湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

高二数学期末 命题人：肖伟军 审题人：师鑫龙 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列中，，，，则（ ） A. B. 9 C. D. 13 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 过点且倾斜角为的直线交圆于，两点，则弦的长为 A. B. C. D. 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（ ） A. 的面积最大值为8 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左到右的数字之和记为，如，，，的前项和记为，则下列说法正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120 B. C. 在“杨辉三角”中，从第2行开始到第行，每一行从左到右的第3个数字之和为 D. 的前项和为 11. 已知为坐标原点，点在抛物线：上，过点的直线交抛物线于，两点，则（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为 B. 直线与抛物线有两个交点 C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式中的常数项为______. 13. 当直线与直线平行时，______. 14. 双曲线的光学性质为：如图1，从双曲线的右焦点发出的光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，，分别为双曲线的左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则___________，该双曲线的离心率为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，平面，，M为PB的中点. （1）求证：直线平面PCD； （2）若，，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值. 16. 设函数，曲线在点处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数的极值点. 17. 已知等比数列为递增数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，证明：． 18. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明； （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度．设函数的定义域为，其导数为的导数为，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大． （1）求在处的曲率； （2）用半圆的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理； （3）设，若存在，使在处的曲率为0，求证：． 高二数学期末 命题人：肖伟军 审题人：师鑫龙 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】375 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） 取的中点为,连接，则,且, ∴四边形是平行四边形，， 平面,平面, ∴直线平面. （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）极大值点为2，极小值点为 【17题答案】 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 所以数列的前n项和为，① ，② ① ② 得， 所以， 又因为，所以， 所以. 【18题答案】 【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为 （Ⅱ）=1．（Ⅲ）存在常数使得恒成立， 【19题答案】 【答案】（1） （2） 解：由半圆，可得， 则， 所以曲率， 即曲率是半径的倒数，由反比例函数的性质知，圆的半径越小曲率越大． （3） 由函数， 可得，则， 由已知得，所以， 所以，， 两式相除，令， 则，，， 所以，同理可得：， 由， 所以即证，只需证（注意）， 设， 可得， 所以在递增，所以，所以成立， 所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $