广东省华附、省实、广雅、深中2026届高三上学期四校联考数学试题

华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考 数学参考答案及评分标准 题号 1 2 3 5 7 8 9 10 11 答案 B 日 D A C C BCD AD ABD 13后 15解：D因b+c=2acof-C=2acor3cosC+sinCsin)-5asmC+cs,l分 由正弦定理和两角和正弦公式得：sinB+sinC=√5 sin AsinC+sin AcosC,2分 又因为sinB=sin(A+C)=sin A cosC+cos AsinC,所以cos AsinC+sinC=√5 sin AsinC,.4分 因为sinC>0,所以cosA+1=BsnA,即sin(4-）=) 5分 由0<A<元得-工<A-正<匹，则4-=天，所以A= 6 66 66 3 6分 (法=：4+1-5sn4即2as25mos号 2, 因为0<号←受所以cos>0,所以cs号=5sin子所以an子 5分 23 所以_工，即A=: 26 3 …6分） (2)因为点D为BC中点，且AD=3√5， 在△1C,a=6:Qm分-6即=6心-6.8分 在△ABD和aACD中，cos∠ADB=-cos∠ADC,即D+BD_C=-4D+CD_，9分 2AD·BD 2AD.CD 化简得b2+c2=72,10分 所以bc=b2+c2-36=72-36=36, 1分 故S.c=)besin4=)x36×sn5=95,所以△ABC的面积为95.13分 2 16.解答：(1)连接O,E,EO2,OO2,平面E0,O即为所求作的平面a,…2分 证明如下： 在圆台OO2中，O,O2⊥面CBA,BCc面CBA,.O,O2⊥BC,3分 E为劣弧BC中点，OE为圆O3的半径，.O2E⊥BC,…4分 数学参考答案第」页共8页 又OO∩O2E=O2,O,02,O2Ec平面00E,.BC⊥平面002E,5分 又，BCC平面BCC,.平面O,OE⊥平面BCC,6分 (2)延长AA,CC交于点D,故D∈AAC平面ABA,D∈CC,C 平面CCB,故平面AAB∩平面CCB=BD,BD即1,7分 在△ACD中，DC,DA,DB均为圆锥母线 由AC=2A4=2AC,=4,得DC=2CC,BC=2V5 故D03=2V5.…8分 以O2为原点，O,B,OC,O,0方向为x,y,轴正向建立空间直角坐标系， C(0,2,0),B(2,0,0),D0,0,23),A0l√3，C0,1 A4=(0,1,5),AB=(2,2,0,C℃0，-l3,BC{-2,2,g,BD=(-2,0,25).9分 设B0=1BD(1∈R且元≠1)，则CO=B0-BC=1B0-BC=(-21+2,-2,2√5)，10分 将A4,CQ平移至平面B,设平面B的法向量平面n=(x%,) n.A4=0m∫%+5=0 则 即 取n=(N3(2+),V31-),-1)11分 n.C0=0x,(2-2)-2y,+251:。=0 AC.n AC=(0,4,0),则异面直线CQ与AA的距离d为AC在n上的投影向量的长度即 AC.n 则d= =45. 1- V72-21+7 .12分 451 令1=1-，则d=7m-121+12 当1=0时，元=1，此时CQ与AA相交，不为异面直线（舍)：13分 45 43 0<d= ≤23 当1≠0时， 1212 +7 122 +4 14分 当且仅当元=-1，异面直线C0与A4的距离有最大值2515分 数学参考答案第2页共8页 17.解：(1)从5个球中抽2个，即C?=10种 抽2个红球：C=1种，概率为 10 分 抽2个黑球：C=3种，概率为。： 10 2分 63 抽1红1黑：C2×C=6种，概率为日=二 105 3分 设奖金为随机变量X, 则期望E(X)=300x 3 +200× 10 +100×5 10 则E(X)=30+60+60=150(元）.5分 2》4(第1次软第1份礼第1次拍红球。质幸号，此时箱内变为4墨2红。 第2次未获礼品：抽黑球（放回，箱内仍为4黑2红），概率二 6 B,(第3次获第2份礼品)：第3次抽红球，概率2 2424 因此P(AB)=三×二×2= 56645 6分 AB(第2次获第1份、第3次获第2份)： 第1次抽黑球（放回，箱内3黑2红），概率 第2次抽红球（箱内变为4黑2红），概率 2 2 第3次抽红球，概率三： 6 3222 故P4B,)=亏×等×625 7分 B,包含“第1次获第1份、第3次获第2份”和“第2次获第1份、第3次获第2份”， 4,238 即P(B)=P(AB)+P(AB)= 4525225 8分 2 则P(AIB)= P4B)-25=9 P(B)3819 10分 225 (ⅱ)设第k(k≥2)位顾客恰好获得第2份礼品的概率为P(k), 若第k名顾客抽取了第2份奖品，设前面(k-)名顾客中第1≤i≤k-L,k,i∈N)名顾客抽取到了 数学参考答案第3页共8页 第1份奖品，则前面行-)名顾客中无人获得奖品，其概率为（白一，分 2 第1名顾客只获得一份奖品，其概率为 5 第行+)名顾客到第(k-)名顾客都没有获得奖品，其概率为（后）-， 12分 所以第k名顾客抽取了一份奖品的概率为 21 33- Ph=xx白-x)=x,xG2×∑Cx 53 5^21 .13分 9 1-( )-1 10’ 14分 5 10 故：P)=2--] 15分 3 18、D设C号茶=1h>0b>0,右焦点Fe0),则点F到其浙近线y=±乡x即r士am0 bc_=c=b,故b=5①， 的距离为云+b 】分 2分 ①代入②，得a=1, 3分 故双曲线C的方程为：x_上=1. 3 4分 (2)(i)F(2,0),当直线AB的斜率不为0时，设AB:x=my+2,与C:3x2-y2=3联立， 得(3m2-1)y2+12y+9=0(1分给分点)，则32-1≠0，△=36(m2+)>0恒成立，5分 设4)，B(),则+y=-2m 9 3m'43 2 6m ⊙M的圆心即AB的中点M 3m2-13m2-1 6分 由弦长公式，得 4B=+m)儿+)厂-4y] 12m 36 6(m2+1 1+m 3m2-1 3m2-1 3m2-1 则M的半径r= 3m2+3 3m2-1 7分 数学参考答案 第4页共8页 (以下步骤，酌情按证法一、证法二给分) 证法一：⊙M的方程为： +2+)》 8分 解得：x=-1,x2 3m2-5 3m2-1 9分 故oM与x轴交于P(-1,0),g3m- 3m2-1' 0两点 10分 而当直线AB的斜率为0时，⊙M:x2+y2=1也经过定点P(-1,0)(1分给分点)： 综上，⊙M恒过定点P(（-1,0).11分 证法二：当直线AB的斜率为0时，⊙M,:x2+y2=1:当AB的斜率不存在时，⊙M2:(x-2)+y=9 (注：只要写对其中一个圆方程就给1分)8分 因为⊙M与⊙M,内切，它们有唯一的公共点P(-1,0), 由此猜想：⊙M恒过定点P(-1,0)(1分给分点)，下面给予证明.9分 故PAPB=(x+)(:+)+乃=(y+3(%2+)+⅓{h+)片3+3中y+生+ =+”n(）9499少0 3m21 则PA⊥PB即∠APB=90°，故以AB为直径的⊙M恒过定点P(-1,O).1I分 ()根据直线AB的斜率为0与AB的斜率不存在，这两种特殊情形时⊙M的方程，结合对称性， 猜想：存在定圆（设为⊙N)的方程为(x-3)+y2=4(2分给分点），下面给予证明.13分 2 3m2+3 由(i)知，⊙M的圆心M 6m 3m2-13m2-1 半径r=3m-可 而⊙N:(x-3)'+y2=4的圆心N(3,0),半径为2：所以⊙M与⊙N的圆心距 6m 9n2+1 3m2-1 14分 @当3m->0即m3时，OM与ON的半径之和+号+之9r+自W 3 3m2-1 此时，⊙M与⊙N外切.…15分 数学参考答案第5页共8页 ②当m-1<0即m<5时，0M与0N的半径之差的绝对值片-5 3m2+3 2 9mi2+↓=M, 3 1-3m 1-3m2 此时，⊙M与⊙N内切 l6分 综上所述，存在定圆⊙N:(x-3)+2=4与⊙M相切.17分 说明：若设直线AB的方程为AB:y=k(x-2),则只要将上述解答过程种的m用 代，氯能舟到相 应的运算结果，注意要讨论直线AB的斜率不存在的情况，阅卷时请参照上述评分标准相应给分即可. 19.(1)f)=(x+1)In(x+1)-asinx ,(x)=In(x+1)+1-acosx, 了”()=+asin,(注：以上求导只要对-个就给1分) x+1 1分 ①当a<0时，因为x∈(0，π)，所以(x+l)ln(x+l)>0,asinx<0,故f(x)>0恒成立，此 时，f(x)在区间(0，π)内无零点.…2分 ②当0≤a≤1时，因为x∈(0，π)，所以f"(x)>0,则f'(x)单调递增， 故f'(x)>f'(0)=1-a≥0，则f(x)单调递增，故f(x)>f(0)=0, 此时，∫(x)在区间(0，π)内无零点.3分 ③当a>1时，因为x∈(0，π)，所以f"(x)>0,则f'(x)单调递增， 因为f0-=1-a<0,f}=1+n行+小>0， 所以存在唯一的0习使得(，)=0 4分 当x∈(0，)时，f'(x)<f'(xo)=0,f(x)单调递减： 当x∈(xo,π)时，f'(x)>f'(x)=0,f(x)单调递增 因为f(0)=0,所以f(x)<f(0)=0,又f(π)=（π+）ln(π+I)>0, 故f(x)在区间(0，π)内只有1个零点x,且x∈(x,π) 5分 数学参考答案第6页共8页 综上所述，当a≤1时，f(x)在区间(0，π)内的零点个数为0： 当a>1时，f(x)在区间(0，元)内的零点个数为1.…6分 2)不等式/(-)+amse台oa)=-[x-sn(x-l]a+nxe“s0. 则3a∈[0，小，使得p(a≤0，转化为p(amn≤0.7分 因为x∈(1，+o),所以x2-sin(x-l)≥x2-1>0,则p(a在a∈[0，刂上单调递增， 故(o)n=po)=xnx-e≤0，转化为xnr≤c“对xe(化+切)恒成立.8分 即x2.lnx2≤br-e,即lnx2.enr≤brex(*)对x∈(1，+oo)恒成立，9分 因为当x>1时，nx2>0,所以bx>0 构造函数h(x)=xe(x>0),则h(x)=(x+l)e*>0,故h(x)在(0，+∞)上单调递增. 不等式(*)等价于h(lnx2)≤h(bx),则lnx2≤bx,10分 分参，得b≥2nx=m()对x∈山，+o)恒成立，转化为b≥m() m(x)=20-n）,令m()=0,得x=e.…1分 x2 当x∈(1，e)时，m'(x)>0,m(x)单调递增：当xe(e,+o)时，m'(x)<0,m(x)单调递减 故m()=m(e)=2,故b的取值范围是 12分 e (3)方程f(x-1)=(x+1)lnx-2ax(a>0)代入有 xlnx-asin(x-1)=(x+I)lnx-2ar即2ar-asin(x-l)=lnx有两个不相等实根x,x2, 不妨设x<,则有2a(x-x)-a[sin(-1)-sin(化2-1)]=lnx-ln为3，l3分 数学参考答案第7页共8页 构造函数g(x)=sin(-1)-x,则g(x)=cos(x-I)-1≤0，则g(x)在R上单调递减， 故g(x)>g(2），得sin(x-1)-Sin(2-1)>x-x.l4分 nx-lnx<2a(6-)上a6-x)ak-),即-< In x-Inx2 a 15分 压>n， 则只要证1->2n1>) 16分 度0-2>.则F0-=1+日-号0少，0 故当1>1时，下()单调递增，故F()>F()=0,则1->21n1(>),得证： 品片做行 7分 数学参考答案第8页共8页华附、省实、广雅、深中2026届高三年级四校联考 数学 命题学校：广东广雅中学定稿人：黄淑珍胡玲 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.已知集合A={xx≤2}，B={xI3-1<1},则A∩B= A.[-2,2] B.[-2,1] C.(-2,1) D.(1,2) 2.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，若s,t,p∈N+,则2a,=a,+a”是21=s+p”的 A.充分不必要条件B.充要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 3.随着生活水平的不断提高，旅游己经成为人们生活的一部分某地旅游部门从2025年到该地旅游的游客 中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的游客比例，如下图 所示，则估计2025年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 个自助游比率/% 青年人 30 老年人 20% 20 中年人 35% 0老年人中年人青年人年龄段 A.45% B.30% C.13.5% D.13% 4.有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有 A.48种 B.12种 C.36种 D.24种 5.任意一个复数z=a+bi(a,bER)都可以表示成三角形式，即a+bi=r(cos0+isin0)(0ER,r≥0).法国 数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数z1=r1(cos0,+isin0),22=r2(cos02+isin02),则z1z2= feos(0+)+sin(0,+8],已知复数E=号-9i.则：= A-7-91 B.-3+9 21 C. D.-1 6.设动直线1：x-y-2m+3=0(m∈R)交圆C:(x-4)2+(y-5)}=12于A,B两点（点C为圆心），当 ∠ACB最小时其余弦值为 A B. c D. 6 高三数学第1页共4页 7.己知函数f(x)=e-2m,g(x)=x2-x,g(x)在点(m,0)处的切线与曲线y=f(x)也相切，则实数m 的值为 A.1 B.-1 C.-2 D.2 8.己知数列{a满足a,=nn一2，则关于{a}说法正确的是 n A.无最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.有最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知二项式(a2+(其中aER,n≤8，n∈N)的展开式中存在常数项，则下列说法正确的是 A.n的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素 B.若当n取最大值时常数项为30，则a=士√2 C.若当n取最小值时函数f)=(@m+)的图象在点(1，f)》处的切线与x轴平行，则a=号 D.若二项展开式中的所有项的系数和为0，则a=-1 10已知0为坐标原点，椭圆G:若+希=1o>6>0)的长轴长为4，离心率为9，过抛物线C:=4红 的焦点F作直线I交抛物线于A,B两点，连接AO,BO并分别延长交椭圆C于M,N两点，则下列结论 正确的是 A.椭圆C的方程为若+r=1 B.若AF=2FB,则|AB=4 C.若直线OM,ON的斜率分别为k,,则k=- D.OMP+ONP=5 11.在棱长为a的正四面体ABCD中，P,Q分别为棱AB和CD(包括端点)的动点，直线PQ与平面ABC、平 面ABD所成角分别为a,B,则 A.点Q到平面ABC和平面ABD的距离之和是定值 B.sina-sinB的正负由点Q位置确定，与点P位置无关 C.sina+simB的最大值为4y3 3 D.正四面体顶点在球O的球面上，当CQ=子CD时，则过点Q截球0的截面面积最小值为3C 16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等比数列{a}的前n项和为Sn,且S,2S,3S3成等差数列，则数列{an}的公比为 13.已知函数f()=(W3simr+cos)osr-,若f,)在区间[-，m网上的值域为[-之，，则实数m的 取围是一 14.已知函数f(x)的定义域为(0，受)，且满足f()=e,f6x)≥(1-m)fx),则f(号)的最小值为 高三数学第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.在△4BC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知a=6,2acos(于-C)=b+c (1)求角A的大小： (2)若D为BC的中点，且AD=3√3，求△ABC的面积 16.如图，圆台O,O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1,AC=2AA1=2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的任 一点 (1)若劣弧BC中点为E(如图1)，过点E作出平面a⊥平面BCC1,请说明平面a的作法，并证明平行：a ⊥平面BCC1; (2)现定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交点所 形成的线段叫做两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直的距离， 当B为半圆弧AC的中点（如图2）所示，设平面A1AB∩平面CCB=I,Q∈1，求异面直线CQ与A1距离 的最大值 C O E 图1 图2 高三数学第3页共4页 17.(15分)某商场为庆祝元旦，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其 中3个黑球和2个红球 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 (1)消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖 金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； (2)若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一位抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖 箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中， 无奖励：若取出红球，则将球放回后再往盒子中加1个黑球，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在 前一位抽奖后的箱中继续抽奖该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖 设“第ⅰ个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件A1,设“第j个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼 品”记为事件B (①求P(AB)和P(AIB); ()求第k(k≥2)位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率P(k) 18己知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于2，右焦点F到其渐近线的距离等于√5 (1)求双曲线C的方程； (2)经过点F的直线I与双曲线C交于A、B两点，以AB为直径的圆记作⊙M. (①)求证：⊙M恒过某个定点，并求出此定点的坐标； ()是否存在某个定圆与⊙M相切，若存在，请求出此定圆的方程，若不存在，请说明理由. 19.已知函数f(x)=(x+1)ln(x+1)-asinx(a∈R) (1)讨论函数f(x)在区间(0，π)内的零点个数； 2)若3a∈[0,1]，使得f(x-1)+a2≤)e对x∈(1，+m)恒成立，求实数b的取值范围： (3)若方程f(-)=(+1x-2am(a>0)有两个不相等的实根，，求证：<寻 高三数学第4页共4页