精品解析：云南罗平县第一中学2024-2025学年下学期期中考试试卷高三数学

2024-2025学年下学期期中考试试卷 高三年级 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的计算和交集的运算可得结果. 【详解】由，又，所以. 故选：C. 2. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【详解】，即. 故选：C. 3. 若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 4. 曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导得出切线斜率，再得到切线方程，然后求出与坐标轴交点，最后计算面积. 【详解】设函数，则，则， 所以曲线在点处的切线方程为，直线在坐标轴上的截距为. 故曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 故选 ：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，由求出，结合计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 所以. 故选：C 6. 已知为所在平面内的点，且.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理转化计算，即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以，所以，故. 故选：A. 7. 已知，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别由与确定x的值，据此可判断选项正误. 【详解】当时，， 当时，. 当时，； 当时，与不垂直. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 8. 数列的前2025项和为（ ） A. 1012 B. C. 1013 D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过将数列的前2025项和进行分组，根据相邻两项的规律，并项求出和. 【详解】设数列的前项和为，则. 可以将相邻两项看作一组，即，，，，，一共有组，还剩下最后一项2025. 每一组的值都为，例如，，，以此类推. 因为一共有1012组，每组的值为，所以前2024项分组后的和为. 等于前2024项分组后的和加上最后一项2025，即. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两个正实数满足，则下列不等式一定成立的有（ ） A. 的最小值是8 B. 的最大值是8 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解. 【详解】由，所以，所以， 当且仅当时等号成立，故A正确，B错误； 又， ， 当且仅当，即时等号成立， 即，解得，故C正确，D错误； 故选：AC． 10. 在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由正弦定理求得，根据充分条件的规定，依次对各选项逐一判断即得. 【详解】由正弦定理可得，即． 对于A，当时，，可得，故得，解唯一，故A正确； 对于B，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故B错误； 对于C，当时，则，则，故，则，解唯一，故C正确； 对于D，当时，，因，则，角有两解，解不唯一，故D错误. 故选：AC． 11 若复数z满足，则（ ） A. B. z的虚部为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用已知条件进行化简求出复数即可. 【详解】得， 则z的虚部为，，， 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值等于______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】， 所以. 故答案为：1. 13. 在等差数列中，，，则数列的前10项的和等于______. 【答案】80 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可求解公差和首项，进而根据等差求和公式求解. 【详解】因为在等差数列中，， 所以，，所以公差，， 所以等差数列的前10项的和. 故答案为：80 14. 若圆锥侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆锥的底面半径，再求得圆锥的表面积. 【详解】由题意可得，圆锥的侧面展开图的扇形弧长为，所以底面圆的半径为1，面积为， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）已知是一次函数，且，求； （2）已知，求． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）设，代入已知条件可得的方程组，解方程组即可得到答案 （2）利用换元法求解求出解析式 【详解】（1）设，则： ； 即； 解得或； ∴或； （2）令，则，； ∴； ∴． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式，掌握待定系数法、换元法、配凑法、列方程组法等，由条件的不同运用适当方法解题． 16. 已知函数的图象在点处的切线的一个方向向量为． （1）求的值； （2）若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出参数. （2）由（1）的结论，等价变形不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出函数最小值即可. 【小问1详解】 函数，求导得， 由图象在点处的切线的一个方向向量为，可得该切线斜率为1， 因此，所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数的定义域为， 不等式恒成立，即对恒成立， 因此对恒成立， 设，求导得， 由，得；由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 故得，即的取值范围是. 17. 2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表： 喜欢奥数 不喜欢奥数 总计 已选奥数课（A组） 150 50 200 未选奥数课（B组） 90 110 200 总计 240 160 400 （1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？ （2）能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？ 附： 参考公式：，其中. 【答案】（1）20，12； （2）有关. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样列式计算即可； （2）根据表格数据求出值，然后与临界值比较即可判断. 【小问1详解】 应在A组抽取，应在B组抽取； 【小问2详解】 由题意可得， 因此有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且上顶点与都在直线上. （1）求的方程； （2）若点为上的一个动点，点，求的最小值； （3）若过点的直线交于两点，点是线段上异于的一点，且，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出点坐标即可得解. （2）利用两点间距离公式，结合椭圆的范围求出最小值. （3）按直线的斜率是否为0分类，在不为0时设出方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合共线向量的坐标运算推理得证. 【小问1详解】 在直线方程中，令，得，即，则， 令，得，即，则， 所以的方程为. 【小问2详解】 设，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【小问3详解】 当直线的斜率为0时，不妨记，而，由，得， 则，因此； 当直线的斜率不为0时，设，直线的方程为， 由消去得， 则，，且， 如图，由，得点在线段的垂直平分线上，即， 显然，设，即， 于是，由点在直线上，得， 则，整理得， 于是，因此，， 所以. 19. 如果函数满足条件：①；②，则称是次可加函数.次可加函数在数学的多个领域中都有重要应用，如概率论､数论､组合数学､经济学､计算机科学､统计力学､优化理论､控制理论等. （1）判断是否是次可加函数，并说明理由；若，试判断与的大小关系； （2）设函数，若在上单调递减，证明：是次可加函数； （3）判断是否是次可加函数，并证明：当时，. 【答案】（1）是，理由见解析； （2）证明见解析 （3）是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的和角公式及绝对值性质，结合三角不等式及次可加函数定义即可判断； （2）根据函数在上单调递减及不等式性质可推得，即可证明； （3）先根据题给条件及次可加函数定义得到是次可加函数，利用对数的换底公式化简所求不等式，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，并求其最小值，则，即可得证. 【小问1详解】 当时，，满足条件①； 对，满足条件②. 所以是上的次可加函数. 由题意，得. 由上面的论证过程，可得. 【小问2详解】 证明：对， （i）若中至少有一个为0，不妨设，则. 由，知，所以； （ii）若均不为0，则. . 又在上单调递减，所以， 由不等式的性质，得. 综上，是次可加函数. 【小问3详解】 当时，因为，所以是增函数，.满足条件①； ，所以满足条件②. 综上，次可加函数. 当时， . 令，则， 显然在上单调递增，所以当时，， 因为在上是增函数，所以，所以， 所以当时，. 所以在上单调递增. 所以当时，，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期期中考试试卷 高三年级 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知，则（ ） A B. C. D. 6. 已知为所在平面内的点，且.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 数列的前2025项和为（ ） A. 1012 B. C. 1013 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两个正实数满足，则下列不等式一定成立的有（ ） A. 最小值是8 B. 的最大值是8 C. 的最小值是 D. 的最大值是 10. 在中，，，，则“有唯一解”的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 11 若复数z满足，则（ ） A. B. z的虚部为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值等于______． 13. 在等差数列中，，，则数列的前10项的和等于______. 14. 若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积是______． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）已知一次函数，且，求； （2）已知，求． 16. 已知函数图象在点处的切线的一个方向向量为． （1）求的值； （2）若不等式恒成立，求的取值范围． 17. 2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表： 喜欢奥数 不喜欢奥数 总计 已选奥数课（A组） 150 50 200 未选奥数课（B组） 90 110 200 总计 240 160 400 （1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？ （2）能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？ 附： 参考公式：，其中. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且上顶点与都在直线上. （1）求的方程； （2）若点为上的一个动点，点，求的最小值； （3）若过点的直线交于两点，点是线段上异于的一点，且，证明：. 19. 如果函数满足条件：①；②，则称是次可加函数.次可加函数在数学的多个领域中都有重要应用，如概率论､数论､组合数学､经济学､计算机科学､统计力学､优化理论､控制理论等. （1）判断是否是次可加函数，并说明理由；若，试判断与的大小关系； （2）设函数，若在上单调递减，证明：是次可加函数； （3）判断是否是次可加函数，并证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $