精品解析：重庆江北区2026年初中学业水平第一次诊断检测 九年级数学试题

2026年初中学业水平第一次诊断检测 九年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 实数4的倒数是（　　） A. 4 B. C. ﹣4 D. ﹣ 【答案】B 【解析】 【分析】根据互为倒数的两个数的乘积是1，求出实数4的倒数是多少即可． 【详解】解：实数4的倒数是： 1÷4=． 故选B． 【点睛】此题主要考查了一个数的倒数的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1． 2. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 年5月日，行星探测工程天问二号探测器成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为，该距离用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法要求将数字表示为的形式，其中，为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：∵， ∴用科学记数法表示为． 故选C． 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将各个坐标代入解析式逐一计算判断，即可求解，理解图象经过点的意义是解题的关键． 【详解】解：A、当时，，故该选项不符合题意； B、当时，，故该选项符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：B． 5. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 6. 如图，与是位似图形，为位似中心，．若，则长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得位似比为，将代入中，求解即可． 【详解】解：∵，与是位似图形 ∴， ∴与的位似比为， ∴， ∵， ∴， 解得： 故选：A． 7. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简和运算，平方根的估算；先通过展开化简原式，再估算其值． 【详解】解：， ∵，， ， ∴， ∴原式的值在3和4之间， 故选：B． 8. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，关键是熟练应用性质解题； 先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 9. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，以为斜边向上作等腰Rt，交于点，连接、，交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形与等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质及辅助线构造技巧，解题关键是通过辅助线建立多组相似三角形，利用比例关系推导线段比值．设正方形边长为，连接、延长交延长线于，过作构造等腰直角；由正方形和等腰直角三角形的角度、边长关系，证得，即；再由证，得；由证，求出；最后证，得． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于点． ∵四边形是正方形， ∴，，． ∵是等腰直角三角形， ∴，. ∴，即． 又， ∴，． ∴， 过点作于，则是等腰直角三角形， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设正方形的边长为，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 10. 已知关于的整式、，，，其中为自然数，，为正整数．下列说法： ①若，则； ②当时，若与次数相同，且互不相等，则满足条件的整式只有1个； ③若为二次三项式，为二次式，则所有满足条件的不同整式的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用、多项式的项数与次数、零指数幂，理解题意是解题的关键． 若，则这三个自然数中有1个为1，2个为0，结合题意可知为正整数，则，，据此列举出所表示的整式，可判断①；当时，的次数为10，则的次数为10，即这11个自然数的最大值为10，根据互不相等，可知为，得出所表示的整式，可判断②；根据为二次三项式，为二次式，可知，，，且这3个自然数的最大值为2，据此列举出所表示的不同整式，再根据整式的加减运算可判断③，即可得出结论． 【详解】解：①若，则这三个自然数中有1个为1，2个为0， 由题意得，为正整数， ∴，， ∴，故①正确； ②当时，的次数为10， ∵与次数相同， ∴的次数为10，即这11个自然数的最大值为10， 又∵互不相等， ∴为， ∴整式为， ∴满足条件的整式只有1个，故②正确； ③∵为二次三项式，为二次式， ∴，，，且这3个自然数的最大值为2， 当这3个自然数中有1个为1，2个为2，则； 当这3个自然数中有2个为1，1个为2，则； 当这3个自然数全都为2，则； ∴所有满足条件的不同整式的和为，故③正确； 综上，正确的个数是3个． 故选：D． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 关于的一元二次方程的解为____________． 【答案】x1=0，x2=3 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程． 【详解】解：x2=3x， x2-3x=0， x（x-3）=0， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法．掌握因式分解法是解题的关键． 12. 如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 13. 某班学生到三峡博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“战国青铜鸟形尊”“商代三羊尊”“东汉偏将军金印”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“东汉偏将军金印”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是正确列表或画出树状图．先画出树状图，再得出所有可能结果与符合条件的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】解：用A，B，C分别代表“战国青铜鸟形尊”“商代三羊尊”“东汉偏将军金印”，画树状图如下： 共有9种情况，其中甲、乙两位同学都抽到“东汉偏将军金印”的情况有1种，概率为， 故答案为：． 14. 已知，那么________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，分式的求值，根据题意可得，把所给等式两边同时除以m得到，再根据计算求解即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14． 15. 如图，矩形内接于，是上一点，连接、分别交于点、．若，，则的长为________；的长为________． 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质；解题关键是根据，得出． 由四边形内接于，可证明，结合，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再利用，证出，得到，由此求出，继而可求，连接，在中，，容易证明，可得，由此即可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵为矩形， ∴，，， 又∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴， 在中，， 连接， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：4；． 16. 若一个正整数的10倍能写成两个两位数的平方差，并且这两个两位数的十位数字相同，个位数字和为10，则称为“圆满数”，并把的十倍分解成两个两位数的平方差的过程称为“圆满数分解”．例如：因为，48与42的十位数字相同，个位数字和为10，所以54是“圆满数”．按照这个规定，最小的“圆满数”为________．把一个“圆满数”进行“圆满数分解”，即，其中，为两位数，将放在的左边组成一个四位数，交换的千位数字与个位数字，百位数字与十位数字，得到一个新的四位数，记，若能被7整除，且为整数，则满足条件的所有“圆满数”中最大的为________． 【答案】 ①. 6 ②. 78 【解析】 【分析】本题考查了新定义的数字问题，解二元一次方程，分解因式，不等式组的应用等；理解新定义，能根据新定义表示出整数，并进行求解是解题的关键．由题意设m，n的十位数字为，个位数字分别为，则根据定义可推出，根据A为正整数，为正整数，可推出，当时，取得最小值；根据定义可求出，则可得到能被7整除，求出的范围，通过确定的值，从而确定的值，求出此时A的值，看是否为整数，进而可得答案． 【详解】解：设两位数m，n的十位数字为，个位数字分别为，则， ， ， ， A为正整数，为正整数， 且为正整数， ， ， 可知当时，取得最小值，最小值为， 即最小的“圆满数”为； 由题意得，， ， 由题意可得： ， 被7整除， 能被7整除， 设（为正整数）， ， ，即， 当时，，此时不存在满足条件的； 当时，，此时满足条件的有： ①，则，不是整数，舍去； ②，则，是整数，符合题意； 当时，，此时，则，是整数，符合题意； 当时，，此时，则，是整数，符合题意； 当时，，此时，则，不是整数，舍去； ∵， ∴满足条件的所有“圆满数”A中最大的为． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共9小题，第17、18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，0，1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及其整数解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据解不等式组的方法求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，0，1． 18. 小明在学习了角平分线的性质后，发现了三角形角平分线的一个重要性质：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例．如图1，中，是角平分线，则．小明发现了这个性质以后继续探究——三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系． 下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点． 求证：． （1）尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点，在射线上截取，连接．（不写作法保留作图痕迹） （2）证明：是的角平分线 ________ ， ________， 是的角平分线 ________ ， 【答案】（1） 解：所作图形，如图所示， （2）；； ； 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作角平分线，全等三角形的判定和性质． （1）根据题意作出图形即可； （2）证明，推出，，根据定理得到，再等量代换，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：是的角平分线 ， ，， ， ，， 是的角平分线， ， ，， ． 故答案为：；； ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的计算，掌握分式化简的方法再代入求值是解题的关键．先根据代数式混合运算的法则将原式化简，再将的值代入，即可求解． 【详解】解：原式 ， ， 当时，原式． 20. 为了增强学生的法律意识，某校组织七、八年级的学生参加“法律知识”竞赛．为了解活动效果，从七年级和八年级随机抽取部分学生的比赛成绩，进行了如下统计分析． 收集数据 从两个年级中分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数）． 整理数据 将抽取的两个年级学生成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E五组（用表示成绩分数），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中七年级20名学生的比赛成绩在E组中的数据是：96，92，93，91，94；八年级20名学生的比赛成绩在C组中的数据是：72，75，77，71，74，75． 描述数据 根据统计数据，绘制成如下统计图． 分析数据 七、八两个年级抽取的学生比赛成绩的各统计量如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 81 82 86 8．8 八年级 81 n 86 9 根据上述信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________． （2）你认为该校七、八年级中哪个年级学生比赛成绩较好？请说明理由．（写一条理由即可） （3）若此次比赛成绩不低于90分为优秀，其中七年级有500人参加比赛，八年级有300人参加比赛，请估计两个年级优秀的人数共有多少人？ 【答案】（1）30，76 （2）七年级学生比赛成绩较好 （3）估计两个年级优秀的人数约有185人． 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，样本估计总体． （1）根据中位数、众数的定义和百分比之和为1求解即可； （2）根据平均数、众数、方差和中位数的定义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：八年级中，（人）， C组数据重新排列为：71，72，74，75，75，77， 所以八年级成绩的中位数， 七年级成绩E组的占比， ，即， 故答案为：30，76； 【小问2详解】 解：七年级学生比赛成绩较好， 因为七、八年级学生成绩的平均数，众数都相等，而七年级成绩的中位数大于八年级，方差小于八年级， 所以七年级学生比赛成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级优秀的人数约有185人． 21. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价高500元，购买3台甲型健身器材的费用比购买4台乙型健身器材的费用少1000元． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元？ （2）随着设备的更新换代，甲、乙两种型号的健身器材的单价均上涨了，且上涨的金额相同，上涨后用64000元购买甲型健身器材的数量和用54000元购买乙型健身器材的数量相同，求甲型健身器材的单价上涨了多少元？ 【答案】（1）甲型健身器材的单价为3000元，乙型健身器材的单价为2500元 （2）甲型健身器材的单价上涨了200元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据题意列出一元一次方程，再求解即可； （2）根据题意列出分式方程，再求解即可． 【小问1详解】 解：设乙种型号健身器材的单价为元，则甲种型号健身器材的单价为元， 根据题意得，， 解得，， ． 答：甲种型号健身器材的单价为元，乙种型号健身器材的单价为元． 【小问2详解】 解：设甲型健身器材的单价上涨了元， 则上涨后甲型健身器材的单价为元，上涨后乙型健身器材的单价为元， 根据题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲型健身器材的单价上涨了200元． 22. 如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 画图如下： 当时，有最大值8（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作交延长线于点H，证明出四边形是正方形，得到，然后分两种情况讨论，分别表示即可； （2）列表，描点，然后画出图象，然后根据图象写出性质即可； （3）由图象求解即可． 【小问1详解】 解：过点D作交延长线于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 当时，； 当时，； ∴； ∵的面积 ∴； 【小问2详解】 解：∵， 列表如下： 2 4 6 4 8 0 4 2 画图如下： 由图象得，当时，有最大值8（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：由图象得，当时x的取值范围为． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质和判定，一次函数和反比例函数的图象和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 2025年6月17日，“魅力重庆”无人机灯光秀以11787架无人机，获得吉尼斯世界纪录“最多无人机组成的空中图案”的称号．为保证表演的顺利进行，有关部门分别在弹子石的点、朝天门的点、江北嘴的点和北滨路的点使用反制无人机压制干扰信号．经测量，在的北偏东方向，在的东南方向1200米处，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的正北方向，与交于点．（参考数据：，，） （1）求，两点的距离；（结果保留根号） （2）表演过程中，有甲、乙两架无人机在人群上空巡航，它们同时从点出发，前往点．甲无人机的巡航路线：，速度为30米／分；乙无人机的巡航路线：，速度为40米／分．请通过计算说明甲乙两架无人机哪一架先到达点．（结果保留整数） 【答案】（1）米 （2）乙无人机先到达点 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）过点作于点，则，由题意得，，米，再分别解和，求出的长，即可解答； （2）分别计算甲、乙无人机巡航所需时间，再比较大小即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 则， 由题意得，，，米， 在中，（米），（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：，两点的距离为米； 【小问2详解】 解：由（1）得，米， ∴（米）， ∴甲无人机巡航所需时间为（分）； 如图，过点作交延长线于点， 则， 由题意得，，， ∴， 在中，（米），（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴乙无人机巡航所需时间为（分）； ∵， ∴乙无人机先到达点． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． （1）求该抛物线解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作于，点、为轴上两动点（点在点上方），，连接、，当有最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）如图2，在上取一点，连接，使，将拋物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为新抛物线上对称轴右侧的一动点，过作交直线于点，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）P的坐标为； （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于H，交于Q，求出点C坐标得到直线解析式为；证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，，由此可得到，则的最大值即为的最大值，故当点P为抛物线的顶点时，有最大值，即此时有最大值；求出此时点P；再将向下平移1个单位，得到,可得四边形是平行四边形，由建桥选址模型即可当、F、B三点共线，取最小值，即此时取最小值，最小值为的长，据此可得答案； （3）如图3-1所示，过点O作于L，过点Q作轴于K，可求出，则解直角三角形得到，据此求出；证明是等腰直角三角形，得到，则，解直角三角形得到，则，利用勾股定理得到，则，据此可得将抛物线向右平移2个单位，向上平移6个单位得到新抛物线，则新抛物线的解析式为；在分点N在x轴上方和在x轴下方两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把代入到中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点P作轴于H，交于Q， 在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴的最大值即为的最大值， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当点P为抛物线的顶点时，有最大值，即此时有最大值， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，将向下平移1个单位，得到,则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当、F、B三点共线，取最小值，即此时取最小值，最小值为的长； ∵， ∵， ∴当有最大值时，的最小值为， 【小问3详解】 解：如图3-1所示，过点O作于L，过点Q作轴于K， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，相当于将抛物线向右平移2个单位，向上平移6个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为； 如图3-2所示，当点N在x轴上方时，设点S为射线上一点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 易求直线解析式为， ∴可设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴此时点M的坐标为； 如图3-3所示，当点N在x轴下方时，取点，过点W作轴于Z，过点Q作轴于U，设直线交x轴于S， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 易求直线解析式为，直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于证明，解（3）的关键在于求出移动后的抛物线解析式，并分类讨论． 25. 为等边三角形，为平面内一点，连接、，以点为旋转中心，将线段顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在射线上，连接． （1）如图1，点在的延长线上，若，求的度数（用含的代数式表示）： （2）如图2，点在内部，连接，延长交于点，延长分别交、于点、，若，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）在（2）的条件下，当线段最短时，连接，若，请直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2） ，证明如下： 如图，延长至使得，连接、， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 由旋转的性质得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，根据角的和差以及三角形外角的性质得到，，根据旋转的性质得到，再利用等边对等角以及角的和差即可求解； （2）延长至使得，连接、，根据等边三角形的性质证明，得到，进而得到，则是等边三角形，再证明，得到，，根据旋转的性质得到，再证明，得到，即可得出结论； （3）取的中点，连接、、，根据等边三角形的性质和勾股定理求出，根据斜边中线定理求出，再根据两点之间线段最短的性质得到，分析可知当三点共线时，线段有最小值，最小值为；当三点共线时，利用等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的知识求出，，则有，最后利用三角形面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接、、， ∵为等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得，是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴当三点共线时，线段有最小值，最小值为； 当三点共线时，如图， ∵，点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、旋转的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、三角形面积公式、二次根式的应用，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平第一次诊断检测 九年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 实数4的倒数是（　　） A. 4 B. C. ﹣4 D. ﹣ 2. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 年5月日，行星探测工程天问二号探测器成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为，该距离用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 5. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 6. 如图，与是位似图形，为位似中心，．若，则长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 7. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 8. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，以为斜边向上作等腰Rt，交于点，连接、，交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的整式、，，，其中为自然数，，为正整数．下列说法： ①若，则； ②当时，若与次数相同，且互不相等，则满足条件的整式只有1个； ③若为二次三项式，为二次式，则所有满足条件的不同整式的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 关于的一元二次方程的解为____________． 12. 如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 13. 某班学生到三峡博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“战国青铜鸟形尊”“商代三羊尊”“东汉偏将军金印”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“东汉偏将军金印”的概率是________． 14. 已知，那么________． 15. 如图，矩形内接于，是上一点，连接、分别交于点、．若，，则的长为________；的长为________． 16. 若一个正整数的10倍能写成两个两位数的平方差，并且这两个两位数的十位数字相同，个位数字和为10，则称为“圆满数”，并把的十倍分解成两个两位数的平方差的过程称为“圆满数分解”．例如：因为，48与42的十位数字相同，个位数字和为10，所以54是“圆满数”．按照这个规定，最小的“圆满数”为________．把一个“圆满数”进行“圆满数分解”，即，其中，为两位数，将放在的左边组成一个四位数，交换的千位数字与个位数字，百位数字与十位数字，得到一个新的四位数，记，若能被7整除，且为整数，则满足条件的所有“圆满数”中最大的为________． 三、解答题：（本大题共9小题，第17、18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 小明在学习了角平分线的性质后，发现了三角形角平分线的一个重要性质：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例．如图1，中，是角平分线，则．小明发现了这个性质以后继续探究——三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系． 下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点． 求证：． （1）尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点，在射线上截取，连接．（不写作法保留作图痕迹） （2）证明：是的角平分线 ________ ， ________， 是的角平分线 ________ ， 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为了增强学生的法律意识，某校组织七、八年级的学生参加“法律知识”竞赛．为了解活动效果，从七年级和八年级随机抽取部分学生的比赛成绩，进行了如下统计分析． 收集数据 从两个年级中分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数）． 整理数据 将抽取的两个年级学生成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E五组（用表示成绩分数），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中七年级20名学生的比赛成绩在E组中的数据是：96，92，93，91，94；八年级20名学生的比赛成绩在C组中的数据是：72，75，77，71，74，75． 描述数据 根据统计数据，绘制成如下统计图． 分析数据 七、八两个年级抽取的学生比赛成绩的各统计量如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 81 82 86 8．8 八年级 81 n 86 9 根据上述信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________． （2）你认为该校七、八年级中哪个年级学生比赛成绩较好？请说明理由．（写一条理由即可） （3）若此次比赛成绩不低于90分为优秀，其中七年级有500人参加比赛，八年级有300人参加比赛，请估计两个年级优秀的人数共有多少人？ 21. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价高500元，购买3台甲型健身器材的费用比购买4台乙型健身器材的费用少1000元． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元？ （2）随着设备的更新换代，甲、乙两种型号的健身器材的单价均上涨了，且上涨的金额相同，上涨后用64000元购买甲型健身器材的数量和用54000元购买乙型健身器材的数量相同，求甲型健身器材的单价上涨了多少元？ 22. 如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 2025年6月17日，“魅力重庆”无人机灯光秀以11787架无人机，获得吉尼斯世界纪录“最多无人机组成的空中图案”的称号．为保证表演的顺利进行，有关部门分别在弹子石的点、朝天门的点、江北嘴的点和北滨路的点使用反制无人机压制干扰信号．经测量，在的北偏东方向，在的东南方向1200米处，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的正北方向，与交于点．（参考数据：，，） （1）求，两点的距离；（结果保留根号） （2）表演过程中，有甲、乙两架无人机在人群上空巡航，它们同时从点出发，前往点．甲无人机的巡航路线：，速度为30米／分；乙无人机的巡航路线：，速度为40米／分．请通过计算说明甲乙两架无人机哪一架先到达点．（结果保留整数） 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． （1）求该抛物线解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作于，点、为轴上两动点（点在点上方），，连接、，当有最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）如图2，在上取一点，连接，使，将拋物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为新抛物线上对称轴右侧的一动点，过作交直线于点，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 25. 为等边三角形，为平面内一点，连接、，以点为旋转中心，将线段顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在射线上，连接． （1）如图1，点在的延长线上，若，求的度数（用含的代数式表示）： （2）如图2，点在内部，连接，延长交于点，延长分别交、于点、，若，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）在（2）的条件下，当线段最短时，连接，若，请直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $