第16讲 一次函数与方程（组）、不等式（2个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第16讲 一次函数与方程（组）、不等式（2个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 知识点一：一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 【即时训练】 1．（2025·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 2．（24-25八年级上·山东济南·月考）如图，一次函数的图象经过点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握两者之间的联系是解题关键． 观察图象得知的图象经过点，即可求解． 【详解】解：观察函数的图象知： 的图象经过点， 即当时，， 所以关于的方程的解为． 故答案为：． 知识点二：一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【即时训练】 1．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知直线和直线的图象如图所示，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数，解题的关键是熟练掌握数形结合的解题方法． 根据图象可知交点坐标，即为方程组的解． 【详解】解：根据图象可知， 直线和直线交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 【核心考点一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）一次函数中，x与y的部分对应值如下表：那么一元一次方程的解为（    ）                                            A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解即为一次函数中时对应的x值，理解两者的关系是关键；根据表格，找出函数值为0时的自变量的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，， ∴方程的解为； 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，这是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是知道通过图象怎么求方程的解． 关于x的一元一次方程的解就是一次函数当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：由图知，一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为． 故选：D． 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）一次函数中两个变量x，y的部分对应值如表所示，那么关于x的方程的解是 ． x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程．通过观察函数值表，当时，对应的值为，因此方程的解即为. 【详解】解：根据表格数据，当时，，即， 所以关于的方程的解是， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，直线经过点，，则关于的方程的解是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，写出函数值为0对应的自变量的值即可． 【详解】解：∵直线过点， 即当时，， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：1． 【核心考点二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算程序得到函数关系式，确定图象与坐标轴的交点坐标，即可判断函数图象． 【详解】解：由计算程序得， 当时，，解得，∴图象与x轴交点坐标为； 当时，，∴图象与y轴交点坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了程序计算图与函数关系式，求函数图象与坐标轴的交点坐标，判断函数图象，正确理解计算程序图得到函数关系式是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·湖北黄冈·月考）已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系交点坐标即可． 【详解】解：方程的解是， 函数与轴的交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确把握方程与函数之间的关系是解题关键． 【例4】（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）由于任何一元一次方程都可转化为 (k，b为常数，k≠0)的形式．所以解一元一次方程可以转化为当一次函数y=kx+b(k≠0)的值为 时，求相应的 的值． （2）一元一次方程kx+b=0的解，是直线y=kx+b与 轴交点的 坐标值． 【答案】 kx+b=0 0 自变量 x 横 【分析】（1）根据一次函数与x轴交点横坐标与一元一次方程的关系解答； （2）根据一次函数与x轴交点横坐标与一元一次方程的关系解答； 【详解】解：（1）由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0 (k，b为常数，k≠0)的形式．所以解一元一次方程可以转化为当一次函数y=kx+b(k≠0)的值为0时，求相应的自变量的值． 故答案为：kx+b=0，0，自变量； （2）一元一次方程kx+b=0的解，是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标值． 故答案为：x，横． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值． 【核心考点三 利用图象法解一元一次方程】 【例1】（24-25八年级下·广西钦州·月考）已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程之间的关系，解题的关键是正确理解直线上的点与方程解的对应关系． 根据直线上的点与方程解的对应关系即可求解． 【详解】∵直线经过点， ∴时，， ∴方程的解为， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知直线，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用函数图象解一元一次方程．根据一次函数图象中的信息可得到方程的解． 【详解】解：根据图象可知：在的图象中，当时，， 则的解为， 故答案为：4． 【例4】（25-26八年级上·山东青岛·周测）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是 ； （2）关于x的方程的解是 ； 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象； （1）利用函数图象写出函数值为时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出函数值时对应的自变量的值即可 【详解】（1）根据函数图象可得，当时，， 所以方程的解为； 故答案为：． （2）根据函数图象可得，当时，， ∴关于x的方程的解是 故答案为：． 【核心考点四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，及一次函数与不等式．熟悉结合一次函数的图像，及其在某一点的函数值，求自变量的取值范围是解题的关键．本题中根据已知点的坐标，和图像中随的增大而减小，即可得出所求的的取值范围． 【详解】解：由图像可知当时，，且随的增大而减小， ∴当时，． 故选：． 【例2】（24-25八年级下·福建三明·月考）已知一次函数b(k、b为常数)的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题． 一次函数的图象在x轴上方时，，再根据图象写出解集即可． 【详解】解：函数的图象经过点， ∴当，直线在轴的上方， ∴关于x的不等式的解集是． 故选：C． 【例3】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象和一元一次不等式的解集，根据图象直接解答即可． 【详解】解：根据函数图象可知：当时，， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求出A点坐标是解题的关键． 首先利用函数过点，求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：函数过点， ， 解得：， ， 不等式的解集为 故答案为：． 【核心考点五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例1】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，以及利用函数图象来求解不等式的解集，解决本题的关键在于利用函数图象的交点坐标来确定不等式的解集． 先根据点A在函数上求解出x的值，再结合图象求解不等式即可． 【详解】解：已知交点在函数的图象上， ∴，可得， 即交点的坐标为． 由图象可知，关于的不等式的解集为函数在函数上方的部分包含交点， 即， ∴关于的不等式的解集是． 故选：C． 【例2】（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（a、b均为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键．根据图象即可求得． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集是， ∴关于x的不等式的解集是， 故选：C． 【例3】（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，理解题意，结合函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，运用数形结合思想得出满足的的取值范围为，即可作答． 【详解】解：∵函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1， ∴满足的的取值范围为， 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·湖南湘潭·开学考试）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握利用图象法求不等式解集是解题的关键．根据两直线交点的坐标，利用图象法得出不等式的解集即可． 【详解】解：由图可知，一次函数与的图象交于点， 要使不等式，一次函数图象应在图象上方， 解集为， 故答案为：． 【核心考点六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，先求出交点坐标即可 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴方程组的解为． 故选A． 【例2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，一次函数（、为常数，且）与一次函数交于点，则关于、的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题即可． 【详解】解：∵一次函数与一次函数交于点， ∴， ∴关于、的方程组的解是， 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）方程组没有解，因此直线和直线在同一平面直角坐标系中的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据方程组无解表明两条直线没有交点，即可得出结论． 【详解】解：∵没有解，即没有解， ∴直线和直线在同一平面直角坐标系中的位置关系是平行； 故答案为：平行． 【例4】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，掌握两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键． 先求出点坐标，根据两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可得点的坐标为二元一次方程组的解， 代入中，得， ∴点的坐标为， ∴二元一次方程组的解为 故答案为：． 【核心考点七 图象法解二元一次方程组】 【例1】 （24-25八年级上·辽宁阜新·期末）如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标进行求解即可． 【详解】解：∵直线与直线都经过点 ∴方程组的解是：． 故选择：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，但是比较容易出错，正确理解“方程组的解即为直线与直线的交点坐标”是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程的关系，一次函数图象上点的横纵坐标都是一次函数对应的二元一次方程的一组解，据此进行解答即可． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴满足，即方程的一组解为． 故答案为： 【例4】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 【核心考点八 求直线围成的图形面积】 【例1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4.5 【答案】D 【分析】本题考查求一次函数图像与坐标轴的交点，三角形的面积．先求一次函数图像与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算． 【详解】解：根据函数作出图像为： 对于一次函数， ∵当时，， ∴一次函数图像与y轴交点B为； ∵当时，，解得， ∴一次函数图像与x轴交点A为， ∴，， ∴． 故选：D． 【例2】（2025·湖南长沙·一模）如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴． 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：当时，， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴的面积为． 故答案为：4． 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作轴的垂线与三条直线相交，其中．若图中阴影部分的面积是，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征．根据题意求出，，同理，从而求出图中阴影部分的面积，进而得到关于a的方程，即可求解． 【详解】解：如图，    把分别代入得： ， ∴，， 同理， ∴图中阴影部分的面积是， ∵图中阴影部分的面积是， ∴， 解得：． 故答案为： 【变式训练1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（25-26八年级上·全国·周测）一次函数和的图象如图所示，几位同学根据图象得到了下面的结论： 甲：关于x，y的二元一次方程组的解是乙：关于x的一元一次方程的解是；丙：关于x的一元一次方程的解是．三人中，结论正确的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，可判定甲说法；根据两直线交点横坐标为方程的解，可判定乙说法；直线与轴交点的横坐标即为的解，可判定丙说法． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴关于，的二元一次方程组的解是，故甲说法正确，符合题意； ∴关于的一元一次方程的解是，故乙说法错误，不符合题意； ∵直线与轴交点坐标是， ∴关于的一元一次方程的解是，故丙说法正确，符合题意； ∴三人中，结论正确的是甲、丙， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次方程，正确的理解题意是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）已知一次函数(，是常数且)，与的部分对应值如表；那么方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系；根据表格中的数据可知：当时，，然后根据方程，从而可以求得的值． 【详解】解：∵当时，， ∴ ∵ ∴ 解得：， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图所示，直线是一次函数的图象，点A，B在直线l上根据图象回答下列问题： (1)写出方程的解； (2)写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)不等式的解集是 【分析】（1）由图象可知，函数图象与x轴的交点A的坐标为，据此解答即可； （2）函数图象经过点，且y随x的增大而增大，据此解答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，函数图象与x轴的交点A的坐标为， 则方程的解是 （2）解：函数图象经过点，且y随x的增大而增大，且当时，有， 即不等式的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 【变式训练2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 3．（24-25八年级下·贵州六盘水·期中）如图，直线交x轴，y轴分别为A、B两点，点P为x轴上的一个动点，过点P作于点 (1)求出点A、B的坐标，以及线段长； (2)当点G与点B重合时，求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用相似求出线段长度是解题的关键． （1）分别令x，y为0即可求得B，A的坐标，利用勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得： （2）当点G与点B重合时，如图，则 直线，， ∴， ∴， ∴， ∴， 的面积 4．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点的距离记作，如果是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，． (1)平面直角坐标系内任意两点,、,间的距离公式为：___________． (2)直接应用：平面内两点，之间的距离为 ___________． (3)已知：，，为轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．则点的坐标为___________． (4)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值为 ___________，此时点的坐标为 ___________． 【答案】(1)； (2)5； (3)； (4)， 【分析】（1）根据算术平方根的定义即可得到结论； （2）根据两点之间距离公式直接求出即可； （3）根据两点之间距离公式和等腰三角形的性质列方程即可得到结论； （4）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：平面内两点，之间的距离， 故答案为：5； （3）解：为轴上的点， 设， 是以为底边的等腰三角形， ， ， 解得， 点的坐标为， 故答案为：； （4）解：作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度，然后根据两点间的距离公式即可得到结论． ， ， ， 设直线的一次函数表达式为， 把代入解得， 当时，解得，即， ， 即为的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了轴对称 最短路径问题，等腰三角形的性质，以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． 【变式训练3 利用图象法解一元一次方程】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ． 【答案】x＝-2 【分析】可变形为，一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：将变形为， 的解为一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标， 观察图象可知，的解为x＝-2， 即的解为x＝-2， 故答案为：x＝-2． 【点睛】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键． 3．（24-25八年级下·北京·期中）某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … 4 m 2 1 0 1 2 3 4 … 其中，_________． （2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数图像的另一部分． （3）观察函数图像，写出一条函数性质____________________________． （4）进一步探究函数图像发现： ①方程的解是________________； ②方程的解是__________________； ③关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是____________． 【答案】（1）3；（2）见详解；（3）当x≥1时，y随x的增大而增大；（4）①x=1；②x=-0.5或x=2.5；③-1＜k＜1 【分析】（1）把x=-2代入，即可求解； （2）用射线把各个点连接起来即可； （3）根据函数的增减性，写出一条函数的性质，即可； （4）①根据直线y=0与的图像的交点坐标为（1，0），即可求解；②根据直线y=1.5与的图像的交点坐标为（2.5，0），（-0.5，0），即可求解；③根据的图像和的图像有两个交点，分别求出当直线过（1，0）时，k=-1，当直线与射线平行时，k=1，进而即可得到k的范围． 【详解】解：（1）当x=-2时，=3，故m=3， 故答案是：3； （2）函数图像如图所示： （3）根据函数图像可知：当x≥1时，y随x的增大而增大， 故答案是：当x≥1时，y随x的增大而增大； （4）①∵直线y=0与的图像的交点坐标为（1，0）， ∴方程的解是x=1， 故答案是：x=1； ②∵直线y=1.5与的图像的交点坐标为（2.5，0），（-0.5，0）， ∴方程的解是x=-0.5或x=2.5； ③∵关于x的方程有两个实数根， ∴的图像和的图像有两个交点， 又∵直线过点（-1，2）， 当直线过（1，0）时，k=-1，当直线与射线平行时，k=1， ∴的图像和的图像有两个交点时，-1＜k＜1， 故答案是：-1＜k＜1． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质以及函数图像和方程的解的关系，掌握函数图像的交点横坐标就是对应方程的解，是解题的关键． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）下面是小宙同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务： 专题：一元一次方程的解法  例：求一元一次方程的解． 解答方法如下： 方法一：按照七年级所学解一元一次方程的步骤求解， 移项，合并同类项，未知数系数化1，… 方法二：方程的解可以看成两个一次函数和的图象交点的横坐标，由图可知该方程的解为．    任务： (1)上面小论文中的“方法二”体现的数学思想是（    ） A．整体思想       B．公理化思想     C．数形结合思想       D．分类讨论思想 (2)参照“方法二”的思路，求解一元一次方程的解．请在下图的平面直角坐标系中画出相应的函数图象并依据图象直接写出方程的解．    【答案】(1)C (2)图见解析， 【分析】（1）“方法二”体现的是数形结合的思想，即可得到答案； （2）方程的解，可以看成两个一次函数和的交点的横坐标，画出函数图象，由交点的横坐标求得方程的解． 【详解】（1）解：根据题意可得： “方法二”体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C； （2）解：由题意可得： 方程的解，可以看成两个一次函数和的交点的横坐标， 画出图如图所示：   ， 由图可知，该方程的解为． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的求解和一次函数的性质的综合题，掌握解一元一次方程的解法和数形结合思想是解题的关键． 【变式训练4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 1．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，不等式转化为，结合，求得解集即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一次函数的图象与x轴的交点为，且， 故， 解得 故变形为， 故， 解得． 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在的左侧所对应的自变量的值即可． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图在平面直角坐标系中直线与直线的交点的横坐标为，求出关于的不等式组的解集． 【答案】 【分析】先求直线与轴的交点坐标为，根据函数图象可得，当时，时，由此即可得． 本题考查了一次函数与一元一次不等式、解一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键． 【详解】解：当时，，解得， 直线与轴的交点坐标为， 由图象得：当时，时， 所以不等式组的解集为． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）阅读下列材料 如果，求x的取值范围． 解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，得或，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为，第二个不等式组的解集为．故当或时，． 解决问题 (1)试利用上述方法，求不等式的解集； (2)如图，直线：与x轴交于点，直线：与x轴交于点，根据图象，请你直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查求不等式组的解集，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握题干中给出的计算方法，是解题的关键： （1）根据题干给出的方法，进行求解即可； （2）直接利用图象法，求出一个图象在轴上方，一个图象在轴下方时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得：或； （2）∵， 故一个图象在轴上方，一个图象在轴下方时符合题意， ∵直线：与x轴交于点，直线：与x轴交于点， ∴由图象可知：的解集为：或． 【变式训练5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，先求出，再结合图象即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将代入函数可得：， 解得：， ∴， ∴由图象可得不等式的解集为， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据函数图象的位置关系确定不等式的解集． 不等式的解集，对应直线的图象在直线图象下方时的取值范围；结合两直线交点，确定该取值范围． 【详解】解：不等式的解集，即直线在直线下方时的取值范围． 由图知，两直线交于，当时，的图象在的图象下方． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为C． (1)求一次函数表达式； (2)点C的坐标为________，不等式的解集为________； 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）将点代入，求出m，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点为， ， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 故答案为：；． 4．（24-25八年级下·贵州六盘水·期末）已知，一次函数的图象过点． (1)求一次函数的表达式； (2)如图，若正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，请直接写出当时的取值范围； (3)对于正比例函数和一次函数，如果在时总有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线相交或平行问题，数形结合是解题的关键； （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据图象即可求解； （3）先求得直线过点，把点代入，求得，观察图象即可求得在时总有，. 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴. （2）解：由图像可知，当时，正比例函数的图象在一次函数图象的下方， ∴的解集为. （3）解：把代入得， ∴直线过点， 把点代入得， 解得， ∵在时总有， 观察图象可知，. 【变式训练6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知关于的二元一次方程组的解为，则一次函数和的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据二元一次方程组的解即为对应的两个一次函数图象的交点坐标，作答即可． 【详解】解：方程组 可化为，其解为， 因此函数和的图象的交点坐标为． 故选：B． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数与为常数，，的图象如图所示，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据当时，，即可求得，从而得出 【详解】解：两个函数的图象交点的横坐标为4， ， ， ， ， 故答案为： 3．（24-25八年级上·浙江温州·月考）如图，直线过点，点，直线与x轴交于点C，两直线，相交于B． (1)求直线的函数表达式． (2)求交点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组等知识； （1）利用待定系数法即可求解； （2）联立两直线解析式，即可求得两直线的交点． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点，点代入上述表达式中，得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：解方程组，得， ∴交点B的坐标为． 4．（25-26八年级上·广西梧州·期中）如图，已知直线和分别记为，它们相交于点． (1)根据图上所给条件，求出的解析式； (2)求出交点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)交点的坐标为． 【分析】此题考查求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标： （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）联立两个方程求方程组的解即可 【详解】（1）解：由图象得，直线经过点， 得, 解得 ∴直线的解析式为； （2）解方程组，得， ∴交点的坐标为． 【变式训练7 图象法解二元一次方程组】 1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点坐标，结合图形求解．将点代入，求出的值，结合图像交点的坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】解：一次函数与的交点为， ， 解得：， 点的坐标为， 的解为：． 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川成都·月考）无论k为何值，一次函数的图像恒过定点 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)无数解 (2)无解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图象交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． （1）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解； （2）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解． 【详解】（1）解：画出图象如图①所示． 两条直线重合，有无数个交点，故方程组有无数组解． （2）解：新画出图象如图②所示． 两条直线平行，没有交点，故方程组无解． 4．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）平面直角坐标系也可以将方程问题转化为图形问题进行研究，二元一次方程在平面直角坐标系中也有自己的“图象”． (1)在表格中填入二元一次方程的解； x … 0 ______ … y … ______ … (2)将二元一次方程的解用点在平面直角坐标系中表示出来，并将这些点连接起来，发现它的“图象”在平面直角坐标系中是______． (3)不定方程是一类特殊的方程，通常指未知数个数多于方程个数的方程或方程组，解的范围有一定的限制（如整数、自然数等）．若二元一次方程的解要求为自然数，请你结合它的“图象”分析，它的自然数解有_____个，并用实心圆点将这些解在图中标注出来． 【答案】(1)1，9 (2)函数图象见解析，一条直线 (3)将这些解在图中标注出来见解析，6 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，一次函数性质和图象，正确地画出函数的图象是解题的关键． 把代入即可得到结论； 根据题意画出函数的图象，根据函数的图象即可得到结论； 根据函数的图象即可得到二元一次方程的整数解． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：1，9； （2）解：如图所示， 将二元一次方程的解用点在平面直角坐标系中表示出来，并将这些点连接起来，发现它的“图象”在平面直角坐标系中是一条直线， 故答案为：一条直线； （3）解：由图象知，它的自然数解有6个， 将这些解在图中标注出来如图所示， 故答案为： 【变式训练8 求直线围成的图形面积】 1．（24-25九年级上·四川眉山·月考）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出的值，从而得到点的坐标，再根据点的纵坐标得到点到轴的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：令，则， 解得， 所以，点的坐标为， ∵点的纵坐标是， ∴点C到轴的距离为， ∴的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了两条直线相交的问题，根据直线解析式求出点的坐标是解题的关键． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与三角形面积，待定系数法；由待定系数法得直线的解析式为，求出的坐标，由即可求解；能熟练求解一次函数与三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 当时，， 当时，， 解得：， ，，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； 故答案：． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线：与y轴交于点A，直线：与直线交于点B，与y轴交于点C，已知点B的纵坐标为． (1)求点B的坐标及直线的表达式； (2)求直线，与y轴所围成的面积． 【答案】(1)，直线的表达式为 (2)2 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解决本题的关键． （1）利用直线：求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）利用直线解析式求得A、C的坐标，即可求得AC，然后根据求得即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ， 直线：过点B， ， 解得， 直线的表达式为； （2）把分别代入两条直线的解析式得，， ，， ， ． 4．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，两条直线相交于点． (1)求p的值，并且直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (2)判断直线是否也过点M？并说明理由． (3)若直线与x轴交于点，求直线的关系式和的面积． 【答案】(1)1， (2)直线经过点M，理由见解析 (3)，16 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组、一次函数图象上点的坐标特征、求函数解析式、三角形的面积等知识点，掌握函数图象经过的点必能满足解析式是解题的关键． （1）把代入可得p的值，然后根据二元一次方程组的解为对应直线交点的坐标作答即可； （2）把点M的坐标代入，得到m、n的关系；然后把点P的坐标代入，并结合m、n的关系即可解答； （3）先运用待定系数法求得m、n的值即可确定函数解析式，再求出A点坐标，然后运用三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得：； ∴两条直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为：． （2）解：直线经过点M，理由如下： ∵在直线上， ∴． 当时，， ∴直线经过点M． （3）解：∵，， ∴，解得：， ∴； ∵直线与x轴交于点A， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．不等式的解集是 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，看懂函数图象是解题的关键． 根据函数图象逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，， 所以方程的解是，原选项说法错误，不合题意； B、由函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集是，该选项说法正确，符合题意； C、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； D、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A. 关于x不等式的解集是，原说法错误； B. 关于x的不等式的解集是，原说法正确； C. 关于x的方程的解是，原说法错误； D. 当时，一次函数值y的取值范围是； 故选B． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）根据如图所示图象可得关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键． 将不等式变形为，找出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：不等式变形为， 根据图象可得，不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 故选：B 4．（2025·贵州遵义·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：D． 5．（2025·辽宁沈阳·一模）直线和在直角坐标系中的位置如图所示，则直线和与y轴围成的图形的面积为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由图可知直线经过点、，直线经过点、，设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式，即得出直线、的交点为，由此即得出答案． 【详解】∵直线经过点、，设该直线的解析式为， 将(-1，-4)和(1，0)代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 联立直线、直线得： ，解得： 直线、的交点为， 直线、与轴围成的三角形面积为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了两个一次函数与坐标轴围成的面积问题．求出或的解析式是解题关键． 6．（24-25八年级上·广西梧州·期中）一元一次方程的解是一次函数 的图象与x轴的交点的横坐标． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题可先求出一元一次方程的解，即；因此这个交点的坐标为；那么只要过的一次函数，均符合条件． 【详解】解：∵， ∴． 设一次函数的解析式为，那么一次函数与轴交点的坐标为， 即，；即一次函数的解析式为； 当时，一次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程关系，求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解决本题的关键． 7．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键． 利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．可以从函数图象的角度去分析，就是确定的解集就是确定直线在直线上方且在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广东潮州·月考）如图，根据图中信息解答下列问题： （1）不等式的的解集是 ； （2）不等式的的解集是 ； （3）关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，结合函数图象求解是解题关键． （1）根据图象得直线与y轴的交点是，然后求解即可． （2）根据图象得直线与直线轴的交点是，结合图象即可求解． （3）结合函数图象直接写出答案． 【详解】解：（1）直线与y轴的交点是， 当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； （2）直线与直线的交点是， 当时，在的上方，即不等式的解集是； 故答案为：； （3）直线与直线的交点是， ∴方程组的解是， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点P沿路线运动．当的面积是的面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求得直线的解析式，求出的面积，进而求出的面积，进而求出点的纵坐标，再分两种情况，代入直线解析式中即可得出结论． 【详解】解： 点的坐标为， 设直线的解析式为， 点在直线上， ， ， 直线的解析式为； 令， ， ， ， ， 的面积是的面积的， ， 设的纵坐标为， ， ， ， 直线的解析式为， 当点在上时，， ，， 当点在上时，， ， 即：点，或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 11．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，已知一次函数（k，b为常数，）的图像经过点，．      (1)由图可知，关于x的一元一次方程的解是___________； (2)求该一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程与一次函数图像的关系即可解答； （2）将，代入一次函数解关于k、b的二元一次方程组即可解答． 【详解】（1）解：∵由图可知一次函数的图像与x轴的交点， ∴一元一次方程的解是． （2）解：将、代入一次函数得： ，解得：． ∴该一次函数的表达式：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与一元一次方程的关系、求一次函数解析式等知识点，理解一次函数图像与一元一次方程的关系是解答本题的关键． 12．（25-26八年级上·全国·假期作业）已知正比例函数的图象如图． (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)若，则x的取值范围是______． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是熟练掌握画一次函数图象的方法及一次函数与一元一次不等式的关系． 根据图象，找出正比例函数图象在一次函数图象上方的部分对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，， ∴与x轴交点为，与y轴交点为， 图象如下： （2）解：由得：交点为， 若，则x的取值范围是． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·广西崇左·月考）画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解； (2)不等式的解集； (3)不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查描点法画函数图像，一次函数与方程、一元一次不等式的关系，运用描点法画出函数图像，运用数形结合思想是解题的关键． （1）运用描点法画出函数图像，根据图像与x轴的交点的横坐标即为方程的解； （2）不等式的解集为函数图像在x轴下方对应的自变量x的取值范围，根据图像即可解答； （3）根据函数图像找出函数值在与7之间的自变量的值即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 3 0 描点并连线： 由图像可得，一次函数的图像与x轴的交点为， ∴方程的解为． （2）解：由图像可得，不等式的解集为． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 由图像可得，不等式的解集为． 14．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴与轴于点，，，与直线交于点．    (1)求的表达式； (2)求的表达式及点的坐标； (3)点为直线上一点，其横坐标为，过点作轴于点，与直线交于点，，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)；点坐标为； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及解一元一次方程，求得函数的解析式． （1）根据待定系数法即可求得； （2）根据待定系数法求得的表达式，进而可求得的坐标； （3）点坐标为，点坐标为，得出的长即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， ∴， ∴． （2）解：， ，把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴点坐标为． （3）解：点横坐标为，点在上， ∴点坐标为， 点在上， ∴点坐标为， ∴， ， ， ∴， ∴， 当时 ∴点坐标为． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了运用待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式．熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）把点C的坐标代入直线的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可； （3）先求出，根据的面积是面积的，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵点C在一次函数的图象上， ∴， 解得； ∴， ∵点、在直线上， ∴， 解得：； （2）解：由图像可得，不等式的解集为； （3）解：对于，当时，， 解得，， ∴, 由（1）知，，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 假设存在点P，使的面积是面积的， ∴, 设点的坐标为， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 一次函数与方程（组）、不等式（2个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 知识点一：一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 【即时训练】 1．（2025·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济南·月考）如图，一次函数的图象经过点，则关于的方程的解是 ． 知识点二：一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【即时训练】 1．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知直线和直线的图象如图所示，则方程组的解是 ． 【核心考点一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）一次函数中，x与y的部分对应值如下表：那么一元一次方程的解为（    ）                                            A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，这是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）一次函数中两个变量x，y的部分对应值如表所示，那么关于x的方程的解是 ． x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 【例4】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，直线经过点，，则关于的方程的解是 ． 【核心考点二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图应为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·湖北黄冈·月考）已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是 ． 【例4】（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）由于任何一元一次方程都可转化为 (k，b为常数，k≠0)的形式．所以解一元一次方程可以转化为当一次函数y=kx+b(k≠0)的值为 时，求相应的 的值． （2）一元一次方程kx+b=0的解，是直线y=kx+b与 轴交点的 坐标值． 【核心考点三 利用图象法解一元一次方程】 【例1】（24-25八年级下·广西钦州·月考）已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知直线，则方程的解为 ． 【例4】（25-26八年级上·山东青岛·周测）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是 ； （2）关于x的方程的解是 ； 【核心考点四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·福建三明·月考）已知一次函数b(k、b为常数)的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是 ． 【例4】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【核心考点五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例1】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（a、b均为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，则满足的的取值范围为 ． 【例4】（25-26九年级上·湖南湘潭·开学考试）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【核心考点六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，一次函数（、为常数，且）与一次函数交于点，则关于、的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）方程组没有解，因此直线和直线在同一平面直角坐标系中的位置关系是 ． 【例4】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【核心考点七 图象法解二元一次方程组】 【例1】 （24-25八年级上·辽宁阜新·期末）如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 【例4】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【核心考点八 求直线围成的图形面积】 【例1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4.5 【例2】（2025·湖南长沙·一模）如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【例3】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，则的面积为 ． 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作轴的垂线与三条直线相交，其中．若图中阴影部分的面积是，则 ．    【变式训练1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（25-26八年级上·全国·周测）一次函数和的图象如图所示，几位同学根据图象得到了下面的结论： 甲：关于x，y的二元一次方程组的解是乙：关于x的一元一次方程的解是；丙：关于x的一元一次方程的解是．三人中，结论正确的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）已知一次函数(，是常数且)，与的部分对应值如表；那么方程的解是 ． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图所示，直线是一次函数的图象，点A，B在直线l上根据图象回答下列问题： (1)写出方程的解； (2)写出不等式的解集． 【变式训练2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 3．（24-25八年级下·贵州六盘水·期中）如图，直线交x轴，y轴分别为A、B两点，点P为x轴上的一个动点，过点P作于点 (1)求出点A、B的坐标，以及线段长； (2)当点G与点B重合时，求的面积． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点的距离记作，如果是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，． (1)平面直角坐标系内任意两点,、,间的距离公式为：___________． (2)直接应用：平面内两点，之间的距离为 ___________． (3)已知：，，为轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．则点的坐标为___________． (4)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值为 ___________，此时点的坐标为 ___________． 【变式训练3 利用图象法解一元一次方程】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ． 3．（24-25八年级下·北京·期中）某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … 4 m 2 1 0 1 2 3 4 … 其中，_________． （2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数图像的另一部分． （3）观察函数图像，写出一条函数性质____________________________． （4）进一步探究函数图像发现： ①方程的解是________________； ②方程的解是__________________； ③关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是____________． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）下面是小宙同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务： 专题：一元一次方程的解法  例：求一元一次方程的解． 解答方法如下： 方法一：按照七年级所学解一元一次方程的步骤求解， 移项，合并同类项，未知数系数化1，… 方法二：方程的解可以看成两个一次函数和的图象交点的横坐标，由图可知该方程的解为．    任务： (1)上面小论文中的“方法二”体现的数学思想是（    ） A．整体思想       B．公理化思想     C．数形结合思想       D．分类讨论思想 (2)参照“方法二”的思路，求解一元一次方程的解．请在下图的平面直角坐标系中画出相应的函数图象并依据图象直接写出方程的解．    【变式训练4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 1．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为 ．    3．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图在平面直角坐标系中直线与直线的交点的横坐标为，求出关于的不等式组的解集． 4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）阅读下列材料 如果，求x的取值范围． 解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，得或，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为，第二个不等式组的解集为．故当或时，． 解决问题 (1)试利用上述方法，求不等式的解集； (2)如图，直线：与x轴交于点，直线：与x轴交于点，根据图象，请你直接写出关于x的不等式的解集． 【变式训练5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集是 ． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为C． (1)求一次函数表达式； (2)点C的坐标为________，不等式的解集为________； 4．（24-25八年级下·贵州六盘水·期末）已知，一次函数的图象过点． (1)求一次函数的表达式； (2)如图，若正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，请直接写出当时的取值范围； (3)对于正比例函数和一次函数，如果在时总有，请直接写出的取值范围． 【变式训练6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知关于的二元一次方程组的解为，则一次函数和的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数与为常数，，的图象如图所示，若，则 ． 3．（24-25八年级上·浙江温州·月考）如图，直线过点，点，直线与x轴交于点C，两直线，相交于B． (1)求直线的函数表达式． (2)求交点B的坐标． 4．（25-26八年级上·广西梧州·期中）如图，已知直线和分别记为，它们相交于点． (1)根据图上所给条件，求出的解析式； (2)求出交点的坐标． 【变式训练7 图象法解二元一次方程组】 1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川成都·月考）无论k为何值，一次函数的图像恒过定点 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 4．（24-25八年级下·重庆丰都·期末）平面直角坐标系也可以将方程问题转化为图形问题进行研究，二元一次方程在平面直角坐标系中也有自己的“图象”． (1)在表格中填入二元一次方程的解； x … 0 ______ … y … ______ … (2)将二元一次方程的解用点在平面直角坐标系中表示出来，并将这些点连接起来，发现它的“图象”在平面直角坐标系中是______． (3)不定方程是一类特殊的方程，通常指未知数个数多于方程个数的方程或方程组，解的范围有一定的限制（如整数、自然数等）．若二元一次方程的解要求为自然数，请你结合它的“图象”分析，它的自然数解有_____个，并用实心圆点将这些解在图中标注出来． 【变式训练8 求直线围成的图形面积】 1．（24-25九年级上·四川眉山·月考）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线：与y轴交于点A，直线：与直线交于点B，与y轴交于点C，已知点B的纵坐标为． (1)求点B的坐标及直线的表达式； (2)求直线，与y轴所围成的面积． 4．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，两条直线相交于点． (1)求p的值，并且直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； (2)判断直线是否也过点M？并说明理由． (3)若直线与x轴交于点，求直线的关系式和的面积． 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．不等式的解集是 C．当时， D．当时， 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）根据如图所示图象可得关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州遵义·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁沈阳·一模）直线和在直角坐标系中的位置如图所示，则直线和与y轴围成的图形的面积为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 6． （24-25八年级上·广西梧州·期中）一元一次方程的解是一次函数 的图象与x轴的交点的横坐标． 7．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ． 9．（24-25八年级下·广东潮州·月考）如图，根据图中信息解答下列问题： （1）不等式的的解集是 ； （2）不等式的的解集是 ； （3）关于的方程组的解是 ． 10．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点P沿路线运动．当的面积是的面积的时，点的坐标为 ． 11．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，已知一次函数（k，b为常数，）的图像经过点，．      (1)由图可知，关于x的一元一次方程的解是___________； (2)求该一次函数的表达式． 12．（25-26八年级上·全国·假期作业）已知正比例函数的图象如图． (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)若，则x的取值范围是______． 13．（25-26八年级上·广西崇左·月考）画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解； (2)不等式的解集； (3)不等式组的解集． 14．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴与轴于点，，，与直线交于点．    (1)求的表达式； (2)求的表达式及点的坐标； (3)点为直线上一点，其横坐标为，过点作轴于点，与直线交于点，，求点的坐标． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $