江苏省南京市2026年中考数学自编模拟练习卷

江苏省南京市2026年中考数学模拟练习卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 3．下列整数中，与最接近的是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．给出下列实数：，，，，，，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7．比较大小： （填“>”、“<”或“=”） 8．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 9．计算： ． 10．的相反数是 ． 11．已知分式的值为，那么 ． 12．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度）是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 13．如图， 点 在直线上，平分， 则的大小为 ． 14．如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则 ． 15．4的算术平方根是 ． 16．若一元二次方程满足；则有一个根为 ．若，则有一个根为 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？（选自《孙子算经》） 题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸；将这根绳子对折来量，绳子差1尺．这根木材有多长？ 18．（8分）为推进开展学校科学教育，某学校组织学生开展了“科技创新月”活动，计划进行以下四项实验活动：A．马德堡半球；B．塑料袋火箭；C．色彩爆炸；D．火山爆发（要求全校学生都必须参加）．张老师将代表这四项实验活动的字母A、B、C、D分别写在四个大小相同的小球上，并将小球装在不透明的布袋中，参加活动的同学从布袋中随机摸出一个小球并记下小球上的字母，然后将小球放回，再去做对应的实验． (1)该校的小明在参加活动时，所做的实验是B．塑料袋火箭的概率是________； (2)请用列表或画树状图的方法，求该校参加活动的甲、乙两名同学所做的实验中恰好有C．色彩爆炸这项实验的概率． 19．（6分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 20．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 21．（8分）如图，某小区车库入口斜坡的坡角，因坡角过大易引发安全事故，该小区物业部门决定将斜坡改造为斜坡，新的坡角，已知，米．（参考数据：，，） (1)求坡底部增加的长度是多少米（结果保留一位小数）； (2)若点距斜坡上方悬挂的广告牌的水平距离米，米，，求广告牌下端点到斜坡的距离（结果保留一位小数），并据此判断高度为米的货车沿下坡过程中是否会撞到广告牌？ 22．（8分）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，延长至点C．使，过点C作交x轴于点D，反比例函数经过点B交于点E，反比例函数经过点C． (1)求反比例函数，的解析式； (2)连接，，计算的面积． 24．（8分）某生态农业有限公司帮助和指导当地车厘子种植基地种植和销售车厘子，已知该车厘子的成本是12元/千克，规定销售价格不高于成本的2倍．经市场调查发现，该车厘子的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示：    (1)直接写出y与x之间的函数解析式； (2)求这一天销售车厘子获得的利润W的最大值； (3)该公司响应精准扶贫的号召决定每销售一千克提取a元用于捐资扶贫，根据市场情况计划销售价格不低于15元且不高于19元．若公司要求每天的销售利润不低于2520元，求出a的值． 25．（8分）课本再现 （1）在学习“图形的平移和旋转”时，有这样一道题：如图1，点D在等边的边上，将绕点A旋转，点B的对应点为点C，小明是这样做的：过等边的顶点C作的平行线l，在l上截取，连接，则即为绕点A旋转后的图形，则______； 类比迁移 （2）如图2，点D为等边的边下方一点，连接，若，，求面积的最小值； 拓展应用 （3）如图3，在四边形中，，点E在上，且，于点E，交于点O，求的值． 26．（9分）已知，，点C为射线上一动点（不与点B重合），关于的轴对称图形为．    (1)如图1，当点D在射线上时，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当点D在射线，之间时，若点G为射线上一点，点C为的中点，连接交于点M，． ①求证：为直角三角形； ②求的长． 27．（11分）如图1：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式． (2)如图2，直线与轴正半轴交于点，且，点是直线上方的抛物线上一个动点，过点作轴交直线于点，在射线上取一点，使得，求周长的最大值及此时点的坐标． (3)如图3，将原抛物线沿射线方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与轴交于点，与直线交于点，在对称轴右侧的抛物线上取一点，过点作轴的平行线与抛物线的对称轴交于点，若与相似，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《江苏省南京市2026年中考数学模拟练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B C D A C 1．D 【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且，从而求解． 【详解】解：根据题意得：a≠0且，即 ， 解得：且， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 2．B 【分析】本题主要考查矩形的性质与折叠，勾股定理；根据矩形的性质与折叠得到，设，再利用勾股定理，解出的值即可求出． 【详解】解：∵矩形纸片中，，，将沿翻折， ∴，， 在中， ∴ 设， 在中， ∴ 解得： ∴ 故选：B． 3．C 【分析】利用夹逼法先求得在3和4之间，然后比较与13的大小后即可求得答案． 本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 与最接近的是4， 故选：C 4．D 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 5．A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．本题根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴无理数有：，，共2个． 故选：A． 6．C 【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出， 当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键． 7． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较方法判断即可，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8． 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 9． 【分析】根据根式乘法法则计算，再根据二次根式性质化成最简二次根式即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为． 【点睛】本题考查二次根式乘法运算及化简最简二次根式，解题的关键是运算结束要化简成最简二次根式． 10． 【分析】求的相反数在整个式子的前面加上负号，再去掉括号即可． 【详解】解：由题意可得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 11． 【分析】本题考查了解分式方程；由题意得分式方程，再进行计算求解． 【详解】解：由题意得， 两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 13． 【分析】根据邻补角的性质可得，再根据角平分线的性质可得答案． 【详解】解：为直线上一点，， ， 平分， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查角平分线和邻补角以及角平分线的定义，能熟练地运用邻补角互补进行计算是解此题的关键． 14． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，将绕点旋转得到，过点作于点，可证是等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，求得的长，利用三角形的面积公式求解即可，添加恰当的辅助线，构造特殊三角形是解决问题的关键． 【详解】解：将绕点旋转，根据等边三角形中，故可得到，过点作于点， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：4的算术平方根是． 故答案为：． 16． 【分析】根据可得，原方程可化为，利用因式分解法解方程即可得答案，同理可得时方程的一个根． 【详解】解：∵， ∴， ∴原方程可化为， ∴， ∵， ∴，， ∴满足时，有一个根为． ∵， ∴， 原方程可化为， ∴， ∵， ∴，， ∴满足时，有一个根为． 故答案为：， 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键． 17．这根木材的长为尺 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示绳子的长度是解题的关键． 设这根木材的长为x尺，则绳子的长度为尺，也可表示为尺，于是列方程得，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设这根木材的长为x尺， 根据题意得， 解得， 答：这根木材的长为尺． 18．(1) (2)画树状图见解析， 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率及简单的概率计算，理解题意是解题的关键． （1）用概率公式计算即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙两名同学所做的实验中恰好有C．色彩爆炸这项实验的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：共有4项实验，小明在参加活动时，所做的实验是B．塑料袋火箭的概率是， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学所做的实验中恰好有    C．色彩爆炸这项实验的结果数为7， 甲、乙两名同学所做的实验中恰好有C．色彩爆炸这项实验的概率为． 19．(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集； （1）根据不等式的性质解不等式即可求解； （2）根据不等式的性质解不等式即可求解； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）取两个不等式解集的公共部分即可求解． 【详解】（1）解不等式①得： （2）解不等式②得： （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 20．，数轴表示见解析 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，首先分别计算出两个不等式的解集，然后再根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集．最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得：；解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图： 21．(1)坡底部增加的长度是米 (2)高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌 【分析】（1）根据垂直的定义及等腰三角形的判定可知，再利用锐角三角函数可知即可； （2）利用垂直的定义及矩形的判定可知四边形形是矩形，再根据矩形的性质及直角三角形的性质可知，最后利用锐角三角函数解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴在中，， ∴， 答：坡底部增加的长度是米； （2）解：高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌，理由如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足， ∴， ∴四边形形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴在中，，米 ， ∵米， ∴在中，， ∴， ∵， ∴高度为米的货车沿下坡过程中不会撞到广告牌． 【点睛】本题考查了垂直的定义，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形的应用—坡角问题，根据题目已知条件添加适当的辅助线是解题的关键． 22．(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 23．(1)， (2)的面积为 【分析】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，三角形面积等，解题的关键是掌握待定系数法，能求出点的坐标． （）过点作，垂足为，由等边的边长为，可得，，，而，知，即可得，； （）连接，由，，得，，，求出直线解析式为，联立联立，解得，则，故； 【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图： ∵等边的边长为， ∴，， ∴， ∵，即点为的中点， ∴， 把点，分别代入和 得：，， 解得，， ∴，； （2）连接，如图： ∵，， ∴，， ∴， 由，可得直线解析式为， 联立 ，解得 或 (舍去)， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 24．(1)当时，y与x之间的函数解析式为；当时，y与x之间的函数解析式为． (2)厘子获得的利润W的最大值为5000元 (3)a的最大值是1.2 【分析】本题考查不等式、待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用， （1）当时，利用待定系数法求得y与x之间的函数解析式为；当时，y与x之间的函数解析式为； （2）当时，，结合二次函数的性质求得其最大值；当时，，结合一次函数的性质求得其最大值，取二者最大值即可； （3）由题意得，当时，捐资后的日销售利润为，整理并求得其对称轴为，结合二次函数的性质知当时，日销售利润W应不低于2520元，即，解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，设y与x之间的函数解析式为， 把；分别代入， 得， 解得， ∴当时，y与x之间的函数解析式为； 当时，y与x之间的函数解析式为． （2）解：当时，， 当时，W有最大值为5000元； 当时，， ∴当时，W有最大值为5000元． 综上，厘子获得的利润W的最大值为5000元． （3）解：由题意得，当时，捐资后的日销售利润为， 该函数图象的对称轴为直线， ∴当时，日销售利润W应不低于2520元，即， 解得， 的最大值是1.2． 25．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，由旋转的性质可得，再根据角之间的关系可得； （2）延长到点，使，可证明，进一步证明是等边三角形，要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小，即当为等边的高线时才会最短，从而可得出结论； （3）过点C作交的延长线于点F．由角平分线的性质得到，将绕点C旋转到，使得与重合，则点A，B，G三点共线．证明是等腰直角三角形，得到，，由旋转性质可知证明，得到，则是等腰直角三角形，再证明，得到，，进一步证明，推出，则，即． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴． 由旋转性质可知，， ∴，即． 故答案为：； （2）如图，延长到点，使．   是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ∴， ， ∵ ， 是等边三角形． 要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小， 即当为等边的高线时才会最短， 由题意可知等边的高线最短为， ∴ 的面积最小值是． （3）如图，过点C作交的延长线于点F． ∵， ∴为的平分线． ∵， ∴， 将绕点C旋转到，使得与重合，则点A，B，G三点共线． ∵， ∴， 又∵，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由旋转性质可知 ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 26．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由菱形的判定：四边相等的四边形是菱形即可； （2）①先由关于的轴对称图形为，得到，再由中位线的性质得到即可；②设则分别在中和在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：关于的轴对称图形为， ， ， ∴四边形是菱形． （2）①证明：关于的轴对称图形为， ， ， 是的中点， ， ， 是直角三角形． ②解：，C是的中点，， ， 设 ， 在中，， 在中， ， 即， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形的中位线定理，等腰三角形“三线合一”性质，掌握相关的性质及判定方法是本题的关键． 27．(1)抛物线表达式为 (2)的周长最大为；点的坐标为 (3)满足条件的点的坐标为、、、 【分析】本题考查二次函数与几何综合，解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点以及准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）由平行的关系得出，若，判断出为等边三角形，易得周长最大时，的长度最大，先求出点的坐标，得出直线的表达式，令点的坐标为，则点的坐标为，即可用表示的长度，根据二次函数的性质可得出的最大值，即可求出周长的最大值及此时点的坐标； （3）根据题意作图，通过计算发现是含角的直角三角形，若与相似，则也是含角的直角三角形，由此可得得出、之间的比例关系，对点的位置以及的度数进行分类讨论，求出对应的点坐标即可． 【详解】（1）解：将点、点代入抛物线， 得，解得， 故抛物线表达式为． （2）解：∵轴， ∴， 若， 则为等边三角形， 即的周长为长度的3倍， 故要求出的最大值， ∵，， ∴， 即点的坐标为， 令直线的表达式为， 将点、代入， 得，解得， 故直线的表达式为， 结合、， 可得方程， 化简得， 解得或， 故点的横坐标取值范围为， 令点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∴当时，最大，其最大值为， ∴此时， ∴点的坐标为， 此时的周长最大为． （3）解：∵，， 由勾股定理可得， 将移动方向进行分解，设其右移动个单位，再向上移动个单位也满足题意， 则， 解得，， 沿方向移动个单位，等同于向右移动个单位，再向上移动个单位， 移动后抛物线表达式为， 化简得， 此时函数对称轴为直线， 则点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∵ ∴若与相似，则应为含角的直角三角形， 令点坐标为， 对的位置情况进行分类讨论： 当点在轴上方，且时，如下图： 此时，， ∴， 得方程， 解得或（舍去）， 当时，， 此时点的坐标为； 当点在轴上方，且时，如下图： 此时，， ∴， 得方程， 解得或（舍去）， 当时，， 此时点的坐标为； 当点在轴下方，且时，如下图： 此时，， ∴， 得方程， 解得或（舍去）， 当时，， 此时点的坐标为； 当点在轴下方，且时，如下图： 此时，， ∴， 得方程， 解得或（舍去）， 当时，， 此时点的坐标为； 综上，满足条件的点的坐标为、、、． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $