湖南省长沙市周南中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学考后针对性训练（二）

长沙市周南中学2025年下学期高二期末考试数学考后针对性训练（二） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A A B B A BD ABD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据斜率求倾斜角即可. 【详解】因为， 所以由可得， 故选：C 2．D 【分析】利用二项式定理直接列式求得答案. 【详解】的展开式中的第五项为. 故选：D 3．A 【分析】根据等差数列的下标和性质得出，再利用等差数列的前项和公式求出. 【详解】因为，所以， 由等差数列的性质得， 所以． 故选：A． 4．A 【分析】根据抛物线的概念，等于点到抛物线准线的距离求解. 【详解】因为抛物线：，所以. 所以抛物线的焦点，准线：. 如图：    过作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义，. 故选：A 5．A 【分析】求出原函数的导函数，由题意得，求出的值并验证即可得解． 【详解】将原函数求导得：， 因函数在处取得极大值，则，解得. 当时，. 令，得或；令，得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 满足题意. 故选：A． 6．B 【分析】根据空间向量共面，可得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为点在平面内，所以， 又因为 所以； 又因为点在平面内， 所以， 因为， 所以， 由空间向量基本定理得：， 解得，即， 所以， 因为两两垂直， 所以， 所以， 故选:B． 7．B 【分析】根据给定条件，利用有位置关系的排列问题，结合分步乘法计数原理列式求解. 【详解】让甲站位有种方法，再让乙丙站位有种方法，最后排余下5人，有种方法， 由分步乘法计数原理得， 所以这八位同学一共有480种站位方式. 故选：B 8．A 【分析】把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，利用导数求解函数最值，进而得到参数的范围 【详解】由题意，即， 令， 求导得， 令， 故在单调递增，且， 令，解得（舍）或， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 在处取得极小值（也是最小值）：， 所以． 故选：A． 9．BD 【分析】利用椭圆的定义可判断AC选项；利用双曲线的定义可判断B选项；利用双曲线的离心率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，则，此时，A错； 对于B选项，若为双曲线，则，， 由双曲线的定义可得，B对； 对于C选项，若，则曲线的方程为， 所以，，， 的周长为，C错； 对于D选项，若，则曲线的方程为， 所以，，， 此时双曲线的离心率为，D对. 故选：BD. 10．ABD 【分析】利用空间向量的线性运算即可判断A，利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直，即可判断B，利用空间向量法来求异面直线所成角的余弦值，即可判断C，利用空间向量法来求数量积，即可判断D． 【详解】 如图，由正方形的边长为4，，，可得： ，故A正确； 由底面，底面，则， 因为正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 即是平面的一个法向量，故B正确； 如图建立空间直角坐标系，由正方形的边长为4，，，可得： ， 则 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 当点在侧面内（含边界）运动时，可设，则 所以，故D正确； 故选：ABD. 11．ACD 【分析】利用函数的奇偶性定义判断选项A；利用导数讨论函数单调性，判断选项B；利用极值点的定义，结合正弦函数的性质判断选项C；求导，结合零点存在定理判断选项D． 【详解】选项A：， 的定义域为关于原点对称， 是定义在上的奇函数； 选项B：的导数为， 若在上单调递增，则需保证恒成立， ， 当时，的最小值为，故，解得，故； 当时，的最小值为，故，解得，故； 当时，，成立； ，故B错误； 选项C：为在上的极小值点， ，即，解得， ，， ， ，，， ， ，，故，最小值为，故C正确； 选项D：，的零点满足，即， 令， 在上，，，则无交点； 在上，，，可能有交点； 求导得， ，， 在内有两个解，， 在上，单调递减； 在上，，单调递增，故是极小值点，； 当时，，递减，，； 当时，，递增，，； 由零点存在定理可知，在和内各有一个零点，共2个，故D正确． 故选：ACD． 12． 【分析】利用导数求出该点处的切线斜率，再利用点斜式方程即可得到切线方程. 【详解】由求导可得， 则所求切线斜率为， 因此所求切线方程为，化简得. 故答案为：. 13． 【分析】先分析曲线的方程，确定其图形特征，再结合直线的方程，通过分析直线与曲线的位置关系确定实数的取值范围. 【详解】由，得，所以曲线表示双曲线的右半部分（含与轴的交点）. 联立，得，① 当，即时， 若，方程①变为，得，不符合题意，舍去； 若，方程①变为，得，满足条件. 当时，， 所以方程①有两个不等实数根，设两根为， 则， 因为直线与曲线恰有一个公共点，所以有一根满足，另一根满足， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14． 【分析】根据椭圆的参数方程设点P坐标，利用向量关系得出的表达式，进而求范围. 【详解】由可得，则， 设，由于点P与点A和点B不同，则， 则，，， 即， 上式除以再与下式相加得， 设，则， 由于，则， 则，故， 则， 故答案为：. 15．(1) (2)或 【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出. 【详解】（1）设圆的半径为，则， 故圆的标准方程为：； （2）设圆心到直线的距离为， 则， 由垂径定理得：， 即，解得：或. 16．(1) (2) 【分析】（1）由，可求数列的通项公式； （2），利用错位相减法可求. 【详解】（1），即， 当时，，解得， 当时，， 即， 又数列单调递增，所以，即， 则，，时也符合， 所以. （2）， ， ， , 解得. 17．(1)证明见解析 (2)①②存在， 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； ②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1）    取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即，平面，平面， 平面； （2）①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 因为平面，且平面， 所以平面平面， 又因为平面平面，，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的正弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意，设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得， 解得或（舍去），即. 18．(1)【小问1】 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)根据导数的意义即可求出切线斜率，代入切点及斜率，点斜式可写出切线方程； (2)分别分析的单调性，求出两个函数单调递增区间的交集即可； (3)两个函数都有两个解，但其中一个解是公共解（即两个函数图像的交点），所以合并后总共是三个不同的解。，利用公共解条件得到，可将问题转化为证明，确定公共解的范围，即可完成证明。 【详解】（1）易知，所以切点为， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为. （2）, 由于, 所以时，单调递增， 所以在上单调递增。 ，令，解得， 所以时，，所以单调递增，即在上单调递增。 又所以， 即的最小值为. （3）因为的定义域为，的定义域为， 画出两函数图象如下图所示： 由图象可知需满足方程与的解集的并集才有三个元素； 因此两个函数的两个解中有一个解是公共解（即两个函数图像的交点），所以合并后总共是三个不同的解。 因为， 所以，所以，所以或， 同理或， 因为，所以， 所以 所以，即， 可得， 因为，所以，所以， 因为是方程的正根， 令，所以当，所以， 当，因为，所以， 由连续性和单调性以及零点存在定理可得的唯一解， 所以，即，证毕. 19．(1) (2);直线： 【分析】（1）利用等差数列条件推导轨迹方程. （2）①结合直线与椭圆联立求解几何量；②利用同底，点横坐标是点横坐标的三倍求解即可. 【详解】（1）设动点，已知：，，且,,成等差数列， 由等差数列性质得：, 易得：,所以， 根据椭圆定义：，， 中心在原点，焦点在轴上， 故曲线方程为：. （2）①直线过点,，故直线方程为：， 联立：，代入消元并通分得：， 解得：，，所以点, , 故线段. ②当斜率不存在时，即，此时四点共线，不构成三角形，不符合题意. 当斜率存在时，设直线为：，，. 联立：，展开通分得：， 三角形和三角形是同底的，要使三角形的面积是三角形的3倍， 即， ，， 观察发现：，即同号，不妨设：， 代入和与积： ， ， 代入得：， 化简得：， 故方程为：. 综上：（1）曲线方程：. （2）①线段.②直线方程：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市周南中学2025年下学期高二期末考试数学考后针对性训练（二） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．过两点，的直线的倾斜角等于（   ） A． B． C． D． 2．的展开式中的第五项为（    ） A． B． C．35 D． 3．在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．若函数在处取得极大值，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 6．如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（    ）    A．4 B．2 C．3 D．不确定 7．如图所示，某学校进行“大脚板”趣味运动，需要八名同学一起团结协作，统一步调才能前进．甲同学作为队长需要喊口令，故只能站在最中间的两个位置之一，方便前后的同学都清晰地听到口令．乙、丙两位同学经验较为丰富所以站在最前或最后面，则这八位同学一共有多少种站位方式（   ） A．240 B．480 C．720 D．960 8．已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知曲线的两个焦点为、，为曲线上不与、共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为 D．若，则的离心率为 10．在四棱台中，底面，正方形的边长为4，，，则（   ） A． B．是平面的一个法向量 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．当点在侧面内（含边界）运动时， 11．设函数，其中为实数，则（    ） A．是定义在上的奇函数 B．若在上单调递增，则的取值范围为 C．若为在上的极小值点，当时，的最小值为 D．当时，在上有且仅有2个零点 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．曲线在点处的切线方程为 . 13．若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围是 ． 14．已知点A，B分别是椭圆：的右顶点和上顶点，点P是椭圆上除A，B外的任意一点，若，则的取值范围是 ． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．圆的圆心为，且过点. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交两点，且，求. 16．已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 17．如图，在四棱锥中，平面，是的中点. (1)求证：平面； (2)若. ①求平面与平面夹角的正弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知和在上均单调递增，求实数m的最小值； (3)已知方程与的解集的并集为，且，求证：． 19．在平面直角坐标系中，已知，平面内一动点满足,成等差数列，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交曲线于A，B两点. ①若点的坐标为，求线段AB的长； ②若的面积是面积的3倍，求直线的方程. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $