2026年江苏省南京市中考数学达标测试练习试卷

江苏省南京市2026年中考数学达标测试 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．在有理数，，0，，，中，负数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．氢原子中电子和原子核之间的距离为0.00000000529厘米，用科学记数法表示0.00000000529是（     ） A．5.29×10-8 B．5.29×10-9 C．5.29×10-10 D．5.29×109 4．苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图），组成了一个完美的六边形（正六边形），图是其平面示意图，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得，则此光盘的直径为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．下列关系不正确的是( ) A．若a－5＞b－5，则a＞b B．若x2＞1，则x＞ C．若2a＞－2b，则a＞－b D．若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7．比较大小： （填“”“”或“”）． 8．点关于原点对称的点的坐标是 ． 9．爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 10．已知方程组，则的值是 ． 11．如图，在中，，斜边，过点C作，以为边作菱形．若，，则的面积为 ． 12．如图，菱形的边长为2，，点E在线段的延长线上，将射线绕点A逆时针旋转交的延长线于点F，设，则y与x之间的函数关系式的为 ． 13．y与x之间的函数关系可记为．例如：函数可记为．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有，则是奇函数．例如：是偶函数，是奇函数．已知函数是奇函数，当时，，那么 ． 14．如图，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A． （1）若点A坐标为，则 ； （2）若，则的面积为 ． 15．如图所示，为正方形内部一点，使得，连接，过点D作直线的垂线，垂足为点E，连接，若，，则的面积为 ． 16．如果一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且千位与十位上的数字之差等于百位与个位上的数字之差，则称为“等差数”，将千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数，记，若为等差数，且，则数为 ；若为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最小“等差数”是 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）求不等式组的整数解 18．（8分）解答题： (1)计算：． (2)先化简，再求值，其中． 19．（6分）如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 20．（8分）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 21．（8分）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？ (2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 22．（7分）如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E． (1)求证：； (2)连接，若为直径，，，求的半径． 23．（8分）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是______，乙的速度是______； (2)分别求出、与x的函数关系式； (3)对比图1，图2可知：______，______，______； (4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距？（直接写出x的值） 24．（8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 25．（8分）一个不透明的盒中装有除颜色外均相同的黑球和白球若干个．数学兴趣小组做摸球实验，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)___________，___________； (2)估计摸出一个球恰好是白球的概率约为___________（结果精确到） 26．（9分）已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 27．（11分）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《江苏省南京市2026年中考数学达标测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A B B D B 1．D 【分析】此题考查了正数与负数、乘方及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， ，0，，,， ∴负数有3个， 故选D． 2．A 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式，进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 3．B 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000000529＝5.29×10−9， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．B 【分析】根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图， 六边形是正六边形， ， ， ， 同理，， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质（等边对等角），三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理是解题的关键． 5．D 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，含度角的直角三角形的性质，掌握切线长定理是解题的关键．设光盘的圆心为，直角三角板与光盘的切点为，连接、，可求得，进而利用勾股定理以及含度角的直角三角形的性质，求得的长，即可求得答案． 【详解】解：设光盘的圆心为，直角三角板与光盘的切点为，连接、、；    ∴、是的切线，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 6．B 【详解】试题解析：A. 不等式的两边都加上5，不等号的方向不变，正确； B. 两边都除以x，x可以是负数，所以本选项错误； C. 两边都除以2，不等号的方向不变，正确； D. ∵a>b，∴a+c>b+c， ∵c>d，∴c+b>b+d， ∴a+c>b+d，正确. 故选B. 7． 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8． 【分析】根据点的对称性，关于原点对称的两个点的各个坐标互为相反数即可得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查点的对称，熟记点的对称的坐标特征是解决问题的关键． 9． 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 10．3 【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组两方程相加即可求出的值． 【详解】解：， ①②得：， 则． 故答案为：3． 11．/0.5 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键就是利用菱形的性质证明为等腰直角三角形． 利用菱形的性质，结合，证明为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形为菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 12． 【分析】连接，证明，得出，即可得出，求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形，证明． 13． 【分析】本题主要考查了求函数值，理解奇函数和偶函数的定义是解题的关键． 根据奇函数的定义可得，将代入求出，从而求出即可． 【详解】解：∵是奇函数， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 14． 3 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，正确熟练掌握函数性质是解题的关键． （1）先将点A代入一次函数解析式，求出点A的坐标，再带入反比例函数解析式求解即可． （2）先联立两个函数解析式，求出交点A的坐标，再用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵点在一次函数的图象上， ， 解得：， 点A坐标为． 点在反比例函数（，）的图象上， ， 故答案为：． （2）联立方程组， 解得（舍去）或， 点A坐标为， 当时，， 点坐标为， △OAB的面积为． 故答案为：3． 15．/ 【分析】连接，以为直径作的外接圆，圆心为，连接，，过点作于，过点作，的延长线交于，则，点在外接圆的上，，，再证，由此可得，从而得，再求出，利用三角形的面积公式求出，则，由此即可得出的面积．此题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造三角形的外接圆及相似三角形是解决问题的难点． 【详解】解：连接，以为直径作的外接圆，圆心为，连接，，过点作于，过点作，的延长线交于，如下图所示： 四边形为正方形，且， ，，， 点为的中点， ∵ ∴四边形为矩形， 在中，由勾股定理得：， ， ∵过点D作直线的垂线，垂足为点E， 于，即， 点在外接圆的上， ，， ，， ， 又， ∴ ， ， ，， ， ，， ， ， ， 即， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， 即， ， ， ． 故答案为：． 16． 2659 5612 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，根据题意得到，则，根据，推出，联立，解得，则数为；设M的千位数字，百位数字，十位数字，个位数字分别为a、b、c、d，则，，求出，根据为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则可设（k为自然数），推出，则一定是4的倍数，故一定要是4的倍数，且，由此求出，则，又a、b、c、d互不相同，可得，则满足题意的M的值为5612． 【详解】解：∵为等差数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立，解得， ∴数为； 设M的千位数字，百位数字，十位数字，个位数字分别为a、b、c、d， ∴，， ∴ ， ∵为正数且能表示为两个连续偶数的平方差， ∴可设（k为自然数）， ∴， ∴一定是4的倍数， ∴一定要是4的倍数，且， ∴或， 又∵要满足M最小，且a、c不为0， ∴要满足a最小，且要满足b最小， ∴， ∴， 又∵a、b、c、d互不相同， ∴， ∴满足题意的M的值为5612， 故答案为：2659；5612． 17．；不等式组的整数解为：，0，1 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，正确求得不等式组的解集成为解题的关键． 先求出不等式组的解集，然后再确定整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：． 原不等式组的解集为：． 原不等式组的整数解为：，0，1． 18．(1)； (2)； 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的混合运算计算即可； （2）先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 当时， 原式． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，分式的加减乘除混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，正确计算是解题的关键． 19．证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，，即可证，即得，，进而得，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 20．(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）由得出，再证明得出，即可得证； （2）证明是等边三角形，得出，结合平行四边形的性质得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21．(1)，随机 (2)恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率为 【分析】本题考查树状图法求概率． （1）直接利用概率公式，求解即可； （2）画出树状图，再利用概率公式求解即可． 掌握树状图法求概率，是解题的关键． 【详解】（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种， ∴，是随机事件； 故答案为：，随机； （2）画出树状图如图： 由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种， ∴． 22．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接并延长交于点F，连接，切线的性质得到，，再得到是的垂直平分线，再得出，即可得出结论； （2）连接，得到是的中位线，求出，设，在和中，由勾股定理得，即，，即，从而得到，求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点F，连接，如图： 是的切线， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）解：连接，如图： ，， ∴是的中位线， ， 设，在和中，由勾股定理得： ，即， ，即， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 23．(1)30，12 (2)， (3)12，，24 (4)或或或 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用，能够从函数中读取信息是解题的关键． （1）根据图象中的信息求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）首先求出当时，和，然后作差即可求出a；根据题意得到时，，即此时甲乙两人相遇，然后联立表达式求解即可；求出当时，和，然后作差即可求出c； （4）根据题意分4种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）甲的速度是，乙的速度是； （2）设 将，代入得， 解得 ∴； 设 将代入得， 解得 ∴； （3）当时，， ∴； 根据图2可得，时，，即此时甲乙两人相遇 ∴联立得， 解得 ∴； 当时，， ∴； （4）根据题意得， 当甲还没出发时， 解得； 当甲出发后，追上乙前， 解得 当甲追上后，还没到终点前， 解得 当甲到达终点后，乙还没到终点前， 解得 综上所述，乙出发或或或小时，甲、乙两人相距． 24．58m 【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解． 【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则． 又∵， ∴四边形ACHG是矩形． ∴． 由题意，得． 在中，， ∴（m）﹒ ∵是的外角， ∴． ∴． ∴m． 在中， ∴(m)． ∴． 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键． 25．(1)， (2) 【分析】（）根据频率公式计算即可求解； （）根据频率估计概率即可求解； 本题考查了用频率估计概率，掌握频率和概率之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵随着实验次数越来越大时，摸到白球的频率稳定在附近， ∴估计摸出一个球恰好是白球的概率约为， 故答案为：． 26．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，函数值，自变量，最值的计算方法是关键． （1）运用对称轴直线可得，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据点的平移得到平移后的点为，再代入二次函数计算即可； （3）当时，最大值与最小值的差为，结合二次函数图象的对称性，最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：二次函数为， ∴抛物线的对称轴直线为， ∴， ∴抛物线为，又图象经过点， ∴， ∴， ∴抛物线为． （2）解：∵点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度， ∴平移后的点为， 又在， ， 或（舍去）， ∴． （3）解：当时，最大值与最小值的差为， ∴，不符合题意，舍去． 当时，最大值与最小值的差为，符合题意， 当时，最大值与最小值的差为， 解得或，不符合题意， 综上所述，的取值范围为． 27．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析 【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明； （2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明； （3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足． 【详解】证明：（1）是的中位线， 且． 又绕点D按逆时针方向旋转得到 ． （2）由题意可知：，，． 作，则且， 又， ． 根据外角定理 ， ， ． 又，是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）存在点使得． ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点M， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的垂直平分线， 过点D作，交于点P，连接，， ∴， ∴根据三线合一得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过点P作于点N，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴当点G与点P重合时，满足． 【点睛】本题考查了旋转的性质、中位线的性质、外角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $