2026年江苏省南京市鼓楼区中考数学自编模拟练习卷

2026学年江苏省南京市中考自编模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材苏科版数学。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C D A C B 一．选择题（共6小题） 1．下列四个数中，是负数的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项，原式，故该选项不符合题意； 选项，原式，故该选项不符合题意； 选项，原式，故该选项不符合题意； 选项，原式，故该选项符合题意； 故选：． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 故选：． 3．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，．在这100个数中，“神秘数”的个数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【解答】解：设两个连续偶数为和， 则， 又是奇数，从而，神秘数是4的倍数，但不是8的倍数， 之间的神秘数有，，，，共计13个， 故选：． 4．如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接、，取、的中点、，连接，若，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接，，， 四边形，四边形都是矩形，、是、的中点， 点是的中点，点是的中点， ， ，， ， ， 将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置， ，， ， ， 故选：． 5．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结交于点，若△为等腰三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为， △为等腰三角形，， ， ， ，， △△， ，即， ， ， ； 故选：． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切，点，在上，它们的横坐标分别是0，9．若沿着轴向右作无滑动的滚动，当点第一次落在轴上时，此时点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图1，设与轴的切点为，过点作轴于，连接，， 轴， 点的坐标是， ，， 即的半径为5， ， 在△中，由勾股定理得：， 延长与相交，此时交点到点的距离为9， 而点的横坐标为9，故交点为点， ， 如图2，当点第一次落在轴上时，滚动了， 点滚动的距离为：， 点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为， 此时，， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为， 即此时点的坐标是， 故选：． 二．填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 7．的相反数是　2　；的倒数是　　． 【解答】解：的相反数是 2；的倒数是 2， 故答案为：2，2． 8．若，是一元二次方程的两个根，则的值是 　　 ． 【解答】解：由根与系数的关系得， ，， ， 故答案为：． 9．用一张半径为20的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计），如果圆锥底面的半径为10，那么扇形的圆心角为　180　度． 【解答】解：设扇形的圆心角为， 根据题意得，解得， 即扇形的圆心角为． 故答案为180． 10．一个多边形的内角和与外角和的和为，则它的边数为　5　． 【解答】解：设这是一个边形，则 ， 解得． 答：它的边数是5． 11．欢欢同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长　4　． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 【解答】解：设波长关于频率的函数解析式为 ， 把点代入上式中得：， 解得：， ； 当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 故答案为：4． 12．如图，是的平分线，是的平分线，，则　　． 【解答】解：是的平分线， ． 是的平分线， ． ． ， ， ． 故答案为：． 13．如图，在△中，，平分，连接并延长至点，使得，连接，恰好有．若，则　　 ． 【解答】解：延长交于点，连接， ，平分， ，，即垂直平分， ， ，， ， ，即， ， 可设，则， ， 在△中，， 在△中，， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点，．将△沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 　　 ． 【解答】 解：设点坐标为，则， ， ， 由对称可知：，， ， 作轴，垂足为， ，， ，， 点在反比例函数图象上， ①， 在△中，， ，即②， 由①②解得， 故答案为：． 15．如图，、是线段上两点，、、分别是、、的直径，这三个圆的半径都等于10，设切于，且交于、，则弦的长为 　16　 ． 【解答】解：连接，，，作于点，则， 、、分别是、、的直径，这三个圆的半径都等于10， ，， ，， 切于， ， ， ， ， ， ， 故答案为：16． 16．在△中，，点在边上，且，以为斜边作等腰直角三角形，则点到边的距离为 　2或3　 ． 【解答】解：如图，当点在的左边， 在△中，，， ， ， ，， 过作于， ， ， 过作于，于， 则四边形是矩形， ，，， ， ， 在△与△中， ， △△， ，， 四边形是正方形， 设， ， ， 解得； ， 如图，当点在的右边， 过作于，于， 则四边形是矩形， ，，， ， ， 在△与△中， ， △△， ，， 四边形是正方形， 设， ， ， 解得， ， 综上所述，点到边的距离为2或3． 故答案为：2或3． 三．解答题（共11小题） 17．计算：． 【解答】解：原式 ． 18．先化简，再求值：，其中满足． 【解答】解： ， 满足， ， 或， 或； 当时，原式； 当时，原式． 19．百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称款），抖音推出了“豆包” 聊天机器人（以下简称款）．有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息： 抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对款聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 88 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中　15　，　　，　　； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对款聊天机器人进行评分、300人对款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【解答】解：（1）由题意得：， 即， 款的评分非常满意有（个，“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， 中位数， 在款的评分数据中，98出现的次数最多， 众数； 故答案为：15，88.5，98； （2）款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但款评分数据的中位数为88比款的中位数87高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）； （3）（人， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有69人． 20．如图，在四边形中，，，点在上，，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，交于点，若，，求的长． 【解答】（1）证明：，， ，， 四边形为平行四边形， 平分， ， ， ， 四边形为菱形； （2）解：四边形为菱形，， ，，， 在△中，， ， ， ， ， ． 21．某校在商场购进、两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花30元． （1）问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进、两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了，品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买、两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？ 【解答】解：（1）设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：购买一个品牌的篮球需50元，购买一个品牌的篮球需80元． （2）设该校此次可购买个品牌篮球，则购进品牌篮球个， 由题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买20个品牌篮球． 22．如图，已知是的直径，平分，且，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【解答】（1）证明：如图，连接． ， ． 平分， ， ， ． ， ， 是的切线． （2）解：连接． ， ． 是的直径， ，． ， ． ，， ． ， ． ，， ． 23．，两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从，两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达地后立即按原路原速返回，慢车到达地后停止．快、慢两车离地的距离，（单位：与出发时间（单位：之间的函数关系如图所示． （1）补全与之间的函数图象： （2）若慢车的速度为． ①点的坐标为　　 ； ②快车到达地前，两车何时相距？ （3）若慢车在快车返回地后的内到达，则慢车速度的范围是　　 ． 【解答】解：（1）快车到达地后立即按原路原速返回， 快车返回地时，； 补全与之间的函数图象如下： （2）①快车速度为， ， 两车出发后相遇，相遇处距地， 的坐标为； 故答案为：； ②根据题意得， 当时，， 两车相距， ， 解得或； 当时，， 两车相距， ， 解得或； 综上所述，当或或或时，两车相距； （3），， ； 故答案为：． 24．已知点，、，在二次函数的图象上，当，时，． （1）① 　　 ； ②若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 　　 ． （2）若；是图象上的两点，且，求的取值范围． （3）若对于任意实数，都有，则的取值范围是 　　 ． 【解答】解：（1）①当，时，， 抛物线的对称轴为直线， ， ． 故答案为：． ②若抛物线与轴只有一个公共点， 关于的方程有两个相等的实数根， △， ． 故答案为：4． （2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线， 点关于直线的对称点为． 抛物线的开口向上， 当时，， 解得． （3）抛物线， 当时，函数有最小值． 对于任意实数，都有， ， 解得． 故答案为：． 25．已知：如图点、为定点． 求作：优弧上点使得等于定长．（保留作图痕迹，并将你的构图思维用简要文字加以说明） 【解答】解：如图，作的垂直平分线交于点，以点为圆心为半径作交于点，以点为圆心为半径作，与交于点，连接并延长交于点．根据轴对称的性质，同理在另一侧得到点．点和即为所求． 思路：由于，构造，在等腰△中， ． 由于，，则，， 由于为定角，则也为定角，点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆． 因点又在以点为圆心为半径的圆上． 故两圆交点即为点，连接并延长，即可找到点． 26．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得△的面积始终为定值，若存在，求出的值及△面积的定值；若不存在，请说明理由． （3）若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）存在． 如图，过点作直线与平行． 由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴直线对称， 点的坐标为． 当时，， 解得，， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入得，， 解得． 直线的解析式为． 直线与平行，点的坐标为， 直线的解析式为， 的值为，△的面积始终为定值． △的面积为， 当点在直线上时，△面积始终为3． 综上所述，存在常数，使得△的面积始终为定值，的值为，△面积为3． （3）抛物线沿直线翻折前后如图所示． 由（1）可知抛物线的解析式为， 抛物线的顶点的坐标为， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． ①当点在点的上方时，，解得， 此时，， ，解得， ． ②当点在点的下方时，，解得， 此时，， ，解得， ． 综上所述，若．的取值范围是． 27．尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． 【圆的作图】 （1）点是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点是其中一个切点； （2）点是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件： ①圆心在上；②经过点；③与边相切； 【不可及点的作图】 （3）如图3，从墙边上引两条不平行的射线、（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线． 【解答】解：（1）以为圆心，任意长为半径画弧交射线于点、； 分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； 作射线； 以为圆心，任意长为半径画弧交射线于，交射线于； 分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于； 作射线与交于点； 以点为圆心，长为半径画圆； 则圆即为所求； （2）如图，以为圆心，以任意长为半径画弧交射线于点，； 分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点； 作射线与射线交于点； 以为圆心，以任意长为半径画弧交射线于点，； 分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点； 作射线与交于点； 以为圆心长为半径画圆，则即为所求作的圆； （3）如图，先分别作和的角平分线，，与交于点； 过点分别作和的垂线与交于点，与交于点； 在上取点，在上取点，使，然后分别过点，作，，和交于点； 过作直线，则是和相交的角的平分线． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/11 13:58:58；用户：许天枢；邮箱：jlhwxx01@xyh.com；学号：38511705 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年江苏省南京市中考自编模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和填空题和简答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第填空题、简答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：新教材苏科版数学。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本题共6个小题，每小题2分，共12分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．下列四个数中，是负数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，．在这100个数中，“神秘数”的个数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 4．如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接、，取、的中点、，连接，若，，则（　　） A． B． C． D． 5．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结交于点，若△为等腰三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切，点，在上，它们的横坐标分别是0，9．若沿着轴向右作无滑动的滚动，当点第一次落在轴上时，此时点的坐标是（　　） A． B． C． D． 二．填空题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 7．的相反数是　　；的倒数是　　． 8．若，是一元二次方程的两个根，则的值是 　　 ． 9．用一张半径为20的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计），如果圆锥底面的半径为10，那么扇形的圆心角为　　度． 10．一个多边形的内角和与外角和的和为，则它的边数为　　． 11．欢欢同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长　　． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 12．如图，是的平分线，是的平分线，，则　　． 13．如图，在△中，，平分，连接并延长至点，使得，连接，恰好有．若，则　　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点，．将△沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 　　 ． 15．如图，、是线段上两点，、、分别是、、的直径，这三个圆的半径都等于10，设切于，且交于、，则弦的长为 　　 ． 16．在△中，，点在边上，且，以为斜边作等腰直角三角形，则点到边的距离为 　　 ． 三．解答题（共11小题，共88分） 17．（7分）计算：． 18．（7分）先化简，再求值：，其中满足． 19．（7分）百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称款），抖音推出了“豆包” 聊天机器人（以下简称款）．有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息： 抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对款聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 88 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中　　，　　，　　； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对款聊天机器人进行评分、300人对款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 20．（8分）如图，在四边形中，，，点在上，，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，交于点，若，，求的长． 21．（8分）某校在商场购进、两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花30元． （1）问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进、两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了，品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买、两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？ 22．（8分）如图，已知是的直径，平分，且，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 23．（8分），两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从，两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达地后立即按原路原速返回，慢车到达地后停止．快、慢两车离地的距离，（单位：与出发时间（单位：之间的函数关系如图所示． （1）补全与之间的函数图象： （2）若慢车的速度为． ①点的坐标为　　 ； ②快车到达地前，两车何时相距？ （3）若慢车在快车返回地后的内到达，则慢车速度的范围是　　 ． 24．（8分）已知点，、，在二次函数的图象上，当，时，． （1）① 　　 ； ②若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 　　 ． （2）若；是图象上的两点，且，求的取值范围． （3）若对于任意实数，都有，则的取值范围是 　　 ． 25．（9分）已知：如图点、为定点． 求作：优弧上点使得等于定长．（保留作图痕迹，并将你的构图思维用简要文字加以说明） 26．（8分）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得△的面积始终为定值，若存在，求出的值及△面积的定值；若不存在，请说明理由． （3）若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围． 27．（10分）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． 【圆的作图】 （1）点是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点是其中一个切点； （2）点是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件： ①圆心在上；②经过点；③与边相切； 【不可及点的作图】 （3）如图3，从墙边上引两条不平行的射线、（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $