【详解】解：∵，当时，当时， ∴经过， 关于轴的对称点为 设直线关于轴对称的直线解析式为 ∴线经过点， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点，再把代入中求出n关于m的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴翻折后的图象函数表达式是， 故答案为：． 【核心考点九 判断一次函数的增减性】 【例1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列函数中的函数值y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数中，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 根据各选项的k值判断即可． 【详解】解：A、k的正负不确定，无法判断； B、，y随x增大而增大； C、，y随x增大而增大； D、，y随x增大而减小． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）某一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质．由随的增大而增大，可得一次项系数大于0，再判断是否经过点即可． 【详解】解：随的增大而增大， 一次项系数大于0，排除选项C，D， 对于，当时，， 的图象不经过点，排除选项A； 对于，当时，，B选项符合题意； 故选B． 【例3】（24-25八年级下·上海崇明·期末）已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而 ． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据直线与y轴的正半轴相交可得，即可得出，再根据一次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：当时，， 即直线与y轴的交点为． ∵一次函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴， ∴一次函数的函数值y随着x的增大而增大． 故答案为：增大． 【例4】（25-26八年级上·江西九江·期中）如果一次函数（为常数，）的图象经过点，那么的值随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性．将点坐标代入函数解析式求出k，再根据一次函数的比例系数k的符号，即可判断增减性． 【详解】解：∵一次函数（为常数，）的图象经过点， ∴， 解得， ∴y 的值随 x 的增大而减小． 故答案为：减小 【核心考点十 根据一次函数增减性求参数】 【例1】（24-25八年级下·海南·月考）一次函数的函数值随的增大而减小，的值可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，据此解答即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴k的值可能是， 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）已知点在一次函数的图象上且时，，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 先根据时，判断出一次函数的增减性，即可求出m的取值范围，即可求解． 【详解】解：时，， 随x的增大而减小， ，解得， 故m的值可能为5，不可能为，，． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系、函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 先根据一次函数过点的坐标确定常数项，再结合函数的增减性确定的取值范围，最后选取符合条件的值得到函数关系式． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 当时，，代入得， ∵ 随的增大而减小， ∴ ， 取，则函数关系式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）已知一次函数． （1）若该函数图象与轴的交点位于轴的正半轴，则的取值范围是 ． （2）当时，函数有最大值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数，解题关键是熟练掌握如何根据一次函数增减性求参数． （1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论； （2）根据题意得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）一次函数的图象与轴的交点位于轴的正半轴， ， 解得：； （2）在一次函数中， ， 随的增大而增大， 当时，函数有最大值， 当时，， 代入得， ， 解得：． 故答案为：①；②． 【核心考点十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知直线经过点，．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 【例2】 （24-25八年级下·福建宁德·期中）对于实数a，b，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，．若关于的函数为，则该函数的最小值是（    ） A．0 B．2 C．3 D．48 【答案】B 【分析】分，两种情况，求出x取值范围，并求出函数关系式，讨论极值即可． 【详解】当时，即， 得， 当时，； 当时，即， 得， 则． 所以，该函数得最小值是2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了实数的意义，一次函数的性质等，理解新定义的要求是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知函数，如果函数值，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求出当时，自变量的值，然后根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：当时， 解得： ∵函数， ∴随的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期末）小明在用“列表、描点、连线”的方法画一次函数（为常熟，）的图像时，列出与的几组对应值（如下表），请你细心观察，当= 时，小明计算的值是错误的． x … 0 1 2 3 … y … -3 -1 0 3 … 【答案】 【分析】根据一次函数的变化规律可看出，当增加1时，增加2，据此作答即可． 【详解】根据一次函数的变化规律可看出，当增加量相同时，的增加量也是相同的，根据表格可看出当时的变化量为2，当时的变化量为1， 当时的变化量为2，所以时应是1， ∴当时，小明计算的值是错误的， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，能够根据一次函数的变化规律得出增加1时，增加2是解题的关键． 【核心考点十二 比较一次函数值的大小】 【例1】（25-26八年级上·山西运城·期中）点都在直线上，则的关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较一次函数的函数值的大小，根据解析式可得一次函数的增减性，再根据增减性可得答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点都在直线上，且， ∴， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知，，是直线上的三个点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 根据一次函数的增减性，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ， ， 故选：B． 【例3】 （25-26八年级上·宁夏中卫·期末）在一次函数的图象上有和两点，则 ． 【答案】> 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的性质． 根据一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵和是一次函数图象上的两点，； ∴． 故答案为：>． 【例4】（25-26八年级下·山东淄博·月考）已知，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为 ．（从，，中选择一个符号填写） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出，的值是解题的关键； 通过代入点的横坐标到函数解析式中计算纵坐标，的值，并比较大小；或利用一次函数的增减性判断． 【详解】解：对于点，当时，； 对于点，当时，； 因为， 所以， 故答案为：． 【核心考点十三 求一次函数解析式】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． 设直线对应的函数表达式为，由图象可知直线过点、，代入解析式即可得到函数表达式． 【详解】解：设直线对应的函数表达式为， 由图象可知直线过点、，则 解得： 故该直线对应的函数表达式是， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出与之间的函数表达式（    ）； 时间：（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，由表格数据可知，每增加个小时，圆柱体容器液面高度增加厘米，据此解答即可求解，看懂表中数据的变化情况是解题的关键． 【详解】解：由表格数据可知，每增加小时，圆柱体容器液面高度增加厘米， ∴， 故选：． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图像经过点和，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及二元一次方程组的求解．利用待定系数法，将点坐标代入函数解析式得到关于和的方程组，然后求解即可． 【详解】解：一次函数的图像经过点和， ， 解得， 故答案为：，． 【例4】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）下表是某商品的数量x（个）与售价y（元）的对应关系，根据表中提供的信息可知y与x之间的关系式是 ． 数量x（个） 1 2 3 4 5 售价y（元） 10 18 26 34 42 【答案】 【分析】本题考查求一次函数解析式；观察表格数据，随的增加而均匀增加，判断为一次函数关系，利用待定系数法求解即可. 【详解】解：设与的关系式为， 由表格数据可知，当每增加，增加， ∴， 将点代入得，解得， ∴关系式为， 经验证其他点均符合， 故答案为：. 【核心考点十四 一次函数的规律探究问题】 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以的关于b的不等式，然后根据题意即可求得b的取值范围． 【详解】解：由题意可得， 点A的横坐标为2018， 在线段AB上恰好有2018个整点包括端点， ， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和不等式的性质解答． 【例2】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数规律探索问题，涉及的知识有：一次函数的性质，以及坐标与图形性质，对于直线，令求出y的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出B2的横坐标，即可求出的长，同理求出，，…，归纳总结即可得到的长．弄清题中的规律是解本题的关键． 【详解】解：对于直线，令，求出， ， 轴， 的纵坐标为2， 将代入中得：， ， ， 轴， 的横坐标为2， 将代入直线中得：， ， 与的纵坐标为4， 将代入中得：， ， ， 同理，…，， 则的长为． 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数；将整理为，根据题意得到，解二元一次方程即可． 【详解】解： 因为取什么值，该直线始终会经过同一个点 所以， 解得， 所以， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，由题意可得点在x轴上，且，求出，，，得出规律，即可得解． 【详解】解：由题意可得：点在x轴上，且， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线为， ∴，，， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 【变式训练1 正比例函数的图象与性质】 1．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点的坐标是解题关键．先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，顶点的坐标为， ∴， 又∵直角三角形的两直角边与轴平行，且， ∴， 设这个正比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得， 则这个正比例函数的表达式为， 故选：A． 2．（24-25八年级下·山东聊城·月考）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是 ． 【答案】丙 【分析】根据题意，得，故，根据图象，列式比较解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确读懂图形，正确处理信息是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 根据图象，得，, 故即； 同理，即； ，即 故丙的电阻最大， 故答案为：丙． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了正比例函数的定义、图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据正比例函数的定义可得，，从而可得，，再根据正比例的图象可得，由此即可得； （2）先求出正比例函数的解析式，再将点，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴，， ∴，， 又∵这个函数的图象过第二、四象限， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴正比例函数的解析式为， ∵，是图象上的两点， ∴，， ∴． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征      图象经过①_______ 由表达式可知，当时，； 图象经过第②_______象限 因为，且，所以当时，，当时，y___③，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而④_______． …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图象与性质． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_______；②_______；③_______；④_______ (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你完成填空并证明． 图象 图象的几何特征 证明过程      图象关于_______对称 【答案】(1)原点（或）；一、三；；增大 (2)y轴；证明见解析 【分析】本题主要考查正比例函数的图像和性质，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图像即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用数形结合思想，得出函数的性质即可． 【详解】（1）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征    图象经过原点 由表达式可知，当时，； 图象经过第一、三象限 因为，且，所以当时，，当时，，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而增大． …… 故答案为：原点（或）；一、三；；增大； （2）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 证明过程    图象关于y轴对称 设点，是该函数图像上的两点，其中， 所以，， 因为，所以， 则， 所以，即． 【变式训练2 判断一次函数的图象】 1．（25-26八年级上·河南郑州·月考）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 分和两种情况讨论，根据的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，结合选项即可得出答案． 【详解】解：当时，函数经过第一、三象限，函数经过第一、三、四象限； 选项中没有符合条件的图象； 当时，函数经过第二、四象限，函数经过第一、二、三象限； 选项B的图象符合要求． 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江西赣州·期末）已知一次函数y＝kx+b的图象数过点(3，5)与(﹣4，﹣9)． (1)求这个一次函数的解析式； (2)判断点(﹣2，﹣5)是否在这个一次函数的图象上． 【答案】(1)y＝2x﹣1 (2)在 【分析】（1）首先设出函数关系式y＝kx+b(k≠0)，根据待定系数法把(3,5)与(﹣4,﹣9)代入y＝kx+b，求出一次函数的解析式， （2）再把点(﹣2,﹣5)代入函数关系式，如果能满足关系式，则此点就在函数图象上． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为y＝kx+b(k≠0)， 一次函数的图象经过点(3，5)与(﹣4，﹣9)， ∴， 解得， 即这个一次函数的解析式为：y＝2x﹣1； （2）解：把点(﹣2，﹣5)代入y＝2x﹣1中： ∴2×(﹣2)﹣1＝﹣5， 故点(﹣2，﹣5)在图象上． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期中）设一次函数（为常数，且），图象过，． (1)求该一次函数的解析式，并画出它的图象； (2)判断点是否在该一次函数图象上． 【答案】(1)一次函数解析式为；图像见解析 (2)点不在该一次函数图象上，理由见解析 【分析】（1）把点和点坐标代入得到关于的方程组，然后解方程组即可； （2）把代入一次函数的解析式中，可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：把，分别代入得： ， 解得：， 一次函数解析式为， 画出图如图所示： ； （2）解：当时，， 点不在该一次函数图象上． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，凡是图象经过的点都能满足一次函数关系式． 【变式训练3 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）已知，，一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即一次函数的图象在一、三、四象限． 故选：A． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点 ．(填“”或“”或“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数解析式可得一次函数图象不经过第一象限，即可求解． 【详解】解：一次函数的，， 一次函数图象不经过第一象限， 一次函数图象不过点． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·假期作业）已知一次函数，试讨论其图象经过哪些象限？ 【答案】当时，图像经过第一、二、三象限； 当时，图像经过第一、三象限（过原点）； 当时，图像经过第一、三、四象限； 当时，图像经过第一、二、四象限． 【分析】本题考查一次函数图像的象限分布，关键在于理解一次函数中和对图像位置的影响． 函数表达式为，可以整理为，或者更直观地写成，即，其中．通过分析的不同取值范围，判断直线与轴交点的位置（的正负），从而确定图像经过的象限． 【详解】解：函数为，图像为一条直线，其经过的象限取决于的正负及的正负． 若，从左下向右上延伸． 令，解得． 此时，直线与y轴交于正半轴． 当时，，图像经过第一、二、三象限． 当时，，直线过原点，图像经过第一、三象限． 当时，，直线与y轴交于负半轴，图像经过第一、三、四象限． 若，直线从左上向右下延伸． 此时，由于，则， 故正数，所以无论为何负数，总是大于0． 即当时，，直线经过第一、第二、第四象限． 当时，图像经过第一、二、三象限； 当时，图像经过第一、三象限（过原点）； 当时，图像经过第一、三、四象限； 当时，图像经过第一、二、四象限． 4．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，左框中的实数x与右框中的实数y满足某个一次函数关系，输入x的值会输出一个y的值． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求m的值； (3)该一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】(1) (2) (3)一 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）计算函数值为9对应的自变量的值即可； （3）根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把，分别代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，即； （3）解：， 该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值，也考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质． 【变式训练4 已知函数经过的象限求参数范围】 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）一次函数的图象如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于1 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图像与性质．直接根据一次函数的图象进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·北京·期中）对于两个一次函数，我们称一次函数为这两个函数的复合函数．已知一次函数与的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常数m满足的条件是 ；若，一次函数与的复合函数的图象必经过定点 ． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特点，根据题意理解复合函数的表达式是解题的关键．先根据复合函数的定义得出一次函数与的复合函数，再由复合函数的图象经过第一、三、四象限得出关于的不等式，求出的取值范围即可；先求出一次函数与的复合函数，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数与的复合函数为， 复合函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得， 依题意，一次函数与的复合函数为， ， ， ， ， 当时，函数值与无关， 解得，此时， 复合函数的图象经过定点． 故答案为：；． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知一次函数（为常数，且）的图象不经过第三象限，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键，根据图象不经过第三象限，可得函数图象可能经过二、四象限或一、二、四象限，从而得到，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴函数图象可能经过二、四象限或一、二、四象限， ∵， ∴函数图象经过一、二、四象限， ∴， ∴． 4．（24-25八年级·北京·月考）在平面直角坐标系xOy中，对于非坐标轴上的点P给出如下定义：过点P向两坐标轴作垂线段，若垂线段和坐标轴围成的矩形的周长为m，则称点P为m系矩形点.下图中的P，Q两点均为10系矩形点. (1)已知点A（-2，m）是6系矩形点，则m=___________ (2)点B在第一象限，且是6系矩形点，则点B的坐标可以是___________；（写出一个即可） (3)点C在直线y=x+1上，且点C是6系矩形点，求点C； (4)已知一次函数y=nx+6的图像上存在6系矩形点，则n的取值范围是___________； 【答案】(1)1或-1 (2)（1，2）或（2，1）等 (3)C（1，2）或C（-2，-1） (4)n≥2或n≤-2 【分析】(1)根据题意，得|-2|+|m|=3，化简|m|=1，去掉绝对值即可. (2)设点B（a，b），则a＞0，b＞0，根据题意，得|a|+|b|=3，化简a+b=3，写出一组双正解即可. (3)设点C（p，p+1），根据题意，得|p|+|p+1|=3，分p＞0，p＜-1，-1＜p＜0三种情况化简计算即可. (4)以（3，0），（-3，0），（0，3），（0，-3）为顶点构造正方形，当直线y=nx+6与正方形有公共点时，直线上存在6系矩形点，且直线经过定点（0，6），利用，（3，0），（-3，0）分别确定n的界点值，结合图像确定全面的范围即可. 【详解】（1）因为点A（-2，m）是6系矩形点， 根据题意，得|-2|+|m|=3， 所以|m|=1， 解得m=1或m=-1， 故答案为：1或-1. （2）设点B（a，b），则a＞0，b＞0， 根据题意，得|a|+|b|=3， 所以a+b=3， 当a=1时，b=2；当a=2时，b=1；有无数组解， 故答案为：（1，2）或（2，1）等. （3）因为点C在直线y=x+1上， 设点C（p，p+1）， 因为点C是6系矩形点，根据题意，得|p|+|p+1|=3， 当p＞0时，化简，得p+p+1=3， 解得p=1，符合题意， 此时点C（1，2）； 当p＜-1时，化简，得-p-p-1=3， 解得p=-2，符合题意， 此时点C（-2，-1）； 当-1＜p＜0时，化简，得-p+p+1=3， 无解； 综上所述，点C（1，2）或点C（-2，-1）. （4）以（3，0），（-3，0），（0，3），（0，-3）为顶点构造正方形， 当直线y=nx+6与正方形有公共点时，直线上存在6系矩形点，且直线经过定点（0，6）， 当直线经过点（3，0）时，3n+6=0，解得n=-2；当直线经过点（-3，0）时，-3n+6=0，解得n=2； 故当一次函数y=nx+6的图像上存在6系矩形点时， n≥2或n≤-2. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，新定义的理解与应用，数形结合思想，分类思想，准确理解新定义，灵活把握一次函数的意义是解题的关键. 【变式训练5 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）能表示一次函数与正比例函数（m，n是常数，且）的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】主要考查了一次函数的图象和性质，要掌握它的性质才能灵活解题．根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：A、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第一、三象限，所以A选项错误； B、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以B选项错误； C、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以C选项正确； D、由一次函数图象得，，所以，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D选项错误． 故选：C． 2．（25-26八年级上·吉林·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②方程的解为；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，两直线的交点坐标的意义是解题的关键． 根据图示得到，，两直线交点坐标为，根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据图示，一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①正确； ∵两直线交点坐标为， ∴方程的解为，故②正确； 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴，故③错误，④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 3．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，一次函数的图象与轴的正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，且的面积为12． (1)求的值． (2)过点作直线与轴的负半轴相交于点，且，求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数的性质得到点B、C的坐标是解题的关键． （1）先求得点B、C的坐标，然后根据的面积为12，即可解答； （2）根据已知先求点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数表达式． 【详解】（1）解：∵的图象与轴的正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点， 令，则；令，则，解得， ∴，， ∴，， ∵的面积为12， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵过点作直线与轴的负半轴相交于点， ∴， 设直线的函数表达式为， 代入，， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 4．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是轴上一点，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)点的坐标为 【分析】本题考查运用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． （1）利用待定系数法求解； （2）设点的坐标为，则，根据三角形面积公式可列式求解即可； （3）根据折叠的性质可得结论． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将，代入， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， 则， 因为的面积为， 所以， 即， 解得或， 所以点的坐标为或； （3）解：当点的坐标为时，点的坐标为； 当点的坐标为时，点的坐标为 【变式训练6 画一次函数图象】 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，作直线、、，求出当时，，，，画出直线，由函数图象并结合即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作直线、、， 当时，，，， ∵， ∴如图，画出直线，结合图象可得，一次函数的图象应为直线， 故选：C． 2．（2025·四川成都·三模）一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为 ． 【答案】c＞a＞b 【分析】依据条件画出一次函数图像可直观判断． 【详解】解：∵＞0，＜0， 点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）纵坐标相等 ∴ y＝n﹣1是一条水平线 画出满足题意位置关系的函数图像如下， 由图像易得：c＞a＞b， 故答案为：c＞a＞b． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，依据性质去画出图像是解题关键． 3．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）已知函数是关于x的一次函数，求函数的表达式并在如图中画出该函数图象． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查一次函数的定义，画一次函数图象，先根据一次函数的定义得到，求出函数解析式，再画函数图象即可． 【详解】解：由是关于x的一次函数，得， 解得， 所以函数表达式为， 当时，， 当时，， 解得， 即一次函数的图象过、两点， 函数图象如图所示． 4．（2025·北京朝阳·二模）科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积（单位：）和装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上信息，解决问题： 若装置比装置早启动了，则装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________（结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取___________实验物质（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)见解析； (3)或，或； 【分析】本题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据当时，，当时，，与是正比例函数，求出解析式即可； （）根据画函数图象方法步骤即可； （）根据题意将图象向上平移个单位，然后观察图象即可； 观察图象即可． 【详解】（1）解：∵当时，，当时，， ∴与是正比例函数， 设， ∴，解得：， ∴， 当时，， 故答案为：； （2）解：如图， （3）解：∵装置比装置早启动了，如图， 根据图象可知，装置启动或时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为或， 故答案为：或，或； 在的条件下，根据图象可知，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取实验物质， 故答案为：． 【变式训练7 一次函数图象平移问题】 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的平移． 根据题意求得正方形各顶点的坐标，根据一次函数图象的平移规律可知平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵点的坐标为，正方形边长为3， ∴，，， 将直线沿轴向下平移个单位， 则平移后解析式为， 当过时，，解得； 当过时，，解得； ∴平移后的直线与正方形有交点，的取值范围是， 故选：D． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，与正比例函数的图象交于点，若一次函数的图象与直线，不能围成三角形，则k的值为 ． 【答案】或2或 【分析】本题考查一次函数的图象与性质的理解与综合应用能力．主要涉及一次函数图象上点的坐标特征，即经过函数的某点一定在函数的图象上；两直线平行，k值相等．恰当利用待定系数法求出一次函数与坐标轴的交点坐标，巧用“图象信息”进行分析是解本题的关键．利用待定系数法将点代入的解析式中即可求解b的值，再由的解析式得其恒过点，后根据图象移动变化可知当与，平行或经过点时符合题意，最后得出结论． 【详解】解：把点代入得，， ， 的解析式为， 的解析式为，当时，， 恒过点． 、、不能围成三角形， 当与平行时，、、不能围成三角形，则； 当与平行时，、、不能围成三角形，则； 当经过点时，、、不能围成三角形，则，解得． 当，2或时，、、不能围成三角形． 故答案为：或2或． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，线段垂直平分线的判定，熟知一次函数图象平移时k的值不变，只有b发生变化是解答此题的关键． 先通过待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质求直线的解析式． 【详解】解：设直线对应的函数解析式为， 点，在直线上， ， 解得， ∴直线对应的函数解析式为， ∵将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，，且， ∴垂直平分， ， ， 设直线对应的函数解析式为， 把点的坐标代入中， 得， 解得， 直线对应的函数解析式为． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点P分别作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，我们称折线为点P关于直线l的“L路径”，“L路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“L距离”．    (1)如图2，若直线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，求点O关于直线l的“L距离”； (2)如图3，将直线向左平移6个单位长度后得到直线m，且直线m与x轴、y轴分别交于D，C两点，O为坐标原点，求点O关于直线m的“L距离” 【答案】(1)点关于直线的“L距离”为； (2)点关于直线的“L距离”为. 【分析】本题考查了一次函数的坐标特征、函数图象的平移，解题的关键是根据“L路径”的定义，确定点、的坐标，进而计算“L距离”． （1）根据轴得的纵坐标为，代入直线的解析式求的横坐标，得的长度；根据轴得的横坐标为，代入直线的解析式求的纵坐标，得的长度，两者相加即“L距离”； （2）先根据平移规律得到直线的解析式，再同理确定、的坐标，计算与的长度和． 【详解】（1）解：∵轴，为原点， ∴的纵坐标为，代入，得，解得，即， ∴． ∵轴， ∴的横坐标为，代入，得，即， ∴ ∴点关于直线的“L距离”为． （2）解：直线 向左平移个单位，得直线的解析式： ∵轴，为原点， ∴的纵坐标为，代入，得，解得，即， ∴ ∵轴， ∴的横坐标为，代入，得，即， ∴． ∴点关于直线的“L距离”为． 答：（1）点关于直线的“L距离”为； （2）点关于直线的“L距离”为． 【变式训练8 一次函数图象与对称问题】 1．（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于直线的对称点，然后利用待定系数法即可求解． 【详解】解：直线与轴的交点为，与轴的交点为； 点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， 把点、代入， 得：， 解得：，， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河南·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”． 下列结论中：正确的是： （写出所有正确结论的序号） ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了新定义下的函数关系，解题的关键是掌握新定义． 根据“对偶关系”的定义，通过设点坐标，列方程求解，判断各结论是否正确． 【详解】解：①设点P在函数上，横坐标为m，则纵坐标为，点Q在函数上，横坐标为n，则纵坐标为， 若P与Q关于y轴对称，则Q的横坐标为，； 则， 解得， 故具有“对偶关系”，结论①错误； ②由①可知，点的坐标为 则函数与函数的“对偶值”为，结论②正确； ③当时，， 解得， ∴当，时，， 解得，结论③正确； 综上，正确的选项为：②③， 故答案为：②③． 3．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． （1）依据题意，由，则y随x的增大而增大，结合当时，；当时，，从而可以判断得解； （2）令，先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设直线的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值． 【详解】（1）解：∵在函数中，， ∴y随x的增大而增大． ∵当时，； 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：对于直线：，令，则． ∴， ∴点关于y轴的对称点为， ∵将l1向下平移n（）个单位长度得到直线， ∴设l2的函数表达式为， ∵直线过点， ∴， ∴． 4．（2025·河北唐山·二模）列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． 1 2 1 0 2 画出的图象如下． (1)求a和b的值． (2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象． (3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，图见详解 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的综合，利用待定系数法求出函数解析式是关键； （1）根据表格信息建立方程组求解的值； （2）把代入求出，再由表格画图即可； （3）求出A，B两点纵坐标，再根据点A，B关于轴对称，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ，解得： （2）解：当时，， ∴， 画图如下： （3）解：令，则，， 当点A，B关于轴对称时，， 解得：． 【变式训练9 判断一次函数的增减性】 1．（25-26八年级上·四川达州·期末）如表是一次函数中x与y的一些对应数值，则下列结论正确的是（   ） x … 0 1 2 … y … 6 3 1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过第一、二、三象限 C．关于x的方程的解是 D．该函数的图象与y轴的交点是 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图象与性质，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．根据表格信息求出一次函数表达式，根据一次函数图象与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：将和代入得到， 解得， 一次函数为， A、由可知，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B、由可知，该函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C、当时，，解得，该选项正确，符合题意； D、由一次函数为，当时，，函数图象与轴的交点是，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．设，当时，随着的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】本题考查了一次函数的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题需要先求出，然后根据，得到，然后即可求解． 【详解】解：把代入，得，， 把代入，得，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴随着的增大而增大． 故答案为：增大 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·月考）已知一次函数（k，b是常数，且）的图象经过两点． (1)求该一次函数解析式； (2)若，请分别求出函数y的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为5，最小值为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，关键是要理解函数图象上的点的坐标与函数图象的关系：若点在函数的图象上，那么点的坐标就满足函数的解析式． （1）将点的坐标代入一次函数的解析式中，得到关于，的二元一次方程组，解之即可； （2）根据函数图象的性质及函数的解析式求出的取值即可． 【详解】（1）解：∵点在该一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式为． （2）解：∵， ∴该一次函数的函数值随的增大而减小． 当时，； 当时，． ∴当时，该一次函数的函数值的取值范围是． 即最大值为5，最小值为 4．（24-25八年级上·福建三明·期中）类比一次函数的学习经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决下列问题． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 5 m 1 1 3 n … 表格中：__________，__________． (2)描点、连线：在平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，依次连接各点，画出该函数的图象；    (3)观察图象，填写函数性质： ①特殊点：最低点的坐标是__________； ②函数值：函数y的取值范围是__________； ③变化趋势：当x__________时，y随x的增大而减小； ④对称性：函数图象是轴对称图形，对称轴是__________． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)①②③④ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．正确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将自变量的值代入函数解析式，求出的值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象，写出函数的性质即可． 【详解】（1）解：当时，，当时； 故答案为：； （2）画出函数图象如图：    （3）①特殊点：最低点的坐标是； 故答案为：； ②函数值：函数y的取值范围是； 故答案为：； ③变化趋势：当时，随的增大而减小； 故答案为：； ④对称性：函数图象是轴对称图形，对称轴是； 故答案为：． 【变式训练10 根据一次函数增减性求参数】 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象性质，解题的关键是根据两个函数的系数关系（与的符号），判断图象特征是否一致（正比例函数过象限由符号决定，一次函数过象限由的增减性和的截距符号决定）． 先根据正比例函数的图象判断的符号（确定与异号或同号）；再根据该符号关系，判断一次函数的增减性（的符号）和轴截距（的符号），验证是否与选项中一次函数的图象特征一致；同时排除正比例函数不经过原点的选项． 【详解】解：∵ 是正比例函数，图象必过原点， ∴ 选项C中正比例函数不经过原点，此选项不符合题意； 剩余选项中，正比例函数均经过第二、四象限，故，即与异号（一正一负）． A、一次函数过第二、三、四象限，说明（函数递减）且（截距在轴负半轴），则与同号，与矛盾，此选项不符合题意； B、一次函数过第一、三、四象限，说明（函数递增）且（截距在轴负半轴），则与异号，与一致，此选项符合题意； D、一次函数过第一、二、三象限，说明（函数递增）且（截距在 轴正半轴），则与同号，与矛盾，此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·河北唐山·月考）当时，函数（为常数且）有最小值是，则函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据可得当时，有最小值，求出k的值得到函数解析式，当时，y取最大值，据此即可求解，掌握一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，y有最小值是， ∴， 解得， ∴， 当时，y取最大值，最大值为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)若点在线段上，点在直线上． 求： ①的范围； ②的最大值． 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）待定系数法解答即可； （2）①根据A，B的横坐标，解答即可． ②用含t的代数式表示出，根据一次函数的增减性确定最值即可． 本题考查了待定系数法，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得． 设直线的函数表达式为，把，代入，得 解得 直线的函数表达式为． （2）解：①点在线段上， ． 故的范围； ②解：点在直线上， ， ． ， 随t的增大而减小， 当，的最大值为． 4．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，正比例函数的性质，一次函数的平移问题． （1）根据一次函数k与b的特点列不等式组计算即可； （2）先根据正比例函数的特点求出m的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象， ∴是正比例函数， ∴， 解得：， ∴． 【变式训练11根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）对于一次函数，下表列出5组自变量与其对应的函数值，其中恰好有一个函数值有误，则这个错误的函数值是（   ） 0 1 2 3 3 6 9 13 15 A．3 B．6 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数．根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为12． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是13， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）对于一次函数（，为常数，且），部分的自变量与函数的对应值如下表： … … … … 若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据表中两对对应值，求出，的值，然后根据的取值范围和一次函数的增减性确定的最小值． 【详解】由表可知， 当时，；当时，，由题意得 一次函数的解析式为 ，， 当取最大值时，有最小值． 当时，，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式和一次函数的性质，学会利用一次函数增减性确定的最小值． 3．（24-25八年级下·四川宜宾·月考）已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求与的函数关系式． (2)若，，三点在该函数图象上，判断的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的增减性． （1）设，根据当时，；当时，，列出方程组，求出k和b的值，即可解答； （2）根据，得出在任意实数范围内，y随x的增大而增大，即可解答． 【详解】（1）解：是的一次函数， 设， ∵当时，；当时，． ∴ 解之得 与的函数关系式为． （2）解：∵， ∴在任意实数范围内，y随x的增大而增大， ∵． ． 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知一次函数，下表是与的部分对应值． … 0 3 … … __________ 1 __________ … (1)补全表格． (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数的图象． (3)写出一条关于一次函数的性质． 【答案】(1)，3 (2)图见解析 (3)当时，，答案不唯一 【分析】本题考查了一次函数，画出图象求得交点坐标是解题的关键； （1）根据待定系数法求得解析式，然后根据图象上点的坐标特征求得函数值即可； （2）利用描点法画出函数图象； （3）通过数形结合的思想进行求解，得出一条性质即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：当时，，解得：， ， 当时，， 当时，， 故答案为：，3； （2）解：描点，连线如下图： （3）解：通过观察图象知：当时，，答案不唯一． 【变式训练12 比较一次函数值的大小】 1．（25-26八年级上·广东茂名·期末）已知是一次函数的图象上的两点，则与的大小关系是（   ） A．比大4 B．比小4 C．比大2 D．比小2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数的增减性或代入点坐标计算差值来比较函数值大小．对于一次函数，当时，随的增大而减小；也可通过代入两点坐标，计算与的差值来判断大小关系． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小． ∵， ∴． 将、代入函数解析式， 得，， ∴，即比大4； 故选：A． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图是函数的图象，则下列结论正确的有 ．①当时，随的增大而减小；②若点在该图象上，则点必在该图象上；③点，在该函数图象上，若，则；④若无论为何值，关于的方程都有解，则的取值范围是． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了一次函数图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：①由函数的图象可知，当时，随的增大而减小，故选项结论正确； ②函数的图象关于对称，点在该图象上，且点与点也关于对称，所以点必在该图象上，故选项结论正确； ③要使，即，解得，故选项结论不正确； ④要使方程都有解，即与有交点，所以无论为何值，方程都有解，所以的取值范围是，故选项结论正确； 故答案为：①②④． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）若正比例函数的图象经过点，时，． (1)求m的取值范围； (2)若该函数图象上有三个点，则从小到大排列为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据当时，，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． （2）利用一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点，时，． ∴， 解得． （2）解：由（1）可知函数y随x的增大而减小， ∵该函数图象上有三个点，， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）已知y是x的一次函数，下表是列出了几组对应值． x … 0 2 … y … m 0 n … (1)求该函数的解析式； (2)请在坐标系中画出该函数的图象，并直接写出m，n的大小关系：m n（填“＞”，“＜”或“=”）． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数的图像和性质等知识点，根据待定系数法及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）中的函数解析式，画出函数图象即可，再求出m，n的值，然后比较大小解答． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 则， 解得， 所以一次函数的解析式为． （2）解：∵当时，；当时，， 则该函数的图象如图所示∶ 当时，； 当x＝2时，， ． 故答案为：＞． 【变式训练13 求一次函数解析式】 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一次函数的图象过点，，且函数图象经过第二、四象限，当时，，则该一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，，则，所以，从而得到，然后根据一次函数的性质得到，所以，从而确定一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与之间的关系如下表，则关于的一次函数的解析式是 ． 50 60 90 120 … 40 38 32 26 … 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题关键是选取表格中两组数据建立方程组，求解出一次函数的系数，同时注意验证结果的准确性． 要求关于的一次函数解析式，可设其形式为，选取表格中两组、的值代入，通过解方程组求出和． 【详解】解：设一次函数解析式为，选取点和 ，代入得方程组： ： ． 将代入： 解得：． 验证：将代入，左边，右边，符合； 同理代入也成立． ∴关于的一次函数解析式是． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知与成正比例函数关系，且当时，， (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）根据与成正比例函数关系，设出函数的解析式，再把当时，代入函数解析式即可求出k的值，进而求出与之间的函数表达式． （2）根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：设， 将时，代入， 解得：， ∴； （2）解：由， 当时，， 当时，， ∵函数中，， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴y的取值范围为． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，直线l经过原点，且点在直线l上． (1)求直线l的解析式； (2)已知直线与直线l平行，且过点，求直线的解析式； (3)直接写出直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图像的平移问题，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可设直线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）所求求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线l的解析式为； （2）解：∵直线与直线l平行， ∴可设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：在中，当时，，当时，， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积是． 【变式训练14 一次函数的规律探究问题】 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）小明同学在研究某一次函数的图象时，发现表中有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值的坐标是     x … 1 2 … y … 12 10 4 1 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据x的值每增加1，y的值相应的减少3；即点不符合该规律，即可解答． 【详解】解：由表发现， x的值从到，x的值增加1，y的值减少2； x的值从到1，x的值增加2，y的值减少6，即x的值增加1，y的值减少3； x的值从1到2，x的值增加1，y的值减少3； ∴x的值每增加1，y的值相应的减少3； 即点不符合该规律． 故选A． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标是 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形的性质，一次函数上的点，掌握相关知识是解题的关键． 过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点设点的横坐标为n，根据点，的坐标，结合等腰直角三角形的性质求出，得到点的坐标为，代入直线，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点 ∵ ∴，，，， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， 设点的横坐标为n，则，， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的横坐标为10． 故答案为：10． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据求解即可； （2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可 【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)， ∴k=， 故答案为：； （2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)， ∴k1=， ∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)， ∴k1=， ∴k1k2=-2×=-1． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键． 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）正比例函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题目主要考查了正比例函数的图象和性质，关键理解正比例函数的定义，正比例函数的一般形式．斜率的正负对函数图象的影响；当时，函数图象是一条经过原点且从左下到右上的直线；当时，函数图象是一条经过原点且从左上到右下的直线；函数图象经过的点的确定，即可解答． 【详解】解：∵函数，即， ∵， ∴函数图象是一条从左上到右下的直线， ∵函数经过原点， ∴当时，， 即：点也在函数图象上， ∴函数的图象是一条从左上到右下的直线，经过原点和点， 观察选项，选项D符合这个描述． 故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽六安·月考）两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键；观察题中所给选项，根据图象逐项判断的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：A、由的图象可知，；由的图象可知，，两结论一致，故本选项正确，符合题意； B、由的图象可知，；由的图象可知，，但是应该经过一、三象限，图像不正确，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； C、由的图象可知，；由的图象可知，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由的图象可知，；由的图象可知，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．（2025八年级上·江苏·专题练习）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． ①根据函数图象直接得到，进一步即可得到；②根据当时，，即可求得；③求得，即可判断③． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， .∴， .∴，即，故②正确； ∵，， ∴ 当的值每增加，，故③错误； 故选：A． 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知一次函数，如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（   ） x …… 0 1 2 …… y …… 6 3 1 …… A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过一、二、三象限 C．一次函数的图象可由一次函数的图象向上平移2个单位长度得到 D．该函数的图象与y轴的交点是 【答案】D 【分析】根据信息的，求出一次函数表达式，根据一次函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图像与性质，平移，熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：将和代入得到，解得， 一次函数为， A、由可知，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B、由可知，该函数的图像经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C、一次函数的图象可由一次函数的图象向上平移3个单位长度得到，该选项错误，不符合题意； D、由一次函数为，当时，，函数图像与轴的交点是，该选项正确，符合题意； 故选：D． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）无论k为何值，直线必过定点 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据可化为，当时，，即可求出定点坐标，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：直线， 当时，， ∴直线必过定点， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图为一次函数的图象，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，函数图象经过二、三、四象限是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可知，一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）． （1）若该一次函数的图象经过点，则 ； （2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为 ． 【答案】 7 0或 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）把点代入一次函数的表达式中，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：（1）把点代入一次函数，得， 解得． 故答案为：7； （2）当时，y随x的增大而增大， 当时，， 解得． 当时，y随x的增大而减小， 当时，， 解得． 综上，当或时，该一次函数有最大值8． 故答案为：0或． 9．（24-25八年级上·山东济宁·月考）如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】向上平移个单位后，得到新解析式为，直线于坐标轴的交点为，，当直线过，确定m的值，后确定范围即可． 本题考查了一次函数的平移，直线与坐标轴的交点，熟练掌握平移是解题的关键． 【详解】解：向上平移个单位后，得到新解析式为， 又直线于坐标轴的交点为，， 当直线过，时，解得，， 故与直线的交点在第一象限的的取值范围是． 故答案为：． 10．（2025·山东济南·模拟预测）如图（）是甲、乙两个完全相同的圆柱形水槽的轴截面示意图，在乙槽中放入一圆柱形实心铁块，两水槽在下侧位置连通（由连通阀门控制水流，连通阀门处的水量忽略不计）．现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（）与注水时间（）之间的函数关系如图（）所示．则线段所在直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】依据题意，从到，乙槽中水面上升的高度等于甲槽中水面下降的高度，进而，，则可得的坐标，又设线段所在直线的函数表达式为，再将，的坐标分别代入，得方程组，最后计算可以得解．本题主要考查了一次函数的应用，解题时要能读懂题意和示意图并能求出，坐标是关键． 【详解】解：由题意，从到，乙槽中水面上升的高度等于甲槽中水面下降的高度，也等于从到，甲槽中水面下降的高度， ，． ． 设线段所在直线的函数表达式为， 将，的坐标分别代入，得 ， ． 线段所在直线的函数表达式为． 11．（24-25八年级下·新疆阿克苏·月考）设一次函数（k，b为常数，且），图象过． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该一次函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】（1）把分别代入，利用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式，求得，即可判断． 【详解】（1）把分别代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）当时，， ∴点不在该一次函数图象上． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式及一次函数图象上的点，熟练掌握知识点是解题的关键． 12．（24-25八年级下·河北沧州·月考）已知函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若点、在函数的图像上，且，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将原点代入求出m的值即可； （2）根据函数的图象平行于直线，得出，求出m的值即可； （3）根据点、在函数的图像上，且，得出y随x的增大而增大，从而得出，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过原点， 当时，，即， 解得； （2）解：∵函数的图象与直线平行， ， 解得； （3）解：由题意得：y随着x的增大而增大， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性，一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 13．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知一次函数． (1)在直角坐标系中画该一次函数的图象； (2)求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1)图见解析 (2)1 【分析】本题考查的是作一次函数图象及求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积， （1）先求出直线与坐标轴交点，进而作图即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：一次函数，当时，， 当时，， 解得：， ∴一次函数图象过点， 作出一次函数图象如下： （2）解：由（1）知，一次函数图象与y轴、x轴交点分别为， ∴该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线平移到直线，直线与轴交于点，点与点，点与点分别是平移前后的对应点，若线段在平移过程中扫过的图形面积为，求点的坐标． 【答案】 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点可求的坐标，根据平移的性质，可得四边形是平行四边形，根据线段在平移过程中扫过的图形面积为，可得点的坐标，由此可知点的平移规律，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 对于直线，令， ∴， 令， ∴， ∴，， ∴，． ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 又∵点向下平移个单位，向左平移个单位得到， ∴点向下平移个单位，向左平移个单位得到， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的变换，理解并掌握一次函数平移的特点，平行四边形的性质是解题的关键． 15．（24-25八年级上·江西抚州·月考）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3 (2)， (3) 【分析】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标； ②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出点A关于直线的对称点的坐标(3，0)．设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （2）先求出点A关于的对称点的坐标(7，0)．由的坐标规律可得点的横坐标为．再求出的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （3）由，可得，再利用三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B， ∴， 故答案为：(-1，0)，(0，1)； ②∵A(-1，0)，B(0，1)， ∴点A关于y轴的对称点是(1，0)． 当x=1时，y=2， ∴B(1，2)． 点A关于直线的对称点是(3，0)． 设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)， ∴，解得， ∴直线的函数关系式是y=-x+3； （2）∵A(﹣1，0)，(3，0)． 由题意过点作x轴的垂线，点是点A关于的对称点得， ∴(7，0)． 由(1，0)，(3，0)，(7，0)， 可得点的坐标为(，0)， 直线的函数关系式为． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 一次函数的图象和性质（3个知识点+14大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 正比例函数的图象与性质 题型二 判断一次函数的图象 题型三 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型四 已知函数经过的象限求参数范围 题型五 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型六 画一次函数图象 题型七 一次函数图象平移问题 题型八 一次函数图象与对称问题 题型九 判断一次函数的增减性 题型十 根据一次函数增减性求参数 题型十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型十二 比较一次函数值的大小 题型十三 求一次函数解析式 题型十四 一次函数的规律探究问题 知识点一：一次函数的图像 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课前预习）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是 ． 知识点二：一次函数的图像与性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一次函数的图象不经过第一象限，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知一次函数（是常数），如果函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是 ． 知识点三：一次函数的平移规律 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2） k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 【即时训练】 1．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）已知直线与直线平行，且将直线向下平移5个单位后得到直线， 则 ． 【核心考点一 正比例函数的图象与性质】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）画正比例函数的图象，可以先描出原点和下列四个点中的（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山西运城·期末）四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点和点都在正比例函数的图象上，则 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【例4】（25-26八年级上·山西晋中·期中）图中直线对应的函数表达式为 ． 【核心考点二 判断一次函数的图象】 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东威海·期末）小丽根据画出了函数的图象，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【例4】（24-25八年级下·北京·期末）“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出． 壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下面图象中适合表示y与x的对应关系 (不考虑水量变化对压力的影响)的是 (填序号即可)． 【核心考点三 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例1】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【例2】（25-26九年级上·江苏·期末）如图，图象上对应的一次函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象不经过第 象限． 【例4】 （24-25八年级上·陕西西安·月考）已知点，在直线上，当时，，且，则在平面直角坐标系内，它的图象经过第 象限． 【核心考点四 已知函数经过的象限求参数范围】 【例1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）一次函数（为常数）的图象经过第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）两个一次函数与，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）若一次函数的图象经过第四象限，则的取值范围是 ． 【例4】（25-26八年级上·四川成都·期中）一次函数的图象如图所示：则点在平面直角坐标系中位于第 象限． 【核心考点五 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期中）若一次函数的图象经过点，且与x轴和y轴的交点到原点的距离相等，那么它的解析式不可能是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·四川成都·期中）在一次函数中，x每增加1，增加了k，b没变，因此，y也增加了k．而如图所示的一次函数图象中从1变成2时，函数值从3变为5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2．小明发现在一次函数中，x每增加2，y就增加了1，则一次函数与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·山东青岛·周测）直线与y轴的交点坐标为 ． 【例4】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）定义：在函数中，我们把关于x的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题： （1）一次函数的对称函数在y轴上的截距为 ； （2）若一次函数的对称函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为8，则k的值为 ． 【核心考点六 画一次函数图象】 【例1】（24-25八年级下·福建漳州·期中）土地沙漠化是人类生存的大敌，某地原有绿地a万公顷，由于人们环保意识不强，植被遭到严重破坏，经观察前段时间土地沙化速度为0.1万公顷年，当人们意识到环境恶化的危害性之后，决定改变环境，以每年0.3万公顷的速度进行绿化，那么年以后该地的绿地面积与时间的关系可用下图中的哪一个来近似地刻画（   ） A．  B．  C．  D．   【例2】（24-25八年级下·福建福州·期中）函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【例3】（2026·江苏苏州·模拟预测）过，两点画一次函数的图象，若点的坐标为，则点的坐标可以是 （只需写出一个即可）． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）下面有3个表格、3幅图、3个表达式，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上： 、 、 ． 【核心考点七 一次函数图象平移问题】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若将直线向上平移4个单位长度后得到新的直线，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【例2】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）将一次函数的图象平移得到图象的函数关系式为，则移动方法为 （    ） A．向左平移 4 个单位 B．向右平移 4 个单位 C．向上平移 4 个单位 D．向下平移 4 个单位 【例3】（24-25八年级下·广东江门·期中）将直线向上平移2个单位长度后得到的函数解析式是_______． 【例4】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上移个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的的范围为 ． 【核心考点八 一次函数图象与对称问题】 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 【例3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）请写出直线关于轴对称的直线解析式为 ． 【例4】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 【核心考点九 判断一次函数的增减性】 【例1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列函数中的函数值y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）某一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·上海崇明·期末）已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而 ． 【例4】（25-26八年级上·江西九江·期中）如果一次函数（为常数，）的图象经过点，那么的值随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【核心考点十 根据一次函数增减性求参数】 【例1】（24-25八年级下·海南·月考）一次函数的函数值随的增大而减小，的值可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【例2】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）已知点在一次函数的图象上且时，，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【例3】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： ． 【例4】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）已知一次函数． （1）若该函数图象与轴的交点位于轴的正半轴，则的取值范围是 ． （2）当时，函数有最大值，则的值为 ． 【核心考点十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知直线经过点，．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级下·福建宁德·期中）对于实数a，b，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，．若关于的函数为，则该函数的最小值是（    ） A．0 B．2 C．3 D．48 【例3】（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知函数，如果函数值，那么的取值范围是 ． 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期末）小明在用“列表、描点、连线”的方法画一次函数（为常熟，）的图像时，列出与的几组对应值（如下表），请你细心观察，当= 时，小明计算的值是错误的． x … 0 1 2 3 … y … -3 -1 0 3 … 【核心考点十二 比较一次函数值的大小】 【例1】（25-26八年级上·山西运城·期中）点都在直线上，则的关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知，，是直线上的三个点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例3】 （25-26八年级上·宁夏中卫·期末）在一次函数的图象上有和两点，则 ． 【例4】（25-26八年级下·山东淄博·月考）已知，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为 ．（从，，中选择一个符号填写） 【核心考点十三 求一次函数解析式】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出与之间的函数表达式（    ）； 时间：（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） A． B． C． D． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图像经过点和，则 ， ． 【例4】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）下表是某商品的数量x（个）与售价y（元）的对应关系，根据表中提供的信息可知y与x之间的关系式是 ． 数量x（个） 1 2 3 4 5 售价y（元） 10 18 26 34 42 【核心考点十四 一次函数的规律探究问题】 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 【例3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）数学小组在探究直线时发现：无论取什么值，该直线始终会经过同一个点，那么点坐标是 ． 【例4】（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 【变式训练1 正比例函数的图象与性质】 1．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东聊城·月考）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是 ． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求，的值． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征      图象经过①_______ 由表达式可知，当时，； 图象经过第②_______象限 因为，且，所以当时，，当时，y___③，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而④_______． …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图象与性质． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_______；②_______；③_______；④_______ (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你完成填空并证明． 图象 图象的几何特征 证明过程      图象关于_______对称 【变式训练2 判断一次函数的图象】 1．（25-26八年级上·河南郑州·月考）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 3．（24-25八年级下·江西赣州·期末）已知一次函数y＝kx+b的图象数过点(3，5)与(﹣4，﹣9)． (1)求这个一次函数的解析式； (2)判断点(﹣2，﹣5)是否在这个一次函数的图象上． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期中）设一次函数（为常数，且），图象过，． (1)求该一次函数的解析式，并画出它的图象； (2)判断点是否在该一次函数图象上． 【变式训练3 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）已知，，一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点 ．(填“”或“”或“”或“”) 3．（25-26八年级上·全国·假期作业）已知一次函数，试讨论其图象经过哪些象限？ 4．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，左框中的实数x与右框中的实数y满足某个一次函数关系，输入x的值会输出一个y的值． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求m的值； (3)该一次函数的图象不经过第______象限． 【变式训练4 已知函数经过的象限求参数范围】 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）一次函数的图象如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于1 2．（24-25八年级下·北京·期中）对于两个一次函数，我们称一次函数为这两个函数的复合函数．已知一次函数与的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常数m满足的条件是 ；若，一次函数与的复合函数的图象必经过定点 ． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知一次函数（为常数，且）的图象不经过第三象限，求的取值范围． 4．（24-25八年级·北京·月考）在平面直角坐标系xOy中，对于非坐标轴上的点P给出如下定义：过点P向两坐标轴作垂线段，若垂线段和坐标轴围成的矩形的周长为m，则称点P为m系矩形点.下图中的P，Q两点均为10系矩形点. (1)已知点A（-2，m）是6系矩形点，则m=___________ (2)点B在第一象限，且是6系矩形点，则点B的坐标可以是___________；（写出一个即可） (3)点C在直线y=x+1上，且点C是6系矩形点，求点C； (4)已知一次函数y=nx+6的图像上存在6系矩形点，则n的取值范围是___________； 【变式训练5 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）能表示一次函数与正比例函数（m，n是常数，且）的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26八年级上·吉林·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②方程的解为；③；④．其中正确结论的序号是 ． 3．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，一次函数的图象与轴的正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，且的面积为12． (1)求的值． (2)过点作直线与轴的负半轴相交于点，且，求直线的函数表达式． 4．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是轴上一点，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标． 【变式训练6 画一次函数图象】 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 2．（2025·四川成都·三模）一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为 ． 3．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）已知函数是关于x的一次函数，求函数的表达式并在如图中画出该函数图象． 4．（2025·北京朝阳·二模）科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积（单位：）和装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上信息，解决问题： 若装置比装置早启动了，则装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________（结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取___________实验物质（结果保留小数点后一位）． 【变式训练7 一次函数图象平移问题】 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，与正比例函数的图象交于点，若一次函数的图象与直线，不能围成三角形，则k的值为 ． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点P分别作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，我们称折线为点P关于直线l的“L路径”，“L路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“L距离”．    (1)如图2，若直线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，求点O关于直线l的“L距离”； (2)如图3，将直线向左平移6个单位长度后得到直线m，且直线m与x轴、y轴分别交于D，C两点，O为坐标原点，求点O关于直线m的“L距离” 【变式训练8 一次函数图象与对称问题】 1．（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 2．（25-26九年级上·河南·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”． 下列结论中：正确的是： （写出所有正确结论的序号） ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； 3．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 4．（2025·河北唐山·二模）列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． 1 2 1 0 2 画出的图象如下． (1)求a和b的值． (2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象． (3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值． 【变式训练9 判断一次函数的增减性】 1．（25-26八年级上·四川达州·期末）如表是一次函数中x与y的一些对应数值，则下列结论正确的是（   ） x … 0 1 2 … y … 6 3 1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过第一、二、三象限 C．关于x的方程的解是 D．该函数的图象与y轴的交点是 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．设，当时，随着的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·月考）已知一次函数（k，b是常数，且）的图象经过两点． (1)求该一次函数解析式； (2)若，请分别求出函数y的最大值和最小值． 4．（24-25八年级上·福建三明·期中）类比一次函数的学习经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决下列问题． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 5 m 1 1 3 n … 表格中：__________，__________． (2)描点、连线：在平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，依次连接各点，画出该函数的图象；    (3)观察图象，填写函数性质： ①特殊点：最低点的坐标是__________； ②函数值：函数y的取值范围是__________； ③变化趋势：当x__________时，y随x的增大而减小； ④对称性：函数图象是轴对称图形，对称轴是__________． 【变式训练10 根据一次函数增减性求参数】 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北唐山·月考）当时，函数（为常数且）有最小值是，则函数的最大值为 ． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)若点在线段上，点在直线上． 求： ①的范围； ②的最大值． 4．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式． 【变式训练11根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）对于一次函数，下表列出5组自变量与其对应的函数值，其中恰好有一个函数值有误，则这个错误的函数值是（   ） 0 1 2 3 3 6 9 13 15 A．3 B．6 C．13 D．15 2．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）对于一次函数（，为常数，且），部分的自变量与函数的对应值如下表： … … … … 若，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级下·四川宜宾·月考）已知是的一次函数，且当时，；当时，． (1)求与的函数关系式． (2)若，，三点在该函数图象上，判断的大小关系． 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）已知一次函数，下表是与的部分对应值． … 0 3 … … __________ 1 __________ … (1)补全表格． (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数的图象． (3)写出一条关于一次函数的性质． 【变式训练12 比较一次函数值的大小】 1．（25-26八年级上·广东茂名·期末）已知是一次函数的图象上的两点，则与的大小关系是（   ） A．比大4 B．比小4 C．比大2 D．比小2 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图是函数的图象，则下列结论正确的有 ．①当时，随的增大而减小；②若点在该图象上，则点必在该图象上；③点，在该函数图象上，若，则；④若无论为何值，关于的方程都有解，则的取值范围是． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）若正比例函数的图象经过点，时，． (1)求m的取值范围； (2)若该函数图象上有三个点，则从小到大排列为______． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）已知y是x的一次函数，下表是列出了几组对应值． x … 0 2 … y … m 0 n … (1)求该函数的解析式； (2)请在坐标系中画出该函数的图象，并直接写出m，n的大小关系：m n（填“＞”，“＜”或“=”）． 【变式训练13 求一次函数解析式】 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一次函数的图象过点，，且函数图象经过第二、四象限，当时，，则该一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与之间的关系如下表，则关于的一次函数的解析式是 ． 50 60 90 120 … 40 38 32 26 … 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知与成正比例函数关系，且当时，， (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，直线l经过原点，且点在直线l上． (1)求直线l的解析式； (2)已知直线与直线l平行，且过点，求直线的解析式； (3)直接写出直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 【变式训练14 一次函数的规律探究问题】 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）小明同学在研究某一次函数的图象时，发现表中有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值的坐标是     x … 1 2 … y … 12 10 4 1 … A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标是 ． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 4．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）正比例函数的图象是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽六安·月考）两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图像可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·江苏·专题练习）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．② D．①②③ 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知一次函数，如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（   ） x …… 0 1 2 …… y …… 6 3 1 …… A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过一、二、三象限 C．一次函数的图象可由一次函数的图象向上平移2个单位长度得到 D．该函数的图象与y轴的交点是 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）无论k为何值，直线必过定点 ． 7．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图为一次函数的图象，则m的取值范围为 ． 8．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）． （1）若该一次函数的图象经过点，则 ； （2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为 ． 9．（24-25八年级上·山东济宁·月考）如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是 ． 10．（2025·山东济南·模拟预测）如图（）是甲、乙两个完全相同的圆柱形水槽的轴截面示意图，在乙槽中放入一圆柱形实心铁块，两水槽在下侧位置连通（由连通阀门控制水流，连通阀门处的水量忽略不计）．现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（）与注水时间（）之间的函数关系如图（）所示．则线段所在直线的函数表达式为 ． 11．（24-25八年级下·新疆阿克苏·月考）设一次函数（k，b为常数，且），图象过． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该一次函数图象上． 12．（24-25八年级下·河北沧州·月考）已知函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若点、在函数的图像上，且，求m的取值范围. 13．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知一次函数． (1)在直角坐标系中画该一次函数的图象； (2)求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线平移到直线，直线与轴交于点，点与点，点与点分别是平移前后的对应点，若线段在平移过程中扫过的图形面积为，求点的坐标． 15．（24-25八年级上·江西抚州·月考）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $