精品解析：新疆维吾尔自治区昌吉州2025-2026学年高一第一学期期末质量监测数学试题

昌吉州2025~2026学年第一学期期末质量监测 高一数学测试卷 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的指定位置上. 2．选择题在答题卡上用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔在答题卡相应区域内直接作答，写在试卷、草稿纸上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若的终边过点，则（ ） A. 0 B. C. D. 4. 已知为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，若命题“”是真命题，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（ ） A. 7 B. 8 C. 24 D. 40 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作为x的小数部分，记作称为小数函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 在定义域内单调递增 C. 的值域为 D. 有最小值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和表示同一个函数 D. 命题“”的否定是“” 10. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则下列选项正确的有（ ） A. 是以8为周期的周期函数 B. C. 点是函数的一个对称中心 D. 函数有4个零点 11. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴，则 C. 若，且，则a的最小值为 D. 若在区间内单调，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图像经过点，则______． 13. 已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为__________. 14. 已知函数，其中．若存在互不相等的三个实数，使得，则函数的值域为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 16. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 17. 如图，梯形是直角梯形，．记梯形位于直线左侧的图形的面积为．试求函数的解析式，并画出函数的图象． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再把所得的曲线向左平移个单位后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值； （3）若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数是偶函数． （1）求实数k的值； （2）设函数，其中．若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌吉州2025~2026学年第一学期期末质量监测 高一数学测试卷 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的指定位置上. 2．选择题在答题卡上用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔在答题卡相应区域内直接作答，写在试卷、草稿纸上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集和交集含义即可得到答案. 【详解】因为，,则， 又因为， 则. 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数，综合利用根式、分母不为0，幂指数的底数不为0的性质，得出的定义域． 【详解】需满足，分母，则，中底数不能为0，则， 且，故的定义域为，故D正确． 故选：D． 3. 若的终边过点，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用坐标求出半径，再利用三角函数的定义计算求解． 【详解】的终边过点， ， ， ，故B正确． 故选：B． 4. 已知为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义及对数不等式即可求解； 【详解】因为，所以，所以， 所以是的充分条件， 若，则成立，但无意义， 所以不是的必要条件， 综上所述，是的充分不必要条件； 故选：A 5. 已知集合，若命题“”是真命题，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，再根据集合间的关系求出参数的取值范围. 【详解】解得，所以， 因为命题“”是真命题，所以， 所以， 故选：A 6. 某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（ ） A. 7 B. 8 C. 24 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】设年平均利润为u，利用已知可表示出，利用基本不等式求出u的最大值即可. 【详解】设年平均利润为u，因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此这批机器的年平均利润值最大为8万元， 故选：B 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于，根据二倍角的余弦公式和诱导公式即可求解. 【详解】由于， 所以, 故选：B 8. 定义不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作为x的小数部分，记作称为小数函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 在定义域内单调递增 C. 的值域为 D. 有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据的定义即可判断A；举出反例可判断B；根据，结合不等式性质可判断C；利用函数的单调性可求出，即可判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由于，所以， 函数在定义域内不单调递增，故B错误； 对于C，由于，故，即， 故的值域为，C正确； 对于D，由于，故，令， 则即化为， 函数在上单调递减，故，即，D错误， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和表示同一个函数 D. 命题“”的否定是“” 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质计算判断选项A，B，利用相同函数的概念判断选项C，利用存在量词命题“”的否定命题为全称量词命题“”判断选项D． 【详解】选项A：，， ， ，即，故A正确； 选项B：若，则，此时，故不一定成立，故B错误； 的定义域为，的定义域为， 选项C：的定义域不同，故不是同一函数，故C错误； 选项D：存在量词命题“”的否定命题为全称量词命题“”， 命题“”的否定是“”，故D正确． 故选：AD． 10. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则下列选项正确的有（ ） A. 是以8为周期的周期函数 B. C. 点是函数的一个对称中心 D. 函数有4个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性结合抽象函数求出函数周期，判断选项A，B；利用对称中心的性质结合抽象函数判断选项C；利用的性质结合已知条件求出在对应区间内的解析式，把零点问题转化成函数交点问题，再结合对数函数的性质分情况讨论求出交点个数，判断选项D． 【详解】是定义在上的奇函数， ， ，关于对称， 选项A：，把替换为得， ， ，把替换为得， ，故的周期为8，故A正确； 选项B：， ， 时，， ， ，故B正确； 选项C：若点是函数的对称中心，则， ，则， ，则不是函数的对称中心，故C错误； 选项D：的零点个数即为的交点个数， 是周期为8的奇函数，且关于对称， 当时，，值域为， 当时，，值域为， 当时，，值域为； 令，则的定义域为， 当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为；如下图所示： 当时： 在内，如图所示、有一个交点； 在内，如图所示、有一个交点； 在区间内有2个交点； 当时： 在内，如图所示、有一个交点； 在内，如图所示、有一个交点； 在区间内有2个交点； 当时： 的值域为，， ，无交点； 综上，的交点个数为4，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴，则 C. 若，且，则a的最小值为 D. 若在区间内单调，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切函数的对称轴可判断B选项；利用正切型函数值的范围求出的表达式，结合赋值法可判断C选项；利用正切型函数的单调性可求出的取值范围，结合可得出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的最小正周期为，故，A对； 对于B选项，由A选项可得， 则 因为直线是图象的一条对称轴， 令，，解得，， 因为，所以或，故B不正确； 对于C选项，，则， 所以，则， 即，所以， 解得：，， 因为，所以的最小值为，故C正确 对于D选项，若在区间内单调， 由可得， 所以，， 则，，即，， 记，，则， 所以的取值范围，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图像经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数的解析式利用待定系数法求出函数解析式，最后求出函数值. 【详解】设幂函数的解析式为，将点代入函数解析式得， 即，解得，所以幂函数的解析式为， 所以， 故答案为：. 13. 已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长，面积公式计算即可求解. 【详解】由题意，圆心角，弧长， 由弧长公式，得扇形的半径， 则扇形面积. 故答案为： 14. 已知函数，其中．若存在互不相等的三个实数，使得，则函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和绝对值函数的性质，结合题意，可得，可得m的范围，再根据二次函数的性质，可求得答案 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增， 因为，所以图象为“V”形形状， 因为存在互不相等的三个实数，使得， 所以，即， 解得或（舍）， 因为，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增， 所以，即的值域为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）运用分数指数幂的运算即可得解； （2）运用对数运算的性质以及换底公式，即可得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）2（2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角正弦公式结合，对原式化弦为切，进而求解； （2）利用已知条件求出，再利用两角差的正切公式计算求解． 【详解】（1），， ． （2）， ， ， ，解得， ，， ， ． 17. 如图，梯形是直角梯形，．记梯形位于直线左侧的图形的面积为．试求函数的解析式，并画出函数的图象． 【答案】， 【解析】 【分析】分，以及讨论并写成分段函数形式即可. 【详解】当时，设直线与线段分别交于点， 因为，则， 设直线的方程为，代入得， 则直线的方程为，则， 此时. 当时，设直线与线段分别交于点， 则，，， 则， 当时，此时. 则函数的解析式为. 作出函数图象如下： 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再把所得的曲线向左平移个单位后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值； （3）若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为 （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）先将化为标准正弦型函数，再结合正弦函数性质计算周期与单调区间； （2）根据图像变换求得，结合正弦函数的图像与性质即可求出值域； （3）不等式在区间上恒成立，等价于，结合（2）可得，解不等式即可求解. 【小问1详解】 函数， 所以的最小正周期， 令， 解得：， 所以的单调递减区间为 【小问2详解】 把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，得到， 再把所得的曲线向左平移个单位后得到函数， 当，则, 所以当时，即时，， 当时，即时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为 【小问3详解】 不等式在区间上恒成立，等价于， 由（2）可得在区间上的最大值为， 所以，即， 解得：或 所以实数m的取值范围为 19. 已知函数是偶函数． （1）求实数k的值； （2）设函数，其中．若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质即可求出答案； （2）令，题目等价于在上只有一解，讨论，和三种情况即可求解. 【小问1详解】 ∵是偶函数， ∴对任意恒成立， 即：恒成立，即， 由于，故， ∴. 【小问2详解】 由题意知，则恒成立， 令，即， 即，则，即， 令，则，即 因而函数与的图象有且只有一个公共点， 等价于关于的方程在上只有一解， ①当时，解得，符合题意； ②当时，记，其图象的对称轴， ，此时要满足题意只需，即， 即，解得，或（舍）； ③当时，，其图象为开口向上的抛物线，对称轴， 由于，此时必有一正实数根，符合题意 综上所述，所求的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $