精品解析：方城县第一高级中学2026届高三上学期12月第2周周考数学试题

方城县第一高级中学2026届高三上学期12月第2周周考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出不等式的解集，然后根据并集运算可求结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以或，所以， 所以， 故选：B. 2. 若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可； 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得； 故选：D 3. 已知一组数据为，则这组数据的分位数是（　　） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合百分位数定义即可求解. 【详解】数据从小到大排序为：，共8个，则， 则这组数据的分位数是：. 故选：C 4. 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（ ） A. 64 B. 32 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由题意得知是锐角，且，而， ， 所以， 而， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，此时最大， 故选：D 5. 已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及投影向量的公式可得，再结合向量的线性运算即可求解. 【详解】因为平面向量，是两个单位向量， 故在上的投影向量为，得， 所以． 故选：. 6. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过点作圆：的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和正弦定理得到与，再结合余弦定理即可求出值. 【详解】 设过点的切线与圆相切于点，则. 又，为双曲线的左、右焦点，所以，所以. 在中，由正弦定理可得，， 即，解得. 又点在双曲线右支上，所以，所以. 在中，由余弦定理可得， ， 即，所以， 又，所以， 又，所以. 故选：D. 7. 已知集合，则与的关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别化简集合，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算即可求解. 【详解】， ， 则，，故B正确；A、C错误； ，故D错误； 故选：B 8. 如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（为扇形所在圆的圆心，圆心角为），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为，该圆台的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，内切球半径为，高为，根据圆台的侧面展开图，求得，，从而进行求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，内切球半径为，高为， 则， 而， 得， 又因为， 得， 得， 则， 得该圆台的内切球表面积为， 该圆台的表面积为， 则 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A. 把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线 B. 把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线 C. 把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线 D. 把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，逐个选项判断即可. 【详解】A.由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，不符合题意； B.由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，符合题意； C.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象，符合题意； D.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向左平移个单位长度，得到的图象，符合题意. 故选：BCD. 10. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”.给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ）. A. ，（表示不超过x的最大整数） B. ， C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据特例可判断AC的正确，根据单调性可判断BD的正误. 【详解】对于A，分别取定义域为， 则在上的值域均为，故A正确； 对于C，分别取定义域为， 由双勾函数的单调性可得在上为减函数，在上为增函数， 故在上的值域为，在上的值域也为， 故C正确； 对于B，在为增函数，故当定义域不相同时值域必不同， 故B错误； 对于D，， 故在、均为增函数， 而当时，；当时，，故在不同的定义域上值域必不同， 故D错误. 故选：AC. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（ ） A. B. 双曲线的离心率 C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】画图分析，由双曲线的相关性质计算判断即可. 【详解】如图所示： 若为直角三角形，由双曲线的对称性可知： ，且. 设，则由双曲线的定义得：，. 所以在直角三角形中，由勾股定理得：. 解得：，所以， 所以的面积为：.故D正确； ，所以，故C不正确； 由可知，，， 所以，故A不正确； ，故B正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数，则|z|＝___． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案. 【详解】由题意，复数的实部为，虚部为，则. 故答案为：. 13. 若函数的图象上不同两点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，请写出一个有自公切线的函数______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据自公切线的定义，结合常见函数的图象与性质，找出一个有自公切线的函数.对于三角函数，其图象具有周期性和对称性，可能存在不同两点处的切线重合的情况. 【详解】正弦函数的图象是周期为的波浪线. 而在处，，，切线方程为，即. 在处，，，切线方程为，即. 可以看到和这两点处的切线重合，所以有自公切线. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 【答案】1080 【解析】 【分析】由计数原理分析求解即可. 【详解】从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法． 因为，， 所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置， 再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置， 最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置， 故填好，，，，，，共有种方法． 因此，按照要求填好该方格共有种方法． 故答案为：1080. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列满足，且， （1）求数列的通项公式； （2）把数列的第1项、第4项、第7项、……、第项、……分别作为数列的第1项、第2项、第3项、……、第项、……，求数列的所有项之和； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质并解方程组可得首项与第8项，再求出公差，可得通项公式； （2）先求出数列的通项公式，再判断数列为等比数列，进而求出其和． 【小问1详解】 为等差数列，，又且， 求得，，故公差， ． 【小问2详解】 ，，. ，且，是首项为2，公比为的等比数列. 的所有项的和为． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中． （1）证明：平面平面． （2）若点，，，在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 证明：因为平面平面， 所以， 又因为， 所以， 又平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直可得，又，从而得平面，结合面面垂直判定定理即可得结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，设球心的坐标为，从而可得球心坐标，从而得球的半径，即可得球的表面积；（ii）利用空间向量的坐标运算求解平面的一个法向量，结合线面夹角公式即可得直线与平面所成角的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示． 则． 若在同一个球面上，则，设球心的坐标为， 有， 解得， 所以半径， 即球的表面积. （ii）由， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 17. 湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. （1）求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； （2）若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； （3）经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）由概率乘法公式进行求解； （2）由条件概率公式求解； （3）记三幅作品成为成品的事件分别为，则，由可取，求出对应的概率，列出分布列即可求解数学期望． 【小问1详解】 记三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件， 则． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 记三幅作品成为成品的事件分别为， 则， 由可取， 则， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 则数学期望． 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值（为坐标原点）； （3）已知点，连接，过点作直线轴，且与直线交于点，点满足，若直线与椭圆的另一个交点为，证明：轴． 【答案】（1） （2） （3）如图所示，设直线与轴交于点， 直线轴，， 又，，又点和点， ，故直线恒过定点． 证法1：设直线的方程为， 联立，整理得， ，且，又， ， ， ， 此时， 即，轴． 证法2：P，A，B三点共线，， 整理得① 点A，B在椭圆上， ②， ①式加②式得，解得③， ②式减①式得，解得④， 联立③④解得， 同理，B，R，M三点共线，， 整理得⑤， 点B，M在椭圆上，⑥， 联立⑤⑥解得， ，轴． 【解析】 【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的几何性质及离心率列方程求出，进而求出椭圆标准方程； （2）设直线方程及坐标，联立直线与椭圆方程，运用韦达定理并结合三角形面积公式构造方程，结合基本不等式求出面积最大值； （3）根据已知条件结合三角形的几何性质得出直线恒过定点，设直线的方程，联立直线与椭圆方程利用韦达定理求出坐标关系，得出横坐标相等，从而证明轴． 【小问1详解】 椭圆的离心率为，点在椭圆上， ，解得， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 过点的直线交椭圆于A，B两点， 直线与轴不重合，设直线的方程为， 联立直线和椭圆方程，整理得， 由得， 由韦达定理得， ， 将代入， ， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 当时，的面积取最大值． 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）讨论的单调性. （2）设有两个零点a，b. （i）求 的取值范围； （ii）证明：且. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为 （2）（i）； （ii）证明：不妨设，要证， 即证. 设，则，故即证：. 令， 则，所以在上单调递增， 则，所以当时，， 所以，即， 因为是的两个零点，所以， 所以，则，所以，则， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 即，故. 【解析】 【分析】（1）求得，结合和，即可求得函数的单调区间； （2）（i）（法一）由（1）中的单调性，求得的极大值，令，即可求解；（法二）由（1）知单调性，结合函数的单调性和零点的存在性定理，即可求解； （ii）不妨设，转化为证明，设，得到，令，利用导数求得的单调性，得到，转化为，结合题意，转化为，利用指数幂的运算性质，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 解：（i）（方法一）由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 所以当 ，函数取得极大值，极大值为， 因为有两个零点，则满足，解得， 所以 的取值范围为. （方法二）由（1）知在上单调递增，在上单调递减. 因为，故, 所以，则在上有唯一零点，不妨设为 ， 由，令， 则，所以在上单调递增， 所以，所以， 可得在上有唯一零点，不妨设为 ， 所以 的取值范围为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2026届高三上学期12月第2周周考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知一组数据为，则这组数据的分位数是（　　） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 4. 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（ ） A. 64 B. 32 C. D. 5. 已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 6. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过点作圆：的切线，交双曲线的右支于点，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知集合，则与的关系为（　　） A. B. C. D. 8. 如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（为扇形所在圆的圆心，圆心角为），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为，该圆台的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A. 把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线 B. 把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线 C. 把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线 D. 把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线 10. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”.给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ）. A. ，（表示不超过x的最大整数） B. ， C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（ ） A. B. 双曲线的离心率 C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数，则|z|＝___． 13. 若函数的图象上不同两点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，请写出一个有自公切线的函数______． 14. 将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列满足，且， （1）求数列的通项公式； （2）把数列的第1项、第4项、第7项、……、第项、……分别作为数列的第1项、第2项、第3项、……、第项、……，求数列的所有项之和； 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中． （1）证明：平面平面． （2）若点，，，在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的大小． 17. 湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. （1）求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； （2）若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； （3）经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值（为坐标原点）； （3）已知点，连接，过点作直线轴，且与直线交于点，点满足，若直线与椭圆的另一个交点为，证明：轴． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性. （2）设有两个零点a，b. （i）求 的取值范围； （ii）证明：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $