第17讲 实际问题与一次函数（2个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第17讲 实际问题与一次函数（2个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 一次函数应用之分配方案问题 题型二 一次函数应用之最大利润问题 题型三 一次函数应用之行程问题 题型四 梯度计价问题 题型五 一次函数应用之体积问题 题型六 一次函数应用之面积问题 题型七 一次函数应用之交点问题 题型八 一次函数与几何综合 知识点一：一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）某公司手机话费收费有 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）和 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）两种．当月通话时间为（    ）时，， 两种套餐收费一样． A． 分钟 B． 分钟 C． 分钟 D． 分钟 【答案】C 【分析】根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式，再根据两种收费相同列出方程，求解即可． 【详解】A套餐的收费方式：y1＝0.1x＋15； B套餐的收费方式：y2＝0.15x； 由0.1x＋15＝0.15x，得到x＝300， 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，是典型的电话收费问题，求出两种收费相同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键． 2．（24-25九年级上·广东广州·月考）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程： ． 【答案】或 【分析】设，根据题意，得，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，利润问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设， 根据题意，得 解得， 故解析式为， 故或， 故答案为：或． 知识点二：一次函数图像的应用 1.在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 2.分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·浙江·开学考试）甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像和性质． 根据图像信息分析结论即可． 【详解】A．由图像可判断，甲一小时走了，故甲的速度是，选项不符合题意． B．由图像可判断，乙4小时走了，故乙的速度是,选项符合题意． C．由图像可判断，乙先出发1小时，选项不符合题意． D．由图像可判断，乙比甲晚到地，选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，折线为视频通话需付的费用（单位：元）与通话时间（单位：）之间的函数关系图象，则通话需付 元． 【答案】7.4 【分析】先确定通话对应的是函数图象中射线的部分，通过待定系数法求出射线的函数解析式，再将代入解析式，计算出对应的费用． 【详解】解：设射线的函数解析式为）． 把，代入， 得 解得 射线的函数解析式为． 当时，． 故通话需付7.4元． 故答案为：7.4． 【点睛】本题考查了分段函数的实际应用，掌握 用待定系数法求一次函数解析式，并代入自变量值计算函数值是解题的关键． 【核心考点一 一次函数应用之分配方案问题】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据题中已知条件，求出，然后和相比较，从而得出正确结论． 【详解】①、，正确，符合题意； ②、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对，不符合题意； ③、当时，即，解之得．所以当累计购物超150元时，选择甲商场一定优惠些，符合题意； ④、根据题意，所以，符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式等知识点，灵活的与方程或不等式联系起来是解决此问题的关键． 【例4】（24-25八年级·全国·假期作业）某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是 ． 【答案】x＞300 【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围. 【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x. ∵y1＝kx＋30经过点(500，80)， ∴k＝， ∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60. ∴两直线的交点坐标为(300，60)， ∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立， 故答案为：x＞300. 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 【核心考点二 一次函数应用之最大利润问题】 【例1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 【例2】（2025·北京丰台·二模）某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 【答案】C 【分析】从图1和图2中可知，当时，日销售量达到最大，所以根据日销售利润=日销售量每件产品的销售利润即可求解． 【详解】由图1知，当天数时，市场日销售量达到60件：从图2知，当天数时，每件产品销售利润达到最大30元．销售总利润为：（元）． A：从图1，可以看出当时，市场日销售量最大，选项正确，不符合题意； B：从图2，可以看出第20天至30天该产品单件销售利润相同，都达到最大值30元，选项正确，不符合题意； C：当时，日销售量低于时的日销售量，但单件销售利润相同，所以当天数为30时，销售利润最大，选项错误，符合题意； D：从图2中可以看出，第20天至30天该产品单件销售利润相同，从图一看出，日销售量逐日增加，成正比例函数关系，所以日销售利润逐日增加，选项正确，不符合题意； 故答案为：C 【点睛】本题考查的一次函数变量之间的实际应用，通过观察图形，结合相关数据处理实际问题，利用数形结合是解决问题的关键． 【例4】（2025·四川绵阳·二模）炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是 元． 【答案】780 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用， 设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，再根据不等式关系得，进而得出取值范围，然后根据利润得出一次函数，最后结合自变量取值范围讨论最大值即可． 【详解】解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ， 解得，且． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小， 即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元． 故答案为：780． 【例4】（2025·北京房山·二模）某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表： 规格 每包食材含量 每包售价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为 包时，每日所获总售价最大，最大总售价为 元． 【答案】 400 22800 【分析】设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元，根据题意列出y与x的关系和W与x的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元， 根据题意，得：， ∴y=-4x+2000， 由x≥-4x+2000得：x≥400， ∴W=45x+12y=45x+12（-4x+2000）=-3x+24000， ∵-3＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x=400时，W最大，最大为-3×400+24000=22800（元）， 故答案为：400，22800． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解答的关键是根据题意，正确列出一次函数关系式，会利用一次函数性质解决问题． 【核心考点三 一次函数应用之行程问题】 【例1】（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）某新能源汽车电池包充电后总电量为，平均电能行驶．则电池包中剩余电量与行驶路程的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数关系的计算，根据题意，总电量为，每可行驶，即每行驶消耗的电量，剩余电量与行驶路程的函数关系应为总电量减去消耗的电量． 【详解】解：总电量固定为，行驶路程增加时，剩余电量减少， 每行驶消耗电量为， 行驶消耗的电量为， ∴剩余电量为总电量减去消耗量，即， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，A、B两地相距，有甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，图中、分别表示甲、乙两车离开A地的距离与行驶时间之间的函数关系，现有以下四个结论：①甲车的速度为，乙车的速度为；②乙车出发4小时后追上甲车；③乙车到达B地时，甲车离A地的距离为；④乙车到达B地之前，甲、乙两车相距时，甲车行驶时间为或．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据速度、时间和路程的关系求解即可，本题考查了一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：甲的速度为， 乙的速度为，故①是正确的； 设乙用x小时追上甲，则， 解得，故②是正确的； 乙车到达B地的时间为， 此时甲距A的距离为，故③是正确的； ， ， ∴乙车到达B地之前，甲、乙两车相距时，甲车行驶时间为或， 故④是正确的； 故选：D． 【例3】（2025·江苏淮安·模拟预测）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出时的的值即可． 【详解】解：由题意，当时，解得：； ∴轿车从A地到达B地所用时间是小时； 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）某厂家对其生产的型汽车进行耗油量试验．试验中油箱中的剩余油量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示，与行驶时间（单位：）的关系如表所示．根据这些信息，此A型汽车在试验中的平均速度为 ． 行驶时间 0 油箱剩余油量 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格内数据求出剩余油量与行驶时间之间的解析式即可知道剩余油量为时所经过的时间，此时可求得平均速度． 【详解】解：设剩余油量与行驶时间的解析式为， 将;代入得 ， 解得， 与的解析式为：， 当时， ， 解得； 根据剩余油量与行驶路程的函数图像可知， 当剩余油量为时，行驶的路程为500千米； 故汽车的速度为 ： 故答案为： ． 【核心考点四 梯度计价问题】 【例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数解分段计费问题，熟练掌握运用一次函数解分段计费问题的方法是解题的关键． 根据出租车收费标准，起步价10元覆盖，超过后每公里加收2元，当时，总费用由起步价和超过部分的费用组成． 【详解】解：∵起步价10元覆盖，则超过部分为， 根据题意得：． 故选：A． 【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【答案】C 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）小李想在某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤（），付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，付款金额由两部分组成，前15斤按原价计算，超过部分打8折，据此列出函数关系式即可；本题考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意，前15斤的费用为（元）， 超过15斤部分的费用为（元）， 因此； 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是 ． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据分段计费标准，当时，天然气费包括第一档全额费用、第二档全额费用和第三档的费用，据此求解即可． 【详解】第一档费用为元， 第二档费用为元， 前两档总费用为元． 第三档费用为元， 因此． 故答案为． 【核心考点五 一次函数应用之体积问题】 【例1】（24-25八年级下·河南安阳·月考）下图是一个瓶子盛入某种液体时，总质量（）与所盛液体体积（）的关系图象，请根据图象所提供信息计算空瓶子的质量（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可得，在一次函数图象上，待定系数法求解析式，进而即可求解． 【详解】解：依题意，设，将，代入得， 解得： ∴， 当时，， 即空瓶子的质量， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·北京延庆·期末）图（1）是饮水机的图片．打开出水口，饮水桶中水面由图（1）下降到图（3）的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水面下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形，可以得到y与x的函数关系式，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 水桶的底面积S不变， 则y=xS， 即y时关于x的正比例函数， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式． 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·月考）实验表明，某种气体的体积随着温度的改变而改变，它的体积公式可用计算，已测得当时，体积；当时，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用．待定系数法求出气体的体积随着温度的关系式即可． 【详解】解：∵当时，；当是，， ∴， 解得， 故答案为：． 【例4】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，、两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱中没有水，水箱盛满水，现以的流量从水箱中抽水注入水箱中，当水箱与水箱中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差（抽水水管的体积忽略不计 ． 【答案】 【分析】设水箱中的水位高度为，由水箱与水箱中的水的体积相等，列出方程可求解． 【详解】解：设水箱中的水位高度为， 由题意可得：， ， 两水箱中水位的高度差()， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是本题的关键． 【核心考点六 一次函数应用之面积问题】 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）直线与两坐标轴围成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是求出一次函数与坐标轴的交点．先根据一次函数的解析式求出一次函数与x轴，y轴的交点坐标；再运用三角形的面积公式即可求出该直线与坐标轴围成三角形的面积． 【详解】解：在中 令，代入得： 令，代入得： 直线与两坐标轴交点为， 如图： 直线与两坐标轴围成的图形的面积是 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·湖南永州·月考）明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率，该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出一次函数解析式，求出当时的函数值，再用对应的函数值除以对应的时间即可得到答案． 【详解】解：如图，    设直线的解析式为， 则， 解得 故直线的解析式为， 当时，， ． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【例3】（2025·广西·一模）在正方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BF平分∠EBC交CD于点F，交AC于点G，将△CGF沿直线GF折叠至△C′GF，BD与△C′GF相交于点M、N，连接CN，若AB=6，则四边形CNC′G的面积是 ． 【答案】24﹣48 【分析】建立如图坐标系，延长BE交CD的延长线于K．则易知AB＝DK＝6，CK＝12，BE＝EK＝3，BK＝6．利用角平分线的性质定理，求出CF，点G的坐标，再求出C′F的解析式，利用方程组求出点N的坐标，即可解决问题． 【详解】建立如图坐标系，延长BE交CD的延长线于K．则易知AB＝DK＝6，CK＝12，BE＝EK＝3，BK＝6． ∵BF平分∠CBK， ∴， CF＝3（−1），F[6，3（−1）]． ∵CG平分∠ACF， ∴可得CG＝9−3，S△CGF＝•CG•CF•sin45°＝18−36， 由C′（，），F[6，3（-1）]， ∴直线C′F的解析式为y＝−x＋3， 由， 解得N（2，2）， ∴S△CFN＝•（6−2）•3（−1）＝12−24， ∴S四边形CNC′G＝2S△CFG−S△CFN＝36−72−12＋24＝24−48． 故答案为：24−48． 【点睛】本题考查正方形的性质、角平分线的性质定理、翻折变换、勾股定理、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题． 【例4】（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，某园林公司承担了绿化某社区块空地的绿化任务，工人工作一段时间后，提高了工作效率.该公司完成的绿化面积(单位：与工作时间(单位：)之间的函数关系如图所示，则该公司提高工作效率前每小时完成的绿化面积是 . 【答案】 【分析】利用待定系数法求出提高效率后与的函数解析式，由此可得时，的值，然后即可得出答案. 【详解】由题意，可设提高效率后得与的函数解析式为 将和代入得 解得 因此，与的函数解析式为 当时， 则该公司提高工作效率前每小时完成的绿化面积 故答案为：100. 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，依据图象，利用待定系数法求出函数解析式是解题关键. 【核心考点七 一次函数应用之交点问题】 【例1】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）直线与轴的交点为，与轴的交点为，则线段上（包括端点）横坐标和纵坐标都是整数的点一共有多少个？（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的其他应用，一次函数与坐标轴的交点，求直线与坐标轴的交点A和B，再通过参数化求线段上的整数点，即可作答． 【详解】解：∵直线 ， ∴与轴交点：设，得，解得， ∴， 与轴交点：设，得， ∴， 在线段上，点满足，且，， 设点为整数点，则为整数，代入方程得， ∵ 为整数， ∴为整数， 故是的倍数， 设（为整数）， 则， 由， 得， 即， 解得， ∵为整数， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴对应点：，，，，， ∴共有个点， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·湖北随州·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”如图所示的是良马与驽马行走路程s（里）关于行走时间t（日）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图像的性质及交点坐标的求法，根据题意列出函数解析式，驽马行走路程，良马行走路程，进而联立方程组求出点坐标．熟练掌握一次函数解析式的求法是解决本题的关键． 【详解】解：由题意可知，驽马行走路程， 良马行走路程， 联立可得：，解得，， 故点P的坐标为， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日迫及之．”两匹马行走路程S（里）与行走时间（日）的函数关系如图所示，则图中交点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设良马t天追上驽马， ， 解得，， 20天良马行走的路程为（里）， 故点P的坐标为， 故答案为：． 【例4】（2025·湖北武汉·一模）在一次体育课上进行跳绳测试，小明的跳绳平均成绩为每分钟100个，小强的跳绳平均成绩为每分钟150个（单位：个），小明先跳150个，然后小强再跳，如图是小明、小强跳绳的个数关于小强的跳绳时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，先根据题意列出函数关系式，然后联立方程组解决问题即可；求出一次函数的关系式是关键． 【详解】解：由题意得：小明跳绳的函数关系式为：， 小强跳绳的函数关系式为：， ， 解得，， ， ∴P的纵坐标是， 故答案为：． 【核心考点八 一次函数与几何综合】 【例1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）对于每个，函数是，，，这三个函数中的最小值，其中这三个函数图象如图所示，则函数的最大值是（   ） A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、一次函数的性质，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据这三个函数图象，即可解答． 【详解】解：由题意，在同一坐标系中这三个函数图象如下． 又联立方程组， ∴， ∴结合图象可得满足题意的最大值为． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·全国·月考）如图，在长方形中，，点P是边上的动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点D出发以的速度向点C运动，则的面积与点P的运动时间间的函数关系式为（   ） A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 【答案】C 【分析】本题考查动点问题、求自变量与因变量的关系式，根据，用含t的代数式表示出的底边的长即可得到答案． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故选：C． 【例3】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴、轴上，将正方形向右平移，当点落在函数的图象上时，点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及坐标与图形变化-平移，利用一次函数图象上点的坐标特征及平移的性质，找出正方形平移的距离是解题的关键．利用正方形的性质，可得出点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，再结合平移的性质，即可得出点的坐标． 【详解】解：边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴、轴上， 点的坐标为，点的坐标为， 将正方形向右平移，当点落在函数的图象上时，则时，， 解得， 点的对应点的坐标为， 即当点落在函数的图象上时，正方形往右平移（个单位长度）， 此时点的对应点的坐标为，即， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象上有两点点的横坐标为3，点的横坐标为（且），过点分别作轴的垂线，垂足为，的面积分别为，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】分别求出的大小，关于a的函数关系式，然后根据非负数的性质求出的取值范围，跟比较即可． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，由一次函数确定坐标，根据坐标表示出面积并比较大小． 【详解】解：∵一次函数的图象上有两点点的横坐标为3，点的横坐标为， ∴当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为： 【变式训练1 一次函数应用之分配方案问题】 1．（2025·四川眉山·一模）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【答案】B 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元． （1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为 ； （2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为 ，当时，y与x之间的函数关系式为 ； （3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张，乙单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张． 【答案】 一 500 二 200 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）根据题意列出函数关系式即可； （3）根据函数关系式和题目给出的数量关系判断计算即可． 【详解】解：（1）该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； （2）该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为； 当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝80（x－100）+100×10000=80x+2000； 故答案为：， （3）若两单位都采用方案一，则总票款应为，矛盾． 若两单位都采用方案二，则至少一个单位购票超过100张，若是一个超过100张另一个不超过100张，设购票较少的买了x张， 则有， 解得，与已知矛盾； 若两个单位购票都超过100张，则总票款应为，矛盾． 故只能是一个单位采用方案一，另一个单位采用方案二． 此时设采用方案一的购票x张，若采用方案二的购票不超过100张，则有， 解得，但此时，矛盾； 若采用方案二的购票超过100张，则有， 解得，此时，符合题意， 再由甲单位付费较多可知采用方案一的是甲，采用方案二的是乙． 故答案为：一、500，二、200． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，运用函数知识解决问题． 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）将吨物资从地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为吨辆和吨辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 甲地（元辆） 乙地（元辆） 大货车 小货车 (1)这两种货车各需多少辆？ (2)如果安排辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为辆，请写出运费（元）与的函数关系式．若运往甲地的物资不少于吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费． 【答案】(1)需要大货车辆，需要小货车辆； (2)运往甲地的大货车辆，小货车辆，运往乙地的大货车辆，小货车辆，最少运费为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的运用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设需要大货车辆，需要小货车辆，根据题意得，然后解方程组即可； （）由题意可得，然后求出，又，则随的增大而增大，则当时，最小，最小值为，从而求解． 【详解】（1）解：设需要大货车辆，需要小货车辆，根据题意得： ， 解得， 答：需要大货车辆，需要小货车辆； （2）解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，最小，最小值， 答：运往甲地的大货车辆，小货车辆，运往乙地的大货车辆，小货车辆．最少运费为元． 4．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）A，B两个红十字会分别有100吨和120吨生活物资，准备直接运送给甲、乙两个灾区，甲地需160吨，乙地需60吨，A，B两地到甲、乙两地的路程以及每吨每千米的运费如图所示．    (1)设红十字会A运往甲地物资吨，完成下表： 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 ________ 乙地 ________ ________ (2)求总运费关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)当A、B两红十字会各运往甲、乙两地多少吨物资时，总运费最省？最省运费是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)A运往甲地、乙地分别为40吨、60吨，B运往甲地、乙地分别为120吨、0吨时，总运费最省，最省运费是7260元 【分析】本题主要考查了列代数式，一次函数的应用，正确理解题意和熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题目所给信息列式求解即可； （2）根据（1）所求分别求出对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设红十字会A运往甲地物资吨，则红十字会A运往乙地物资吨， ∴红十字会B运往甲地物资吨， ∴红十字会B运往乙地物资吨， 列表如下： 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 乙地 （2）解：由题意得， （3）解：∵，， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时， 答：A运往甲地、乙地分别为40吨、60吨，B运往甲地、乙地分别为120吨、0吨时，总运费最省，最省运费是7260元． 【变式训练2 一次函数应用之最大利润问题】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》一书也随之热销．如果一次性购买10本以上，超过10本的那部分书的价格将打折，并依此得到付款金额y（单位：元）与一次性购买该书的数量x（单位：本）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本 B．a＝520 C．一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折 D．一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元 【答案】D 【分析】A、根据单价＝总价÷数量，即可求出一次性购买数量不超过10本时，销售单价，A选项正确；C、根据单价＝总价÷数量结合前10本花费200元即可求出超过10本的那部分书的单价，用其÷前十本的单价即可得出C正确；B、根据总价＝200+超过10本的那部分书的数量×16即可求出a值，B正确；D，求出一次性购买20本书的总价，将其与400相减即可得出D错误．此题得解． 【详解】解：A、∵200÷10＝20（元/本）， ∴一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本，A选项正确； C、∵（840﹣200）÷（50﹣10）＝16（元/本），16÷20＝0.8， ∴一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折，C选项正确； B、∵200+16×（30﹣10）＝520（元）， ∴a＝520，B选项正确； D、∵200×2﹣200﹣16×（20﹣10）＝40（元）， ∴一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花40元，D选项错误． 故选D． 【点睛】考查了一次函数的应用，根据一次函数图象结合数量关系逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 2．（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品 个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为 万元． 【答案】 30 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）水果含有多种维生素、矿物质、纤维等丰富的营养成分，经常吃适量的水果，有益于身体健康．某水果店计划购进两种水果共进行销售，两种水果的成本和售价如下表： 种类 成本（元） 售价（元） A 12 20 B 15 25 设购进种水果，其中，两种水果全部售出所获得的利润为（元），请回答下列问题． (1)求与的函数关系式（不用写自变量的取值范围）； (2)该商店全部售出这两种水果是否能获得7500元的利润？请说明理由． 【答案】(1) (2)该商店不能获得7500元的利润；理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据“总利润水果的利润水果的利润”列式即可； （2）由一次函数的增减性作答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：不能． ， 随的增大而减小， 又， 当时，， 该商店不能获得7500元的利润． 4．（25-26八年级上·河南郑州·月考）政府支持科技创新，鼓励企业增加创新投入，某企业开发了一种新型产品，产品投放市场后，企业收益（单位：万元）与所售产品数量（单位：件）之间的函数关系如图所示．（企业收益每件产品的利润销售数量前期投资）． (1)若新产品投放市场后，政府奖励该企业万元，问政府奖励资金是否可以弥补企业生产该产品的前期投资，请做出判断，并写出计算过程； (2)一段时间后，企业对产品进行了升级，升级后每件产品的利润有了提高，下表是产品升级后的销售数据． 销售时间 销售数量/件 企业收益/万元 产品升级后的第一月 产品升级后的第二月 ①升级后每件产品的利润比升级前每件产品的利润高多少元？ ②当销售多少件时，升级前后该企业的收益相等，此时企业的收益是正还是负？ 【答案】(1)可以弥补，计算过程见解析 (2)①升级后每件产品的利润比升级前每件产品的利润高元；②当销售件时，升级前后该企业的收益相等，此时企业的收益是负 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是正确得出函数关系式． （1）设该函数关系式为，利用待定系数法求出解析式即可得解； （2）①设升级后每件产品的利润为万元，前期总投资为万元，根据题意得，求出、，即可求解；②升级后与的函数关系式为，联立，求出此时的、值，即可得解． 【详解】（1）解：可以弥补， 设该函数关系式为，将点，代入得 ， 解得， ， 当时，， 企业生产该产品的前期投资为万元， ， 政府奖励资金可以弥补企业生产该产品的前期投资； （2）①设升级后每件产品的利润为万元，前期总投资为万元， 根据题意得， 解得， 由（1）知，升级前每件产品的利润为万元， （万元）（元）， 答：升级后每件产品的利润比升级前每件产品的利润高元； ②由①知，升级后每件产品的利润为万元，前期总投资为万元， 升级后与的函数关系式为， 当升级前后该企业的收益相等， 则联立， 解得， 当销售件时，升级前后该企业的收益相等，此时企业的收益是负． 【变式训练3 一次函数应用之行程问题】 1．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度返回甲地，货车到达乙地后停止，货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．甲、乙两地相距90千米 B．轿车返回的速度为每小时90千米 C．两车在出发小时后相遇 D．货车到达乙地时，轿车离乙地18千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以计算出货车的速度已经轿车返回时的速度，然后即可计算出相遇处到甲地的距离． 【详解】解：由图象可得：甲乙两地相距90千米，故A选项正确，不符合题意； 货车的速度为：（千米/小时）， 轿车返回时的速度为：（千米/小时），故B选项正确，不符合题意； 设当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，货车行驶的时间为a小时， ， 解得：，故C选项正确，不符合题意； 当货车到达乙地时，， 此时轿车离乙地的距离为（千米），故D错误，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 【答案】 180 3.75 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，根据交点的意义可得，求解，即可求解，两地之间的距离； （2）先求出甲车3时走的路程，则即可求解甲车的速度，继而求解甲车到达中点时的时间． 【详解】（1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米， 因为交点的坐标为， 所以出发3时，两车相遇，此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米， 所以， 解得， 所以， 所以，两地之间的距离为180千米， 故答案为：； （2）因为甲车3小时走了72（千米）， 所以甲车的速度为（千米/时）， 所以甲车到达中点时的时间：（时），即的值为3.75． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）某校八年级学生去西北农林科技大学研学参观，为了提前做好准备工作．学校安排小轿车送志愿者前往，同时老师和学生乘坐大巴车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，已知两车行驶3h后在途中相遇．如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)求小轿车返回学校过程（段）的函数表达式； (2)当时，问大巴车从学校出发后经过多长时间与小轿车相距． 【答案】(1) (2)当时，大巴车从学校出发后经过或时与小轿车相距 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键； （1）设直线的解析式是，把，代入解析式，得出解析式， （2）设直线的函数解析式为：，求出直线的解析式为，结合，再根据题意分情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 把，代入解析式，得 ， 解得：， 则直线的解析式是：， （2）解：当时，， 设直线的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：， 当， 解得； 当， 解得； 当时，大巴车从学校出发后经过或时与小轿车相距． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解某品牌新能源汽车电池需要多久能充满，以及电量充满状态下新能源汽车的最大行驶里程，菁英实践小组设计了以下两组实验． 实验一：经试验探究：电池充电状态下新能源汽车仪表盘显示增加的电量与时间t（分）的满足正比例函数关系：． 实验二：探究电量充满状态下新能源汽车行驶过程中仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）的关系． 数据记录如表1： 新能源汽车行驶过程 已行驶里程 0 160 200 280 显示电量 100 60 50 30 【建立模型】观察表1发现e与s满足一次函数模型，请结合表1的数据，求出e关于s的函数表达式； 【解决问题】该品牌新能源汽车在电量充满的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若该新能源汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电30分钟，则充电后该新能源汽车是否有足够的电量行驶到目的地？ 【答案】；充电后该新能源汽车有足够的电量行驶到目的地 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 【建立模型】：根据实验一可知关于的函数解析式，利用待定系数法求出关于的函数解析式即可； 【解决问题】：将代入关于的函数解析式，求出剩余电量；将代入关于的函数解析式，求出充入的电量，从而求出在途中的服务区充电30分钟后仪表盘显示的电量，根据此时的电量每千米消耗的电量求出还能行驶的里程并与剩余的路程比较大小即可得出结论． 【详解】解：【建立模型】：根据实验一可知关于的函数解析式为； 设关于的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 关于的函数解析式为． 【解决问题】当时，， 当时，， ， 在途中的服务区充电30分钟后，仪表盘显示电量是， 当仪表盘显示电量是时，还能行驶的里程为（千米）， 剩余路程为（千米）， ， 充电后该新能源汽车有足够的电量行驶到目的地． 【变式训练4 梯度计价问题】 1．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像的识别，根据题意列出函数式子是解题的关键． 列出函数解析式再作图即可判断． 【详解】解：由题意可得： 当时，， 当时，， ∴与的函数关系为：， 作出图像可得：， 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元． 【答案】4 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知当地的商业用电收费规则为：月用电量不超过210度的部分，按元/度计费：月用电量超过210度但不超过400度的部分．按元/度计费：月用电量超过400度的部分．按元/度计费．设该餐厅月用电量为度，应缴电费为元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)若该餐厅上月缴纳电费230元，则该餐厅上月用电多少度？ 【答案】(1) (2)370度 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据所给收费标准列出对应的函数关系式即可； （2）可推出，则把代入中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， 答：该餐厅上月用电370度． 4．（25-26八年级下·山东淄博·月考）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，写出用气费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1147元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的用气费为1475元 (3)该户去年一年的用气量为400m3 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，． 所以y与x的函数关系式为； （2）解：当时，． 该户这一年的用气费为1475元； （3）解：第一档的最高费用为（元），第二档的最高费用为（元）， 因为，所以该户的年用气量属于第二档， 所以， 解得：， 答：该户去年一年的用气量为． 【变式训练5 一次函数应用之体积问题】 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）下面的四个问题中都有两个变量： ①铁的密度为， 铁块的质量m（单位:）与它的体积V（单位:）； ②一个等腰三角形的周长为，它的底边长y（单位：） 与腰长x（单位：）； ③矩形的面积一定，一边长y与相邻的另一边长x； ④将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y（单位：）与放水时间x（单位：）；其中，两个变量之间的函数关系可以用形如（k，b是常数，）的式子表示的是（     ） A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了变量之间的关系，正确写出函数解析式是解答本题的关键．根据变量之间的关系写出函数解析式即可求解． 【详解】解：①∵铁的密度为，铁块的质量m（单位：）与它的体积V（单位：）， ∴，故符合题意； ②∵一个等腰三角形的周长为，它的底边长y（单位：）与腰长x（单位：）， ∴，故符合题意； ③设矩形的面积为S，则，故不符合题意． ④设水箱中的水量为V，每小时放水，则，符合题意， 综上可知，①②④正确， 故选：C． 2．（2025·江苏泰州·二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为 cm3． 【答案】80 【分析】本题考查了一次函数的应用，设，将，代入解析式求得，进而可得烧杯的质量为140g，72g该种液体和烧杯的总质量为，求出的值即可． 【详解】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量与液体的体积为一次函数关系， 设， 将，代入解析式得：， 解得：， ， 当时，，即烧杯的质量为 当该种液体时，时，即， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： (1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式； (2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用． （1）利用待定系数法即可得到y与x的一次函数关系式； （2）根据（1）可以得出，再进行求解即可得出答案． 【详解】（1）设， 把，，代入得：， 解得， 即； （2）由， 得， 即至少放入个小球时有水溢出． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析： 1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表： 0.1 0.3 2 6 水面高度与体积近似地满足一次函数关系． 2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示： 请解答下列问题： (1)求1号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式； (2)求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，解题的关键是： （1）设1号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式为，把，；，代入求解即可； （2）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：设1号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式为， 则， 解得， ∴； （2）解：把，代入，得 ， 解得， ∴． 【变式训练6 一次函数应用之面积问题】 1．（24-25八年级下·湖北·期末）某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出2至5小时的一次函数解析式，从而求出当x=2时的纵坐标，然后再除以2即可． 【详解】解：从图像可以知2至5时的函数图像经过(4，1600)，(5，2100) 设该时段的一次函数解析式为y=kx+b(x≥2)，依题意，将点(4，1600)，(5，2100)分别代入， 可列方程组有 解得： ∴一次函数的解析式为：y=500x-400 ∴当x=2时，解得y=600． ∴前两小时每小时完成的绿化面积是600÷2=300(m2) ． 故选D． 【点睛】此题主要考查求一次函数的解析式与函数的图像的关系．运用待定系数法求得一次函数的解析式是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点，用分别表示的面积，则当n=4时， ；当n=2020时， ． 【答案】 【分析】根据图象上点的坐标性质得出点各点纵坐标，进而利用三角形的面积得出，继而得到规律，据此解题即可． 【详解】解：，是轴上的点且 ， 分别过点作轴的垂直交直线于点， 的横坐标为：，纵坐标为：， ， 同理可得：的横坐标为：，纵坐标为：， ， 的横坐标为：，纵坐标为：， ， 的横坐标为：，纵坐标为：， 以此规律可得：， ， ∴当时，， 当时，. 故答案为：；. 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键. 3．（25-26九年级上·广东中山·月考）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：），与墙平行的一边长为y（单位：），面积为S （单位：）． (1)直接写出y与x的函数解析式（写出x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形实验田的面积S能达到， (3)当时，S有最大值 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数和二次函数的应用，二次函数的最值问题，理解题意，正确列出方程与函数表达式是解题的关键； （1）根据，求出y与x的函数解析式，然后求出x的取值范围； （2）根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式，再将代入函数中，求出x的值； （3）将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 即， ， ， ∴； （2）解：， ，即， 分解因式得：， 或， 或（舍去）， 即当时，矩形实验田的面积S能达到； （3）解：∵， 当时，S有最大值． 4．（25-26八年级上·辽宁锦州·期末）为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了如图所示的一块三角形的劳动实践基地，并邀请数学兴趣小组的同学们将其全部种植甲、乙两种蔬菜．同学们经过测量与调查，得到如下信息： 信息1：； 信息2：甲种蔬菜的种植成本为每平方米30元； 信息3：乙种蔬菜的种植成本（单位：元）与种植面积（单位：平方米）的关系如下表所示，其中； /平方米 10 20 30 40 50 /元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，请帮助该小组的同学们完成下列任务： (1)求该校劳动实践基地的面积； (2)求乙种蔬菜的种植成本与种植面积之间的函数关系式； (3)设甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，才能使最小？并求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，才能使最小，的最小值为1680元 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式计算即可得； （2）先根据表格可得与之间满足一次函数关系，再利用待定系数法求解即可得； （3）设乙种蔬菜的种植面积为，则甲种蔬菜的种植面积为，先结合（2）的结论，建立与之间的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴的面积为， 答：该校劳动实践基地的面积为． （2）解：由表格可知，自变量每增加10，函数值就增加240，函数值的变化是均匀的， ∴与之间满足一次函数关系， 设， 将点，代入得：，解得， ∴． （3）解：设乙种蔬菜的种植面积为，则甲种蔬菜的种植面积为， 由题意得：， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为， 此时， 答：当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，才能使最小，的最小值为1680元． 【变式训练7 一次函数应用之交点问题】 1．（2025·湖北十堰·二模）《九章算术》中有这样一道数学题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之．问：几何步及之?”如图是善行者与不善行者行走的路程S（单位：步）与行走时间t（单位：分）之间的函数图象，则两图象交点P的纵坐标为（    ） A．200 B．250 C．300 D．350 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数关系式是解题的关键．根据题意I去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可． 【详解】解：设点A、B的坐标为：， 则直线的表达式为：t①， 设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：，两图象交点P的纵坐标为250， 故选：B 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点． （1）点的坐标是 ； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）当时，，当时，，据此分别联立对应的直线解析式求解即可； （2）可推出直线经过定点，再分别求出直线恰好经过点A和点B时k的值即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 联立，解得，则， 联立，解得，则， 故答案为：； （2）在中，当时，， ∴， ∵， ∴直线经过定点， 如图所示，当直线恰好经过点A时，则，解得， 当直线恰好经过点B时，则，解得， ∴当时，一次函数与有交点， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为．且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点在轴上且．求此时点的坐标； (3)若点在轴左侧的直线上，且的面积是10，求此时点坐标． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数是解题关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）根据一次函数的解析式，得到点B的坐标，再根据，以及三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． （3）设点P的坐标为，利用数形结合及的面积为10，以及三角形的面积公式进行列式计算，解得m的值，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， 即点C坐标为． ∵一次函数经过、点， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数与y轴交于点B， ∴， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设， 则， 解得， 即， 故， ∴或． （3）解：∵点在轴左侧的直线上，且由（1）得直线的表达式为； ∵，， ∴， ∴点在第三象限， ∴设P的坐标为，且，连接 ∵的面积是10，，且由（2）得， ∴， ∴ ∴， ∴点P的坐标为． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）、两地相距，甲、乙分别从地和地同时出发，相向而行，他们距离的路程与出发后的时间之间的函数关系的图象如图所示．      （1）甲行驶了________小时到达地，乙行驶了________小时到达地； （2）分别求出甲、乙距离地的路程与时间的函数表达式； （3）求出两个图象的交点坐标，解释交点坐标所表示的实际意义． 【答案】（1）4.5；6；（2）s＝8t（0≤t≤4.5）；s＝−6t＋36；（3）交点坐标是（，），交点坐标所表示的实际意义是当t＝时，甲、乙两人离A地的距离都是km． 【分析】（1）根据函数图象，可以直接写出甲行驶了几小时到达B地，乙行驶了几小时到达A地； （2）根据函数图象中的数据可以分别写出甲、乙距离A地的路程s与时间t的函数表达式； （3）根据（2）中的函数解析式，可以求得两个图象的交点坐标，并解释交点坐标所表示的实际意义． 【详解】（1）由图象可得， 甲行驶了4.5小时到达B地，乙行驶了6小时到达A地； 故答案为：4.5；6； （2）设甲距离A地的路程s与时间t的函数表达式为s＝kt， 4.5k＝36，得k＝8， 即甲距离A地的路程s与时间t的函数表达式为s＝8t（0≤t≤4.5）； 设乙距离A地的路程s与时间t的函数表达式为s＝at＋b， ，得， 即乙距离A地的路程s与时间t的函数表达式为s＝−6t＋36； （3）令8t＝−6t＋36， 解得，t＝， 当t＝时，8t＝8×＝， 即两个图象的交点坐标是（，），交点坐标所表示的实际意义是当t＝时，甲、乙两人离A地的距离都是km． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【变式训练8 一次函数与几何综合】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和的边有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象性质、直线与三角形边的交点问题，确定直线的定点是解题关键． 先确定直线恒过定点，结合图形可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、，求出直线过顶点、时的值即可得出的取值范围． 【详解】解：对于， 当时，令，即，解得，此时点的坐标为， 当时，令，此时直线为轴，直线经过点， 综上所述，直线一定经过点， 由图可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、， 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； 由图可知，当直线和的边有公共点时的取值范围为． 故选：． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段为边在第一象限内作等腰，．则过B，C两点直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标；作轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线的解析式． 【详解】解：∵一次函数中， 令得：； 令，则，解得， ∴B的坐标是，A的坐标是， 如图，作轴于点D， ∵， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，，， 则C的坐标是． 设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：， ∴直线的解析式是． 故答案为：． 3．（2025九年级上·西藏林芝·学业考试）如图，直线与轴、轴分别交于两点，且． (1)求点坐标和的值； (2)若点是直线上在第一象限内的一个动点，当点在运动过程中，试写出的面积与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先求得C点的坐标，从而可求得，再根据求得，从而可得，再代入，求得； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：直线， 令，则， ∴，， ∵ ∴， ∴， 代入得： ∴； （2）∵直线的解析式为，点是直线上，在第一象限内的一个动点， ∴， 又， ∴． 4．（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）（1）【问题探究】 如图1，直线分别与轴和轴交于点和点，点在轴上，连接． ① 求直线的表达式； ② 点为轴上的一个动点，若，求点的坐标； （2）【问题解决】如图2，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是小明家花园的示意图，其中点分别在轴，轴正半轴上，点在轴负半轴上，且米，米，小明现在准备在花园的边缘（即的边上）找一点，连接，沿修一条小路，使得小路将分成面积比为的两部分，计划在一个区域种植郁金香，另一个区域种植牡丹，请求出点的坐标，（小路的宽度忽略不计）AI 【答案】（1）①直线；②或；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，求一次函数解析式，一次函数与几何问题等知识． （1）①先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出的解析式即可； ②设点，根据列方程求解即可； （2）先求出的面积为，再分两种情况，当时和当时，根据面积公式得出点P的横坐标，进而求出坐标即可． 【详解】解：（1）①∵直线分别与轴和轴交于点和点， 当时，； ； 当时，； ； 设直线的表达式为，把，代入， ， 解得：， ∴直线的表达式为； ②， ， ， ， 设点， ， ， 解得：或， 或； （2）由题意得：，且， 的面积为， 当时， ， ， 解得：， 设直线的表达式为，把，代入， ， 解得：， ∴直线的表达式为； 当时，， ； 当时， ， ， 解得：， 设直线的表达式为，把，代入， ， 解得：， ∴直线的表达式为； 当时，， ； 综上所述，或． 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨单价应该是（    ） A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 【答案】C 【分析】首先设出一次函数的解析式，再利用待定系数法求出解析式，最后将y＝400代入解析式就可以求出单价． 【详解】解：设购买量y吨与单价x元之间的一次函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得 ， 解得：， 解析式为：y＝－10x＋9000. 当y＝400时， 400＝－10x＋9000， . 故答案为：C. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 2．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了一次函数的应用，根据出租车收费标准，建立费用与行驶里程的函数关系式即可，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． 【分析】解：当行驶里程（为正整数）时，费用由起步价和超出部分费用组成： 起步价：以内，包含为元， 超出部分：超出部分每千米加收元，超出里程为，费用为元， ∴关于的函数关系式是， 故选：． 3．（2025·河北石家庄·二模）超市有，两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买型瓶（个），所需总费用为（元），则下列说法不一定成立的是（    ） 型号 A B 单个盒子容量（升） 2 3 单价（元） 5 6 A．购买型瓶的个数是为正整数时的值 B．购买型瓶最多为6个 C．与之间的函数关系式为 D．小张买瓶子的最少费用是28元 【答案】C 【分析】设购买A型瓶x个,B()个,由题意列出算式解出个选项即可判断. 【详解】设购买A型瓶x个， ∵买瓶子用来分装15升油，瓶子都装满，且无剩油， ∴购买B型瓶的个数是, ∵瓶子的个数为自然数, ∴x=0时, =5; x=3时, =3; x=6时, =1; ∴购买B型瓶的个数是()为正整数时的值，故A成立; 由上可知，购买A型瓶的个数为0个或3个或6个，所以购买A型瓶的个数最多为6，故B成立; 设购买A型瓶x个，所需总费用为y元，则购买B型瓶的个数是()个， ④当0≤x<3时，y=5x+6×()=x+30， ∴k=1>0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元; ②当x≥3时，y=5x+6×()-5=x+25， ∵.k=1>0随x的增大而增大， ∴当x=3时，y有最小值，最小值为28元; 综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为28元. 故C不成立，D成立 故选:C. 【点睛】本题考查一次函数的应用,关键在于读懂题意找出关系式. 4．（2025·宁夏银川·模拟预测）小海和小桐相约去博物馆参观，小海从学校步行出发直接去博物馆． 同时，小桐从家骑自行车出发，途中，他去超市购物后，按原来的速度继续去博物馆．小桐家、学校、超市和博物馆之间的路程如图1所示，他们离小桐家的路程为(米)与所经过的时间(分)之间的函数关系如图2所示， 有下列结论： ①小桐骑自行车的速度为米/分 ②小海步行的速度为米/分 ③线段所在直线的函数表达式为 ④分钟后小桐与小海相遇 其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的图象和数形结合的思想解答．从图象获取信息，利用速度等于路程除以时间求解，即可判断①②；由于小桐从超市到博物馆所用的时间为分，则点D的坐标为，再由点C的坐标为，利用待定系数法求解，即可判断③；先求出线段所在直线的函数表达式，再与线段所在直线的函数表达式联立求得，即可判断④． 【详解】解：小桐骑自行车的速度为：米/分 故①正确， 小海步行的速度为：米/分，故②正确； 根据题意，点B的坐标为，则点C的坐标为．因为小桐从超市到博物馆所用的时间为分，则点D的坐标为． 设线段所在直线的函数表达式为， 把，代入表达式得， 解得， 所以线段所在直线的函数表达式为，故③不正确 设线段所在直线的函数表达式为， 把，代入表达式得， 解得， 所以线段所在直线的函数表达式为． 可列方程组， 解得， 所以分钟后小桐与小海相遇，故④不正确． 故选：B． 5．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图，平面直角坐标系中，在函数和的图象之间由小到大依次画出若干个直角三角形（图中所示的阴影部分），其短直角边与x轴垂直，长直角边与x轴平行，斜边在函数的图象上，已知点A的坐标是，则第100个直角三角形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，求直角三角形面积，掌握一次函数的性质是解本题的关键． 本题先根据点A的坐标以及函数和的表达式求出第一个直角三角形的直角边长度，进而得到其面积，再通过同样的方法求出后续几个直角三角形的面积，找出面积变化规律，最后根据规律求出第100个直角三角形的面积． 【详解】解：如图： 点A的坐标是， ， 当时，， ， 当时，， ， ， 第1个直角三角形的面积为， 同理可得， 第2个直角三角形的面积为， 第3个直角三角形的面积为， 第4个直角三角形的面积为， ， 依此规律，第100个直角三角形的面积为， 故选：A． 6．（2025·浙江杭州·二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式． 【详解】解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机 W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）] ＝140x+12540， 故答案为：W＝140x+12540． 【点睛】本题考查一次函数的应用，属于一般的应用题，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函数关系式． 7．（2025·上海·模拟预测）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚 元． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出函数关系式，求出当售价为8元/千克时的卖出的苹果数量．再利用利润=（售价-进价）×销售量，求出利润． 【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为，将（5，4k），（10，k）代入关系式： ，解得 ∴ 令，则 ∴利润= 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式和利润求解问题．利润=（售价-进价）×销售量． 8．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，熟练掌握待定系数法是解题关键．先分别求出线段所在直线的函数解析式、线段所在直线的函数解析式，再联立，求出它们的交点，则可得乙追上甲的时间点，然后减去乙出发的时间即可得． 【详解】解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 联立，解得， 即乙在2点半的时候追上甲， 由函数图象可知，乙是在2点出发， 则乙从出发到追上甲所用时间为， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用（元与上宽带网时间（时的函数关系如图所示，且超时费都为元时，则这两种方式所收的费用最多相差 元． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，本题中应分三段进行计算，第一段是当时，费用相差(元)；第二段时当时，费用相差最大为 元；第三段当时，根据函数图象列出两种收费方式的收费与时间之间的函数关系式，根据关系式求出所收费用的差距． 【详解】解：设元包时方式的费用为，元包时方式的费用为， 由函数图象可知， 当时，两种收费方式的函数关系式分别是，，费用相差(元)， 当时，两种收费方式的函数关系式分别是，，当，费用相差最大：(元)， 当时，两种收费方式的函数关系式分别是，， 费用相差： (元)， 这两种方式所收的费用最多相差元． 故答案为： ． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒，若与线段有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，分别求出直线经过点、点时的值，即可得到的取值范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当直线过点时，， 解得：， ∴， 解得； 当直线过点时，， 解得：， ∴， 解得， 若与线段有公共点，的取值范围是：， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）某工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率．该工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示．求该工程队提高效率前每天修路的长度． 【答案】该工程队提高效率前每天修路的长度为75m 【分析】本题主要考查了求一次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 先求出工程队提高了工作效率后修路的长度与修路时间之间的函数关系式，进而求得修路时间为天时的修路长度，从而即可得解． 【详解】解：设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系式为（，）， 把点和代入关系式， 得解得 ∴工程队提高了工作效率后修路的长度与修路时间之间的函数关系式为． 当时，， ， ∴该工程队提高效率前每天修路的长度为． 12．（25-26九年级上·广西南宁·月考）第15届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行，本届全运会吉祥物为“喜洋洋”和“乐融融”，两个吉祥物以中华白海豚作为整体造型，因活力四射的姿态和独特的造型迅速出圈，被网友亲切地称为“大湾鸡”．某商场抓住商机以每套50元的价格购进一批吉祥物徽章，以每套80元的价格出售，每日可售出200套．从12月份起，商场决定采用降价的方式促进销售，经市场调查，每降价1元，日销售量增加20套．设每套吉祥物徽章降价x元，日销售量为y套． (1)请用含x的式子表示y； (2)若每套徽章降价5元，则日销售利润为多少元？ (3)该商场如何定价，可使日销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)7500元 (3)每套吉祥物徽章定价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，以每套80元的价格出售，每日可售出200套，每降价1元，日销售量增加20套，列出与之间的关系式即可； （2）将代入（1）中的关系式，得出日销售量，再根据日销售利润日销售量每套吉祥物徽章的利润，即可求解； （3）设日销售利润为元，，根据题意得出，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每套吉祥物徽章降价x元，日销售量为y套， 根据题意，得； （2）解：当时，， （元）， 答：日销售利润为7500元； （3）解：设日销售利润为元， 根据题意，得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8000， 此时定价为（元）， 答：每套吉祥物徽章定价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元． 13．（24-25八年级上·山东济南·期中）某游泳馆夏季开展宣传营销活动，设计了以下两种套餐活动： 套餐一：每次收费10元，不收其他费用； 套餐二：交120元购买会员卡后，每次游泳收费m元． 设小明游泳次数为x，按照套餐一所需费用为（单位：元），按照套餐二所需费用为（单位：元），两函数图象如下图所示． (1)直接写出和关于x的函数表达式与m的值 (2)若小明暑假期间准备游泳的次数x满足，则他选择哪个套餐所需要的费用较少？ 【答案】(1)，，m的值为4． (2)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出函数和关于的表达式，并写出的值； （2）先计算两者相等的情况，然后观察图象，即可写出选择哪个套餐所需要的费用较少． 【详解】解：（1）关于x的函数表达式为，关于x的函数表达式为，m的值为4． （2）令， 则， 解得． 由图可知，当时，套餐一所需的费用较少； 当时，两种套餐所需的费用相等； 当时，套餐二所需的费用较少． 14．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人骑自行车同时从地出发沿同一路线去地，甲骑行20min后因事停留了20min，然后继续按原速骑行到达地；乙骑行75min直接到达地，已知，两地相距．下面图中表示时间，表示离地的距离，图象反映了这个过程中甲离地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中________，________； ②乙骑行的速度为________． (2)请直接写出甲停留前和停留后离地的距离关于时间的函数解析式，并指出的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；；②0.2； (2)当时，；当时，；当时， (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是或 【分析】本题考查一次函数和一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）①根据函数图象中的数据可以求得a的值；根据函数图象中的数据可以求得甲出发离A地的距离；②由路程除以时间可以求得乙骑行的速度； （2）分段用待定系数法求出函数解析式； （3）根据函数图象中的数据结合函数关系式；可以求得当甲乙相距时，甲出发的时间． 【详解】（1）解：①甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地， ， 故答案为：40； 甲骑行的速度为， 甲出发离A地的距离是， 故答案为：5； ②乙骑行的速度为， 故答案为：0.2； （2）解：当时，设函数解析式为, 将代入得：,求得， 当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为； 当时，设函数解析式为, 将代入得：， 解得：， 当时，， 综上所述，当时，；当时，；当时，； （3）解：由题意得，乙离A地的距离y关于时间x的函数解析式为， 由题意可得或， 解得：或70， 当甲乙相距时，甲出发的时间是或 15．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． (1)【问题初探】 点的坐标是________，点的坐标是________． 若是直线上一点，求直线的函数表达式． (2)【应用探究】 在直线上是否存在一点（不与点重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)【拓展延伸】 是轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点落在轴上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； 先求出m的值，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出，设点D的坐标为，根据的面积等于的面积，列出方程，即可求解； （3）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点， 令，则；令，则， ∴，， 故答案为：，； ∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是． （2）解：存在点D，使的面积等于的面积；理由如下： 由（1）得：点A的坐标是．点B的坐标是， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得（舍）或， ∴； （3）解：设， 如图1，当B点的对称点在x轴负半轴上时， 由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴； 如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时， 由折叠可知，，， ∴， 在中，， 解得， ∴， 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 实际问题与一次函数（2个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 一次函数应用之分配方案问题 题型二 一次函数应用之最大利润问题 题型三 一次函数应用之行程问题 题型四 梯度计价问题 题型五 一次函数应用之体积问题 题型六 一次函数应用之面积问题 题型七 一次函数应用之交点问题 题型八 一次函数与几何综合 知识点一：一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）某公司手机话费收费有 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）和 套餐（月租费 元，通话费每分钟 元）两种．当月通话时间为（    ）时，， 两种套餐收费一样． A． 分钟 B． 分钟 C． 分钟 D． 分钟 2．（24-25九年级上·广东广州·月考）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程： ． 知识点二：一次函数图像的应用 1.在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 2.分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·浙江·开学考试）甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，折线为视频通话需付的费用（单位：元）与通话时间（单位：）之间的函数关系图象，则通话需付 元． 【核心考点一 一次函数应用之分配方案问题】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【例3】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是 （填序号） 【例4】（24-25八年级·全国·假期作业）某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是 ． 【核心考点二 一次函数应用之最大利润问题】 【例1】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·北京丰台·二模）某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 【例4】（2025·四川绵阳·二模）炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是 元． 【例4】（2025·北京房山·二模）某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表： 规格 每包食材含量 每包售价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为 包时，每日所获总售价最大，最大总售价为 元． 【核心考点三 一次函数应用之行程问题】 【例1】（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）某新能源汽车电池包充电后总电量为，平均电能行驶．则电池包中剩余电量与行驶路程的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，A、B两地相距，有甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，图中、分别表示甲、乙两车离开A地的距离与行驶时间之间的函数关系，现有以下四个结论：①甲车的速度为，乙车的速度为；②乙车出发4小时后追上甲车；③乙车到达B地时，甲车离A地的距离为；④乙车到达B地之前，甲、乙两车相距时，甲车行驶时间为或．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【例3】（2025·江苏淮安·模拟预测）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）某厂家对其生产的型汽车进行耗油量试验．试验中油箱中的剩余油量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示，与行驶时间（单位：）的关系如表所示．根据这些信息，此A型汽车在试验中的平均速度为 ． 行驶时间 0 油箱剩余油量 【核心考点四 梯度计价问题】 【例1】（2026·江苏苏州·模拟预测）某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）小李想在某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤（），付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【例4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是 ． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【核心考点五 一次函数应用之体积问题】 【例1】（24-25八年级下·河南安阳·月考）下图是一个瓶子盛入某种液体时，总质量（）与所盛液体体积（）的关系图象，请根据图象所提供信息计算空瓶子的质量（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·北京延庆·期末）图（1）是饮水机的图片．打开出水口，饮水桶中水面由图（1）下降到图（3）的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水面下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·月考）实验表明，某种气体的体积随着温度的改变而改变，它的体积公式可用计算，已测得当时，体积；当时，，则 ． 【例4】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，、两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱中没有水，水箱盛满水，现以的流量从水箱中抽水注入水箱中，当水箱与水箱中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差（抽水水管的体积忽略不计 ． 【核心考点六 一次函数应用之面积问题】 【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）直线与两坐标轴围成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·湖南永州·月考）明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率，该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（    ）    A． B． C． D． 【例3】（2025·广西·一模）在正方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BF平分∠EBC交CD于点F，交AC于点G，将△CGF沿直线GF折叠至△C′GF，BD与△C′GF相交于点M、N，连接CN，若AB=6，则四边形CNC′G的面积是 ． 【例4】（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，某园林公司承担了绿化某社区块空地的绿化任务，工人工作一段时间后，提高了工作效率.该公司完成的绿化面积(单位：与工作时间(单位：)之间的函数关系如图所示，则该公司提高工作效率前每小时完成的绿化面积是 . 【核心考点七 一次函数应用之交点问题】 【例1】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）直线与轴的交点为，与轴的交点为，则线段上（包括端点）横坐标和纵坐标都是整数的点一共有多少个？（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25八年级下·湖北随州·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”如图所示的是良马与驽马行走路程s（里）关于行走时间t（日）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日迫及之．”两匹马行走路程S（里）与行走时间（日）的函数关系如图所示，则图中交点P的坐标是 ． 【例4】（2025·湖北武汉·一模）在一次体育课上进行跳绳测试，小明的跳绳平均成绩为每分钟100个，小强的跳绳平均成绩为每分钟150个（单位：个），小明先跳150个，然后小强再跳，如图是小明、小强跳绳的个数关于小强的跳绳时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 ． 【核心考点八 一次函数与几何综合】 【例1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）对于每个，函数是，，，这三个函数中的最小值，其中这三个函数图象如图所示，则函数的最大值是（   ） A． B．6 C．4 D． 【例2】（24-25八年级下·全国·月考）如图，在长方形中，，点P是边上的动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点D出发以的速度向点C运动，则的面积与点P的运动时间间的函数关系式为（   ） A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 【例3】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴、轴上，将正方形向右平移，当点落在函数的图象上时，点的对应点的坐标为 ． 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象上有两点点的横坐标为3，点的横坐标为（且），过点分别作轴的垂线，垂足为，的面积分别为，则的大小关系是 ． 【变式训练1 一次函数应用之分配方案问题】 1．（2025·四川眉山·一模）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元． （1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为 ； （2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为 ，当时，y与x之间的函数关系式为 ； （3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张，乙单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张． 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）将吨物资从地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为吨辆和吨辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 甲地（元辆） 乙地（元辆） 大货车 小货车 (1)这两种货车各需多少辆？ (2)如果安排辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为辆，请写出运费（元）与的函数关系式．若运往甲地的物资不少于吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费． 4．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）A，B两个红十字会分别有100吨和120吨生活物资，准备直接运送给甲、乙两个灾区，甲地需160吨，乙地需60吨，A，B两地到甲、乙两地的路程以及每吨每千米的运费如图所示．    (1)设红十字会A运往甲地物资吨，完成下表： 运量（吨） 红十字会A 红十字会B 甲地 ________ 乙地 ________ ________ (2)求总运费关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)当A、B两红十字会各运往甲、乙两地多少吨物资时，总运费最省？最省运费是多少？ 【变式训练2 一次函数应用之最大利润问题】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》一书也随之热销．如果一次性购买10本以上，超过10本的那部分书的价格将打折，并依此得到付款金额y（单位：元）与一次性购买该书的数量x（单位：本）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本 B．a＝520 C．一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折 D．一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元 2．（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品 个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为 万元． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）水果含有多种维生素、矿物质、纤维等丰富的营养成分，经常吃适量的水果，有益于身体健康．某水果店计划购进两种水果共进行销售，两种水果的成本和售价如下表： 种类 成本（元） 售价（元） A 12 20 B 15 25 设购进种水果，其中，两种水果全部售出所获得的利润为（元），请回答下列问题． (1)求与的函数关系式（不用写自变量的取值范围）； (2)该商店全部售出这两种水果是否能获得7500元的利润？请说明理由． 4．（25-26八年级上·河南郑州·月考）政府支持科技创新，鼓励企业增加创新投入，某企业开发了一种新型产品，产品投放市场后，企业收益（单位：万元）与所售产品数量（单位：件）之间的函数关系如图所示．（企业收益每件产品的利润销售数量前期投资）． (1)若新产品投放市场后，政府奖励该企业万元，问政府奖励资金是否可以弥补企业生产该产品的前期投资，请做出判断，并写出计算过程； (2)一段时间后，企业对产品进行了升级，升级后每件产品的利润有了提高，下表是产品升级后的销售数据． 销售时间 销售数量/件 企业收益/万元 产品升级后的第一月 产品升级后的第二月 ①升级后每件产品的利润比升级前每件产品的利润高多少元？ ②当销售多少件时，升级前后该企业的收益相等，此时企业的收益是正还是负？ 【变式训练3 一次函数应用之行程问题】 1．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度返回甲地，货车到达乙地后停止，货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．甲、乙两地相距90千米 B．轿车返回的速度为每小时90千米 C．两车在出发小时后相遇 D．货车到达乙地时，轿车离乙地18千米 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）某校八年级学生去西北农林科技大学研学参观，为了提前做好准备工作．学校安排小轿车送志愿者前往，同时老师和学生乘坐大巴车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，已知两车行驶3h后在途中相遇．如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)求小轿车返回学校过程（段）的函数表达式； (2)当时，问大巴车从学校出发后经过多长时间与小轿车相距． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解某品牌新能源汽车电池需要多久能充满，以及电量充满状态下新能源汽车的最大行驶里程，菁英实践小组设计了以下两组实验． 实验一：经试验探究：电池充电状态下新能源汽车仪表盘显示增加的电量与时间t（分）的满足正比例函数关系：． 实验二：探究电量充满状态下新能源汽车行驶过程中仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）的关系． 数据记录如表1： 新能源汽车行驶过程 已行驶里程 0 160 200 280 显示电量 100 60 50 30 【建立模型】观察表1发现e与s满足一次函数模型，请结合表1的数据，求出e关于s的函数表达式； 【解决问题】该品牌新能源汽车在电量充满的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若该新能源汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电30分钟，则充电后该新能源汽车是否有足够的电量行驶到目的地？ 【变式训练4 梯度计价问题】 1．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知当地的商业用电收费规则为：月用电量不超过210度的部分，按元/度计费：月用电量超过210度但不超过400度的部分．按元/度计费：月用电量超过400度的部分．按元/度计费．设该餐厅月用电量为度，应缴电费为元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)若该餐厅上月缴纳电费230元，则该餐厅上月用电多少度？ 4．（25-26八年级下·山东淄博·月考）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，写出用气费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1147元，求该户去年一年的用气量． 【变式训练5 一次函数应用之体积问题】 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）下面的四个问题中都有两个变量： ①铁的密度为， 铁块的质量m（单位:）与它的体积V（单位:）； ②一个等腰三角形的周长为，它的底边长y（单位：） 与腰长x（单位：）； ③矩形的面积一定，一边长y与相邻的另一边长x； ④将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y（单位：）与放水时间x（单位：）；其中，两个变量之间的函数关系可以用形如（k，b是常数，）的式子表示的是（     ） A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④ 2．（2025·江苏泰州·二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为 cm3． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： (1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式； (2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析： 1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表： 0.1 0.3 2 6 水面高度与体积近似地满足一次函数关系． 2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示： 请解答下列问题： (1)求1号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式； (2)求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式． 【变式训练6 一次函数应用之面积问题】 1．（24-25八年级下·湖北·期末）某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点，用分别表示的面积，则当n=4时， ；当n=2020时， ． 3．（25-26九年级上·广东中山·月考）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：），与墙平行的一边长为y（单位：），面积为S （单位：）． (1)直接写出y与x的函数解析式（写出x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 4．（25-26八年级上·辽宁锦州·期末）为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在校园内建成了如图所示的一块三角形的劳动实践基地，并邀请数学兴趣小组的同学们将其全部种植甲、乙两种蔬菜．同学们经过测量与调查，得到如下信息： 信息1：； 信息2：甲种蔬菜的种植成本为每平方米30元； 信息3：乙种蔬菜的种植成本（单位：元）与种植面积（单位：平方米）的关系如下表所示，其中； /平方米 10 20 30 40 50 /元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，请帮助该小组的同学们完成下列任务： (1)求该校劳动实践基地的面积； (2)求乙种蔬菜的种植成本与种植面积之间的函数关系式； (3)设甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，才能使最小？并求出的最小值． 【变式训练7 一次函数应用之交点问题】 1．（2025·湖北十堰·二模）《九章算术》中有这样一道数学题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之．问：几何步及之?”如图是善行者与不善行者行走的路程S（单位：步）与行走时间t（单位：分）之间的函数图象，则两图象交点P的纵坐标为（    ） A．200 B．250 C．300 D．350 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知函数与轴交于，与交于B，C两点． （1）点的坐标是 ； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是 ． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为．且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点在轴上且．求此时点的坐标； (3)若点在轴左侧的直线上，且的面积是10，求此时点坐标． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）、两地相距，甲、乙分别从地和地同时出发，相向而行，他们距离的路程与出发后的时间之间的函数关系的图象如图所示．      （1）甲行驶了________小时到达地，乙行驶了________小时到达地； （2）分别求出甲、乙距离地的路程与时间的函数表达式； （3）求出两个图象的交点坐标，解释交点坐标所表示的实际意义． 【变式训练8 一次函数与几何综合】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和的边有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段为边在第一象限内作等腰，．则过B，C两点直线的函数表达式为 ． 3．（2025九年级上·西藏林芝·学业考试）如图，直线与轴、轴分别交于两点，且． (1)求点坐标和的值； (2)若点是直线上在第一象限内的一个动点，当点在运动过程中，试写出的面积与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） 4．（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）（1）【问题探究】 如图1，直线分别与轴和轴交于点和点，点在轴上，连接． ① 求直线的表达式； ② 点为轴上的一个动点，若，求点的坐标； （2）【问题解决】如图2，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是小明家花园的示意图，其中点分别在轴，轴正半轴上，点在轴负半轴上，且米，米，小明现在准备在花园的边缘（即的边上）找一点，连接，沿修一条小路，使得小路将分成面积比为的两部分，计划在一个区域种植郁金香，另一个区域种植牡丹，请求出点的坐标，（小路的宽度忽略不计）AI 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨单价应该是（    ） A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 2．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北石家庄·二模）超市有，两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买型瓶（个），所需总费用为（元），则下列说法不一定成立的是（    ） 型号 A B 单个盒子容量（升） 2 3 单价（元） 5 6 A．购买型瓶的个数是为正整数时的值 B．购买型瓶最多为6个 C．与之间的函数关系式为 D．小张买瓶子的最少费用是28元 4．（2025·宁夏银川·模拟预测）小海和小桐相约去博物馆参观，小海从学校步行出发直接去博物馆． 同时，小桐从家骑自行车出发，途中，他去超市购物后，按原来的速度继续去博物馆．小桐家、学校、超市和博物馆之间的路程如图1所示，他们离小桐家的路程为(米)与所经过的时间(分)之间的函数关系如图2所示， 有下列结论： ①小桐骑自行车的速度为米/分 ②小海步行的速度为米/分 ③线段所在直线的函数表达式为 ④分钟后小桐与小海相遇 其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①④ D．②④ 5．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图，平面直角坐标系中，在函数和的图象之间由小到大依次画出若干个直角三角形（图中所示的阴影部分），其短直角边与x轴垂直，长直角边与x轴平行，斜边在函数的图象上，已知点A的坐标是，则第100个直角三角形的面积是（  ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江杭州·二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为 ． 7．（2025·上海·模拟预测）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚 元． 8．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 9．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用（元与上宽带网时间（时的函数关系如图所示，且超时费都为元时，则这两种方式所收的费用最多相差 元． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒，若与线段有公共点，则的取值范围为 ． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）某工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率．该工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示．求该工程队提高效率前每天修路的长度． 12．（25-26九年级上·广西南宁·月考）第15届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行，本届全运会吉祥物为“喜洋洋”和“乐融融”，两个吉祥物以中华白海豚作为整体造型，因活力四射的姿态和独特的造型迅速出圈，被网友亲切地称为“大湾鸡”．某商场抓住商机以每套50元的价格购进一批吉祥物徽章，以每套80元的价格出售，每日可售出200套．从12月份起，商场决定采用降价的方式促进销售，经市场调查，每降价1元，日销售量增加20套．设每套吉祥物徽章降价x元，日销售量为y套． (1)请用含x的式子表示y； (2)若每套徽章降价5元，则日销售利润为多少元？ (3)该商场如何定价，可使日销售利润最大，最大利润为多少元？ 13．（24-25八年级上·山东济南·期中）某游泳馆夏季开展宣传营销活动，设计了以下两种套餐活动： 套餐一：每次收费10元，不收其他费用； 套餐二：交120元购买会员卡后，每次游泳收费m元． 设小明游泳次数为x，按照套餐一所需费用为（单位：元），按照套餐二所需费用为（单位：元），两函数图象如下图所示． (1)直接写出和关于x的函数表达式与m的值 (2)若小明暑假期间准备游泳的次数x满足，则他选择哪个套餐所需要的费用较少？ 14．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人骑自行车同时从地出发沿同一路线去地，甲骑行20min后因事停留了20min，然后继续按原速骑行到达地；乙骑行75min直接到达地，已知，两地相距．下面图中表示时间，表示离地的距离，图象反映了这个过程中甲离地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中________，________； ②乙骑行的速度为________． (2)请直接写出甲停留前和停留后离地的距离关于时间的函数解析式，并指出的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 15．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． (1)【问题初探】 点的坐标是________，点的坐标是________． 若是直线上一点，求直线的函数表达式． (2)【应用探究】 在直线上是否存在一点（不与点重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)【拓展延伸】 是轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点落在轴上，请直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $