精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆生产建设兵团第二中学2025-2026学年高一上学期奥赛班加试数学试题

兵团二中2028届奥赛班加试数学试题 （24-25高一上·天津·月考） 1. 已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是___________． 【答案】或． 【解析】 【分析】命题可利用参变分离法将原问题转化为，结合基本不等式即可求得的范围，命题直接利用判别式即可求得的范围，取交集即可得答案． 【详解】因为命题为真命题，即恒成立，又， 故恒成立, ， 又，当且仅当，即时，等号成立， ， 命题，为真命题， 或， 命题都是真命题， 或． 故答案为：或 2. 已知x、y满足.则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据求出，再由求出，再利用二次函数的图像和性质求解. 【详解】由于故. 由,知 因此,当时, 有最小值-1,此时,y可以取; 当时, 有最大值此时，y可以取 由的值域为,知的取值范围是． 故答案为 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查二次函数的图像和性质，考查二次函数的值域的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. （24-25高一上・山西・期中） 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数求定义域的方法计算即可． 【详解】因为的定义域为，所以在中，，则， 则在中，，则． 又，所以的定义域为． 故答案为： （2023高三一全国一专题练习） 4. 已知定义在上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则的取值范围为___________． 【答案】； 【解析】 【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点，再根据函数的性质画图，再列式，根据对数函数的不等式解法求解即可 【详解】函数在区间上恰有8个零点， 则函数与函数在区间上有8个交点， 由知，是上周期为2的函数， 作函数与函数在区间上的图像如下， 由图像知，当时，图像有5个交点， 故在上有3个交点即可，则； 故，解得； 故答案为： 5. 已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，通过题干条件得到为奇函数，且在R上单调递增，从而根据单调性解不等式，求出解集. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以设， 则， 所以为奇函数， 因为，都有， 当时， 则有，即， 所以， 所以在上单调递增， 当时， 则有， 所以， 所以在上单调递增， 综上：在上单调递增， 因为为奇函数， 则在R上单调递增， 变形为：， 即， 所以，解得：. 故答案为： （25-26高一上·江西萍乡·月考） 6. 已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】将原式变形为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案． 【详解】因为均为正实数，且， ，设， 则上式， 当且仅当时取“=”； 则的最小值为， 故答案为： （22-23高一上·河北保定·月考） 7. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】对实数与的大小进行分类讨论，解原不等式组，确定解集中的整数解，可得出关于实数的不等式，解之即可． 【详解】由可得或， 由可得， 当时，不等式即为，该不等式无解； 当时，不等式的解集为， 此时，原不等式组的解集为，则， 所以，，解得； 当时，不等式的解集为， 因为若整数解包含5，则必然也包含，不满足唯一解的条件，故唯一整数解只能是, 即，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是 ． 故答案为： 8. 设函数，则函数的值域是____________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：设，化简的解析式，利用二次函数的图象与性质可求解函数的值域． 详解：由 ， 令，则，且， 当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， 所以的值域为． 点睛：本题主要考查了三角函数恒等变换及化简求值，以及二次函数的性质的应用，其中利用三角恒等变换的公式和换元法转化为二次函数的性质是解答点关键，着重考查了换元法的应用，以及分析问题和解答问题的能力． 9. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如．已知函数，函数，则下列命题正确的是__________． ①函数是周期函数； ②函数的值域是； ③函数的图象关于对称； ④方程只有一个实数根； 【答案】②④ 【解析】 【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断①②的正确性，由特值判断③的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解. 【详解】由题得函数的定义域为, ， 所以函数为偶函数， 当时，； 当时，； 当时，； 所以函数的图象如图所示， 所以函数的图象如图所示， 由函数的图象得到不是周期函数，故选项①不正确； 所以函数的值域是，故选项②正确； 由， 所以函数的图象不关于对称，故选项③不正确； 对于方程， 当时，，方程有一个实数根； 当时，，此时，此时方程没有实数根； 当时，，此时，此时方程没有实数根； 故方程只有一个实数根，故选项D正确. 故答案为：②④. 10. 某饰品店定制半径为1米，圆心角为的扇形展示台．现要在该扇形内制作一个内接矩形陈列区域，其中点在扇形的半径上，点在半径OQ上，点在扇形弧上（如图所示），在区域内摆放耳环、戒指等小件首饰．为了提升台面空间利用率，现要计算矩形ABCD的面积，则面积最大值为___________平方米． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，，可得，利用三角恒等变换求得最大值即可. 【详解】设，因为，， 所以，， 所以， 则四边形的面积为， ， 因为，所以，所以， 所以当时，的最大值为， 所以面积S的最大值为. 故答案为：. 11. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，为正实数，且的最大值等于，求实数的值. 【答案】(1) 见解析； (2)；(3). 【解析】 【分析】(1)将二次函数表达式写成交点式，再对分类讨论； (2)对分等于零，大于零和小于零讨论； (3)先用基本不等式的配凑法求最值，再求的值. 【详解】(1) 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，无实数解. (2) 当时，， 对任意，恒成立. 当时，函数图象开口向上， 若对任意，恒成立，只需 ，即，. 故当时，对任意，恒成立. 当时，对任意，，， 恒成立. 综上可知，实数的取值范围为. (3) 若，，为正实数，则由基本不等式得， ，， 两式相加得，， 变形得，当且仅当且时等号成立. 所以，即，. 12. 已知，，为正数，且满足，证明： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据，，为正数，且，将不等式转化为，再利用基本不等式结合不等式的性质证明； （2）根据，，为正数，且，直接利用基本不等式证明. 【详解】（1）因为，，为正数，且. 所以不等式等价于 ，即等价于. 因为，，为正数， 所以，，， 所以， 即，当且仅当时等号成立. 所以，，为正数时，成立. （2）因为，，为正数，且， 所以 原式 . 当且仅当时等号成立. 所以，，为正数时，成立. 【点睛】本题主要考查基本不等式证明不等式问题以及不等式的基本性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 13. 已知函数满足对一切都有，且，当时有． （1）求的值； （2）判断并证明函数在R上的单调性； （3）解不等式：． 【答案】（1）；（2）在R上是减函数；证明见解析；（3），或． 【解析】 【分析】（1）先令求得，再令可求； （2）利用定义，任取，化简判断的正负可得； （3）设，可将不等式化为，解得，再利用单调性求解. 【详解】解：（1）令，得，则， 再令，得， 即，从而． （2）任取， ． ，即． 在R上是减函数． （3）由条件知，， 设，则，即， 整理，得，解得， 而，不等式即为， 又因为在R上是减函数，，即， ，从而所求不等式的解集为或． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是设，将不等式转化为，解得，利用单调性求解. 14. 已知函数． （1）若对于任意都有，且，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）时，对称中心为；时，对称中心为; （2）; （3） 【解析】 【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心； （2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值； （3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围． 【小问1详解】 ∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，时，图像的对称中心为， 时，图像的对称中心为. 【小问2详解】 ∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. 【小问3详解】 由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兵团二中2028届奥赛班加试数学试题 （24-25高一上·天津·月考） 1. 已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是___________． 2. 已知x、y满足.则的取值范围是___________． （24-25高一上・山西・期中） 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________． （2023高三一全国一专题练习） 4. 已知定义在上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则的取值范围为___________． 5. 已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为___________. （25-26高一上·江西萍乡·月考） 6. 已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． （22-23高一上·河北保定·月考） 7. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为___________． 8. 设函数，则函数的值域是____________． 9. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如．已知函数，函数，则下列命题正确的是__________． ①函数是周期函数； ②函数的值域是； ③函数的图象关于对称； ④方程只有一个实数根； 10. 某饰品店定制半径为1米，圆心角为的扇形展示台．现要在该扇形内制作一个内接矩形陈列区域，其中点在扇形的半径上，点在半径OQ上，点在扇形弧上（如图所示），在区域内摆放耳环、戒指等小件首饰．为了提升台面空间利用率，现要计算矩形ABCD的面积，则面积最大值为___________平方米． 11. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，为正实数，且的最大值等于，求实数的值. 12. 已知，，为正数，且满足，证明： （1）； （2）. 13. 已知函数满足对一切都有，且，当时有． （1）求的值； （2）判断并证明函数在R上的单调性； （3）解不等式：． 14. 已知函数． （1）若对于任意都有，且，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $