寒假巩固作业12分式方程2025-2026学年人教版数学八年级上册

寒假巩固作业12分式方程 1．在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是判断方程中分母是否含有未知数． 逐一分析每个方程，判断分母中是否含有未知数，统计满足分式方程定义的个数． 【详解】解：：分母为，不含未知数，不是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母为（常数），不含未知数，不是分式方程． 综上，分式方程共3个． 故选：B． 2．下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义是分母中含有未知数的方程，据此逐一判断各方程是否符合条件． 【详解】解： ∵方程① 的分母含有未知数， ∴ ①是分式方程； ∵ 方程② 的分母是常数， ∴ ②不是分式方程； ∵ 方程③ 的分母 都是常数， ∴ ③不是分式方程； ∵ 方程④ 的分母含有未知数， ∴ ④是分式方程． ∴ 是分式方程的是①④， 故选：A． 3．下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解：由分式方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的方程是分式方程， 故选：D． 4．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握分式方程的定义是关键；分式方程是指含有分式的方程，一般指分母中含有未知数的方程．选项B的分母均为常数，因此不是分式方程． 【详解】∵ 分式方程需满足分母中含有未知数， A、分母为x，含未知数，是分式方程； B、分母为3、4、5，均为常数，不含未知数，不是分式方程； C、分母为，含未知数，是分式方程； D、分母为x和，含未知数，是分式方程． ∴ 不是分式方程的是B． 故选B 5．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题关键． （1）（2）均按照解分式方程的方法求解即可，分式方程求解完需检验． 【详解】（1）解：方程两边同乘，得， 解得， 检验，当时，， 所以原分式方程的解为； （2）解：整理得， 方程两边同乘，得， 解得， 当时，，， 故原方程无解． 6．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程． （1）去分母，移项，合并同类项，化系数为1，再检验即可求解． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，再检验即可求解． 【详解】（1）解： 检验：当时，， 故是分式方程的解． （2）解： ， 检验：当时，， 则原分式方程无解． 7．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是把分式方程转化为整式方程，最后注意检验． （1）方程两边先同乘，再解方程，最后注意检验； （2）方程两边先同乘，再解方程，最后注意检验． 【详解】（1）解：； 方程两边同乘 ，得 检验：当时，， 是原方程的解； （2）原方程可化为 方程两边同乘，得 解得： 检验：当时，， 所以是原方程的增根， 原方程无解． 8．解分式方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）方程两边同乘，将分式方程转化为整式方程，求解并检验即可； （2）方程两边同乘，将分式方程转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． （2）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 9．已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的解法．解分式方程得到 ，根据解是非负数且分母不为零的条件，得到的取值范围即可． 【详解】解：，且 ， ∴ 方程化为 。 两边同乘得到，， 解得， ∵ 解是非负数， ∴ ， 即 ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴n的取值范围是且， 故选： A 10．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，解一元一次不等式，先化简分式方程，求解得到关于的表达式，然后根据解为正数及分母不为零的条件列不等式求的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘（其中），得， 整理得， 当，即时，方程无解，即此时原方程无解，不符合题意； 当，即时 解得， ∵原方程的解为正数，即， ， 解得， ∵，即， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 11．小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是 ． 【答案】2 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．设△表示的数为a，则方程为，通过解分式方程，得到用a表示的x的值，由方程无解得到当时，，即，求解即可． 【详解】解：设△表示的数为a，则方程为， 两边同乘，得， 解得． ∵方程无解， ∴其增根， 故， ∴， ∴△处的数应是2． 故答案为：2． 12．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程解求参数的取值范围，求不等式的解集，以及分式有意义的条件． 先求解分式方程，得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零，得到m的取值范围． 【详解】解：∵， 两边同乘， ∴， 化简：， 移项：， ∴， ∴， ∵解为正数，即， ∴，即， ∵分母不为零：， ∴，即， 综上，且， 故选C． 13．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，无解的意义，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．转换为整式方程，解方程即可； 【详解】解： ， 去分母，得， 整理，得， 当，时，原方程有增根，即方程无解， 解得， 当时，， 解得； 故答案为：． 14．已知分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程无解问题，解题关键是熟练掌握解分式方程． 分式方程无解需考虑整式方程的解使分母为零的情况，通过求解整式方程，并令解为分母为零的值，即可得解． 【详解】解： 两边同乘，得， 即， ， 解得， 分式方程无解， ，即， ， 解得． 故答案为：． 15．若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解问题，掌握增根是使分母为零的根是解题关键． 将分式方程转化为整式方程求得，再由增根得出，从而求m． 【详解】解： 方程两边同时乘得，， 解得：， 方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：D． 16．已知是关于的方程，若方程有增根，方程的增根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是使分式方程分母为零的根，据此解答即可求解，理解增根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程有增根， ∴或， 解得， ∴方程的增根为， 故答案为：． 17．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列分式方程，根据题意，规定时间为天，慢马送信时间为天，快马送信时间为天，利用速度关系列方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天． ∴慢马速度为里/天，快马速度为里/天． ∵快马速度是慢马速度的倍， ∴． 故选：A． 18．某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗．已知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天．若这批黄花菜幼苗的总数为4000株．设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系是解决本题的关键． 先根据题意可得机器每天移栽幼苗株，再根据总幼苗为4000株，分别表示人工和机器所需天数，最后根据人工移栽比机器移栽多用3天列方程即可． 【详解】解：∵人工每天移栽幼苗株， ∴机器每天移栽幼苗株， ∵总幼苗数为4000株， ∴人工移栽所需天数为天，机器移栽所需天数为天， 根据题意，人工移栽比机器移栽多用3天， ∴， 故答案为：． 19．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的长度比原计划增加，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列分式方程． 根据题意，实际每天修建速度比原计划快，则实际每天修建道路为米，原计划天数减去实际天数等于提前的2天，由此列方程即可． 【详解】解：设原计划每天修建道路米，则实际每天修建道路为米， ∴原计划所需天数为天，实际所需天数为天， ∵提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 20．无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势某物流园区使用辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是名快递员平均每天配送包裹数量的倍．要配送件包裹，使用辆无人配送车所需时间比名快递员同时配送所需时间少天，若设名快递员平均每天可配送包裹件，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意是解答的关键． 设1名快递员平均每天配送包裹件，则1辆无人配送车平均每天配送包裹件；分别表示出无人配送车和4名快递员配送6000件包裹所需时间，根据“使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列方程即可． 【详解】解：设1名快递员平均每天可配送包裹件，则1辆无人配送车平均每天配送包裹件；配送6000件包裹，1辆无人配送车所需时间为天，4名快递员同时配送所需时间为天； 根据题意，得． 故答案为：． 21．用电脑程序控制小型赛车进行100米比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车都进入了决赛，在比赛前的练习中发现：“畅想号”比“和谐号”每秒多跑1米，并且“畅想号”跑80米的时间刚好与“和谐号”跑70米的时间相等．假设两车一直都是匀速行驶． (1)求“和谐号”的平均速度； (2)比赛时，若“畅想号”让“和谐号”先跑2秒，最终哪辆赛车能赢得比赛？请说明理由． 【答案】(1)“和谐号”的平均速度为7米/秒 (2)“和谐号”能赢得比赛，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）设“和谐号”的平均速度为x米/秒，则“畅想号”的平均速度为米/秒，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）分别求出“和谐号”和“畅想号”到终点需要的时间，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：设“和谐号”的平均速度为x米/秒，则“畅想号”的平均速度为米/秒， 由题意可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故“和谐号”的平均速度为7米/秒； （2）解： “和谐号”能赢得比赛，理由如下： 2秒后“和谐号”离终点还有（米）， ∴“和谐号”到终点还需（秒）， 而“畅想号”到终点需（秒），且， ∴“和谐号”能赢得比赛． 22．【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 【答案】（1）①：第一组平均攀登速度为第二组为；②：第二组的平均攀登速度为 ；（2）第二组先到达顶峰 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式的混合运算： （1）①通过设未知数列方程求解；②通过时间差公式推导； （2）通过计算总时间并比较大小判断 【详解】解：（1）①设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 即 解得 答：第一组平均攀登速度为，第二组为 ②设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 解得 所以第二组的平均攀登速度为 解：（2）第一组总时间 第二组总时间 ∵ ， ∴，且, ,， ∴，即 ∴第二组先到达顶峰 答：第二组先到达顶峰 23．小华和小明同时从甲地沿同一路线步行去相距的乙地．小华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；小明全程的平均行走速度是，且． (1)通过计算说明：两人___________先到达乙地；（选填“小华”或“小明”） (2)二人改变行走方式，小华仍按两个半段路匀速行走，前半段速度不变，后半段速度变为，小华走完前半段时，小明骑自行车开始从甲地出发，平均骑行速度为，结果小明比小华提前40分钟到达乙地，求的值． 【答案】(1)小明 (2)4 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，以及找到等量关系建立分式方程． （1）先表示出小华和小明的时间，然后作差，进行分式的减法计算，再判断差值的正负即可； （2）小华前半段用时小时，后半段用时小时，则总用时为小时；再表示出小明总时间（从小华出发开始时计时）为小时，然后根据“小明比小华提前40分钟到达乙地”建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，前后半段路程为 则小华的时间为：； 小明的时间为：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小明先到达乙地， 故答案为：小明； （2）解：分钟小时，前后半段路程为 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：的值为4． 24．【数学与生活】清明节期间，某校组织八年级的学生去距学校12千米的烈士陵园扫墓，并开展爱国主义教育活动，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求骑自行车学生的速度． 【学以致用】 (1)设骑自行车学生的速度为千米/时，用含有的式子表示： ①汽车的速度为______千米/时； ②骑自行车学生总共用的时间为______小时，乘汽车的学生总共用的时间为______小时． (2)请列分式方程，并求出骑自行车学生的速度． 【答案】(1)①；②, (2)16千米/时 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意不要忘记检验．（1）①设骑车学生的速度为x千米/小时，根据汽车的速度是骑车学生速度的3倍，可得出答案；②用代数式分别表示出骑车学生总共用的时间及乘汽车的学生总共用的时间分别为；，； （2）根据题意可得等量关系：骑自行车同学所用时间-乘汽车同学所用时间=30分钟，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：①设骑车学生的速度为x千米/小时， 根据汽车的速度是骑车学生速度的3倍，得出汽车的速度为千米/小时， 故答案为：； ②根据题意，可得骑车学生总共用的时间为小时， 乘汽车的学生总共用的时间为小时． 故答案为：，； （2）解： 由题意得：， 解得， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， ∴原方程的解为． 答：骑车同学的速度为16千米/小时． 25．为了美化小区生活环境，物业部门准备开展植树活动． 现有甲、乙两个植树队，甲队每天植树棵，乙队比甲队每天多植树20棵． (1)若甲队植树1000棵与乙队植树1200棵所用的时间相等，求x的值； (2)现让甲队完成植树160棵的任务，乙队完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲、乙两队完成各自的任务所需要的天数 ； ②通过计算说明哪队完成任务所需时间更少． 【答案】(1) (2)①；②甲队完成任务所需时间更少，计算见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）乙队每天植树棵，根据甲队植树1000棵与乙队植树1200棵所用的时间相等建立方程求解即可； （2）①用任务总量除以每天植树的数量即可得到答案；②根据（2）①所求，利用作差法求出两队所需时间的差值，判断出结果的符号即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； （2）解：①由题意得，甲完成任务所需要的天数为，乙完成任务所需要的天数为； ② ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴甲队完成任务所需时间更少． 26．甲、乙两个工程队分别完成72千米的道路施工任务．甲队计划前36千米按每天施工a千米完成，剩下的36千米按每天施工b千米完成；乙队计划一半的时间每天施工a千米，另一半的时间每天施工b千米．（已知） (1)当时，甲队恰好6天完成任务，求a的值； (2)如果按照各自施工计划，甲队和乙队谁更早完成施工任务？请说明理由． 【答案】(1)9 (2)乙队更早完成施工任务，见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及分式的加减法等知识，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程． （1）根据“队计划前36千米按每天施工a千米完成，剩下的36千米按每天施工b千米完成；”列出方程，即可求解； （2）设乙队完成施工任务需要的时间为天，根据乙队计划一半的时间每天施工a千米，另一半的时间每天施工b千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得： 又因为， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 即a的值为9； （2）解：乙队更早完成施工任务，理由如下： 由题意可知，甲队完成施工任务需要的时间为天， 设乙队完成施工任务需要的时间为天， 由题意得：， 解得：， ， 且，，， ， ， 乙队更早完成施工任务． 27．在暑假期间，学校安排了甲、乙两人对学校的建筑外墙进行粉刷维修，以新的面貌迎接学生返校．已知乙每天比甲多粉刷20平方米，甲粉刷3天和乙粉刷2天共粉刷外墙面积为140平方米． (1)求甲、乙两人每天粉刷量分别是多少平方米？ (2)学校将480平方米的粉刷量承包给甲、乙两人分别完成，每人一半，两人的积极性大增，每天都增加了粉刷量．若乙每天增加粉刷量是甲每天增加粉刷量的2倍，两人共计12天完成任务，求甲每天增加的粉刷量． 【答案】(1)甲每天粉刷20平方米，乙每天粉刷40平方米 (2)甲每天增加的粉刷量为10平方米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用． （1）设甲每天粉刷x平方米，则乙每天粉刷平方米，根据“甲粉刷3天和乙粉刷2天共粉刷140平方米”列出一元一次方程，求解即可； （2）设甲每天增加粉刷量为a平方米，则乙每天增加粉刷量为平方米，根据“两人工作天数之和为12天”列出分式方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲每天粉刷x平方米，则乙每天粉刷平方米， 根据题意，得： ， 解得： ， 所以甲每天粉刷20平方米，乙每天粉刷平方米。 答：甲每天粉刷20平方米，乙每天粉刷40平方米； （2）解：学校将480平方米的粉刷任务平均分给甲、乙两人，每人负责240平方米， 设甲每天增加粉刷量为a平方米，则乙每天增加粉刷量为平方米， 增加后，甲每天粉刷平方米，乙每天粉刷平方米， 根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：甲每天增加的粉刷量为10平方米． 28．某市需要铺设一段排水管道，甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天．现安排两队合作完成此项工程． (1)若两队合作施工，多少天可以完成？ (2)实际施工中，甲队先单独工作若干天后，乙队加入，两队再共同工作天恰好完成任务．求甲队先单独工作了多少天？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】本题考查了工程问题的应用，核心是利用“工作效率工作时间工作量”的关系，通过设未知数建立方程求解．熟练掌握工作效率、工作时间与工作量的数量关系是解题关键． （1）先确定甲、乙两队的工作效率，再根据“两队合作的工作量之和总工作量”列方程求解合作完成时间； （2）先设甲队单独工作的时间，再结合“甲单独完成的工作量两队合作完成的工作量总工作量”列方程求解． 【详解】（1）解：甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天， 甲施工队每天完成，乙施工队每天完成， 设两队合作施工天可以完成， 则， 解得：， 答：若两队合作施工，天可以完成． （2）解：由（1）得，甲施工队每天完成，乙施工队每天完成， 设甲队先单独工作了天， 则， 解得：， 答：甲队先单独工作了天． 29．湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，已知“超超”的购进单价是“湘湘”购进单价的倍，且用元购进吉祥物“超超”的数量比用元购进吉祥物“湘湘”的数量少个． (1)该商店“湘湘”和“超超”的购进单价各为多少元？ (2)现该商店准备再购进“湘湘”和“超超”共件，如果要使得总费用不高于元，那么“湘湘”至少要购买多少件？ 【答案】(1)“湘湘”的购进单价为元，“超超”的购进单价为元； (2)“湘湘”至少要购买件． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店“湘湘”的购进单价为元，则“超超”购进单价为元，根据“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少个，列出分式方程，解方程即可； （2）设“湘湘”至少要购买件，则“超超”购买件，根据总费用不高于元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店“湘湘”的购进单价为元，则“超超”购进单价为元， 据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：“湘湘”的购进单价为元，“超超”的购进单价为元； （2）设“湘湘”购买件，则“超超”购买件， 据题意得：， 解得：， 答：“湘湘”至少要购买件． 30．汗水挥洒赛场，激情点燃初冬．“和平杯”2025年长郡教育集团教职工篮球赛如期举行．某校为比赛做准备，在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球共花费了480元，购买B品牌篮球共花费了1120元，且购买B品牌篮球数量是购买A品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． (1)购买一个A品牌篮球、一个B品牌的篮球各需多少元？ (2)为将这一运动拼搏精神传递给学生，该校继续组织学生篮球赛，学校决定再次购进A，B两种品牌篮球共40个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过5076元，那么该校此次最多可购买多少个A品牌篮球？ 【答案】(1)购买一个A品牌篮球需120元，一个B品牌篮球需140元 (2)该校此次最多可购买30个A品牌篮球 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的应用是解本题的关键． （1）设购买一个A品牌篮球需x元，则购买一个B品牌篮球需元，再结合“购买B品牌篮球数量是购买A品牌篮球数量的2倍”这一关系列出分式方程求解即可． （2）设该校此次可购买m个A品牌篮球，则购买B品牌篮球个，再结合两种品牌篮球售价的调整情况以及总费用不超过5076元列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌篮球需x元，则购买一个B品牌篮球需元． 根据题意可列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 则（元）， 答：购买一个A品牌篮球需120元，购买一个B品牌篮球需140元． （2）解：设该校此次可购买m个A品牌篮球，则购买B品牌篮球个． 调整后A品牌篮球的单价为（元）， B品牌篮球的单价为（元）， 根据题意可列不等式：， 解得：， 答：该校此次最多可购买30个A品牌篮球． 31．小张计划购进，两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品进价比种文创产品进价每件多3元，用140元购进种文创产品的件数与用80元购进种文创产品的件数相同． (1)求，两种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进，两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可购进种文创产品多少件？ 【答案】(1)A种文创产品每件的进价为7元，B种文创产品每件的进价为4元 (2)小张最多可购进A种文创产品50件 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设A种文创产品每件的进价为x元，则B种文创产品每件的进价为元，根据用140元购进种文创产品的件数与用80元购进种文创产品的件数相同建立方程求解即可； （2）设小张购进种文创产品m件，则购进B种文创产品件，根据总费用不超过550元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种文创产品每件的进价为x元，则B种文创产品每件的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种文创产品每件的进价为7元，B种文创产品每件的进价为4元； （2）解：设小张购进种文创产品m件，则购进B种文创产品件， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为50， 答：小张最多可购进种文创产品50件． 32．2026年怒江傈僳“阔时”文化节期间，“怒小咖”、“阿克比”、“啰嘿”等本土品牌咖啡纷纷在花花集市亮相．某特产店为支持本土产业，购进“怒小咖”和“阿克比”两种咖啡礼盒，用960元购进的“怒小咖”咖啡和用780元购进的“阿克比”咖啡的礼盒数量相同，且“怒小咖”咖啡每盒的进价比“阿克比”咖啡每盒的进价多15元． (1)求两种咖啡每盒的进价各是多少元； (2)已知“怒小咖”咖啡每盒的售价为100元，“阿克比”咖啡每盒的售价为80元．求该特产店销售完这些咖啡所获得的利润． 【答案】(1)“怒小咖”咖啡每盒进价80元，“阿克比”咖啡每盒进价65元 (2)该特产店销售完这些咖啡所获得的利润为420元 【分析】本题考查了分式方程的应用和有理数混合运算的应用； （1）设“阿克比”咖啡每盒进价为元，则“怒小咖”咖啡每盒进价为元，根据用960元购进的“怒小咖”咖啡和用780元购进的“阿克比”咖啡的礼盒数量相同，列出方程，即可求解； （2）列出算式，即可求解． 【详解】（1）解：设“阿克比”咖啡每盒进价为元，则“怒小咖”咖啡每盒进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， （元）， 答：“怒小咖”咖啡每盒进价80元，“阿克比”咖啡每盒进价65元． （2）解：由题意得， （元）， 答：该特产店销售完这些咖啡所获得的利润为420元． 33．随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 34．某公司购买A，B两种哪吒主题文创产品作为“公司评星”活动的奖品，A种文创产品的单价比B种贵40元，现用2000元资金采购，其中600元购买A种文创产品，剩余资金购买B种文创产品，且A种文创产品的购买数量是B种的．设B种文创产品的单价为元． 花费金额（元） 单价（元） 购买数量（件） A种文创产品 600 ______________ ______________ B种文创产品 ______________ ______________ (1)请根据信息填表（用含有的式子表示）； (2)根据题意列出关于的分式方程，并求出A，B两种文创产品的单价． 【答案】(1)见解析 (2)分式方程为，A种文创产品单价为96元，B种文创产品单价为56元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据A种文创产品的单价比B种贵40元可求出A种文创产品的单价，根据总资金为2000元可求出用于购买B的资金，再根据数量等于购买资金除以单价可确定对应的购买数量； （2）根据A种文创产品的购买数量是B种的可列出方程，再解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设B种文创产品的单价为元，则A种文创产品的单价为元 由题意得，购买B种文创产品的资金为元， ∴A种文创产品的购买数量为件，B种文创产品的购买数量为件， 填表如下： 花费金额（元） 单价（元） 购买数量（件） A种文创产品 600 B种文创产品 1400 （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴A种文创产品单价为96元，B种文创产品单价为56元． 35．某小区物业计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求．2025年小区物业花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，则2025年该小区物业购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 【答案】购入单枪、双枪新能源充电桩分别为6个、4个 【分析】本题考查列分式方程解应用题：设2025年购入双枪充电桩的数量为个，购入单枪充电桩的数量为个，根据题中等量关系列出分式方程并求解即可． 【详解】解：设2025年购入双枪充电桩的数量为个， 则购入单枪充电桩的数量为个． 由题意知：， 解得：， 经检验是该分式方程的解，且符合题意， ， 年购入单枪充电桩的数量为6个，购入双枪充电桩的数量为4个． 36．2025全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会于5月22日在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输带来了巨大便利．已知A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运 所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运，B型机器人每小时搬运 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运，则A型机器人每小时搬运，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运，则A型机器人每小时搬运， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 所以A型机器人每小时搬运，B型机器人每小时搬运． 37．现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） (1)若，则_______． (2)若，的电阻值比的电阻值大，求，的电阻值． (3)_______．（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键， （1）根据和，代入可求得，取倒数即可得到答案； （2）设的电阻值为，由题意可得，再根据列出方程，解方程即可得到答案； （3）由可得，取倒数即可得到． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设的电阻值为， ∵的电阻值比的电阻值大， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∴． 38．综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 【答案】(1)需要清水 (2)能达到洗衣目标 (3)二 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，核心是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案． （1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量； （2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比； （3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案． 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗：把，代入得， ； 第二次漂洗：把，代入得， ； ， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标． （3）解：由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优． 39．在“阳光体育一小时”活动中，小明和小亮参加跳绳比赛．在某段相同时间内，小明跳了180次，小亮跳了210次．已知小明每分钟比小亮少跳20次，则小明和小亮平均每分钟各跳多少次？ 【答案】小明平均每分钟跳120次，小亮平均每分钟跳140次 【分析】本题主要考查了分式方程的应用.列方程解应用题的关键是找相等关系，本题中的相等关系是小明跳的时间＝小亮跳的时间． 【详解】解：设小亮每分钟跳x下，则小明每分钟跳下， 根据题意可得：， 解方程得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：小明平均每分钟跳120次，小亮平均每分钟跳140次． 40．在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假巩固作业12分式方程 目录 题型一、分式方程的定义 2 题型二、解分式方程 3 题型三、根据分式方程根的情况求值 3 题型四、分式方程无解问题 4 题型五、列分式方程 4 题型六、分式方程行程问题 5 题型七、分式方程工程问题 6 题型八、分式方程经济问题 7 题型九、分式方程和差倍分问题 8 题型十、分式方程跨学科问题 9 题型一：分式方程的定义 判断标准：分母中含有未知数的方程 关键点：未知数必须在分母中 题型二：解分式方程 解题四部曲： 1去分母：找最简公分母，每项都乘 2解整式：解化简后的整式方程 3验根：代入公分母检验（≠0为真根） 4作答：写出正确解 易错点： 漏乘整式项 分数线前负号忘变号 忘记检验增根（必做！） 题型三：根据分式方程根的情况求值 解题三步法： 1用参数表示解 2根据条件列不等式/方程 3排除增根（分母≠0） 常见条件：解为正数、负数、整数、非负数等 注意：同时满足数学条件和实际意义 题型四：分式方程无解问题 两种无解情况： 情况一：整式方程无解 → 化简后得矛盾等式（如0=1） 情况二：解都是增根 → 解使公分母=0 解题流程： 正常求解 → 用参数表示解 → 分别讨论两种情况 记忆口诀：无解两情形，矛盾或增根 题型五：列分式方程 建模三步骤： 1找等量关系（关键词：相等、是、比、共...） 2设未知数（带单位） 3用分式表示量，列方程 检验重点：单位统一，关系正确 题型六：行程问题 核心关系：路程=速度×时间 常考模型： 相遇问题：路程和=速度和×时间 追及问题：路程差=速度差×时间 水上航行：顺水速=静水速+水速，逆水速=静水速-水速 易错点：分钟/小时换算，忘记实际意义检验 题型七：工程问题 设定技巧：设总工作量为"1" 效率关系：工作效率=工作量/时间 常见类型： 合作完成：(甲效+乙效)×时间=1 先后完成：甲完成量+乙完成量=1 效率变化：原效率×(1±变化率)=新效率 关键：明确工作总量、工作效率、工作时间的关系 题型八：经济问题 基本公式： 售价=进价+利润 利润=售价-进价 利润率=利润/进价×100% 折扣价=原价×折扣 等量关系： 总金额相等：数量₁×单价₁=数量₂×单价₂ 利润相等：单利₁×数量₁=单利₂×数量₂ 易错：利润率计算基数用错（应是进价，不是售价） 题型九：和差倍分问题 方法：仔细分析"是几倍"、"多多少"、"少多少"、"几分之几" 易错点： 倍数关系颠倒（谁是谁的几倍） 分数表示错误（增加1/3是原来的4/3倍） 单位"1"找错 技巧：设未知数时用分数或倍数准确表示关系 题型十：跨学科问题 涉及学科：物理（速度、密度）、化学（浓度）、生物（繁殖率） 解题方法： 1熟悉相关学科公式 2将实际问题转化为分式方程 易错点： 公式记忆错误 单位制不统一 学科概念理解偏差 核心知识点速查 一、基本概念：分式方程是分母中含有未知数的方程；最简公分母是所有分母因式分解后的最小公倍式；增根是使最简公分母为0的根（必须舍去）。 二、解题四步骤：去分母 → 解整式 → 验根 → 作答 三、检验双保险：数学检验（代入公分母≠0） + 实际检验（符合实际意义） 四、无解问题两种情况： 整式方程无解（化简得矛盾等式） 所有解都是增根（解使公分母=0） 题型一、分式方程的定义 1．在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 3．下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 题型二、解分式方程 5．解下列分式方程： (1) (2) 6．解方程： (1)； (2)． 7．解方程： (1) (2)． 8．解分式方程． (1)； (2)． 题型三、根据分式方程根的情况求值 9．已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 10．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 11．小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是 ． 12．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 题型四、分式方程无解问题 13．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 14．已知分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 15．若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 16．已知是关于的方程，若方程有增根，方程的增根为 ． 题型五、列分式方程 17．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 18．某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗．已知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天．若这批黄花菜幼苗的总数为4000株．设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为 ． 19．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的长度比原计划增加，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 题型六、分式方程行程问题 20．无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势某物流园区使用辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是名快递员平均每天配送包裹数量的倍．要配送件包裹，使用辆无人配送车所需时间比名快递员同时配送所需时间少天，若设名快递员平均每天可配送包裹件，则根据题意可列方程为 ． 21．用电脑程序控制小型赛车进行100米比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车都进入了决赛，在比赛前的练习中发现：“畅想号”比“和谐号”每秒多跑1米，并且“畅想号”跑80米的时间刚好与“和谐号”跑70米的时间相等．假设两车一直都是匀速行驶． (1)求“和谐号”的平均速度； (2)比赛时，若“畅想号”让“和谐号”先跑2秒，最终哪辆赛车能赢得比赛？请说明理由． 22．【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 23．小华和小明同时从甲地沿同一路线步行去相距的乙地．小华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；小明全程的平均行走速度是，且． (1)通过计算说明：两人___________先到达乙地；（选填“小华”或“小明”） (2)二人改变行走方式，小华仍按两个半段路匀速行走，前半段速度不变，后半段速度变为，小华走完前半段时，小明骑自行车开始从甲地出发，平均骑行速度为，结果小明比小华提前40分钟到达乙地，求的值． 24．【数学与生活】清明节期间，某校组织八年级的学生去距学校12千米的烈士陵园扫墓，并开展爱国主义教育活动，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求骑自行车学生的速度． 【学以致用】 (1)设骑自行车学生的速度为千米/时，用含有的式子表示： ①汽车的速度为______千米/时； ②骑自行车学生总共用的时间为______小时，乘汽车的学生总共用的时间为______小时． (2)请列分式方程，并求出骑自行车学生的速度． 题型七、分式方程工程问题 25．为了美化小区生活环境，物业部门准备开展植树活动． 现有甲、乙两个植树队，甲队每天植树棵，乙队比甲队每天多植树20棵． (1)若甲队植树1000棵与乙队植树1200棵所用的时间相等，求x的值； (2)现让甲队完成植树160棵的任务，乙队完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲、乙两队完成各自的任务所需要的天数 ； ②通过计算说明哪队完成任务所需时间更少． 26．甲、乙两个工程队分别完成72千米的道路施工任务．甲队计划前36千米按每天施工a千米完成，剩下的36千米按每天施工b千米完成；乙队计划一半的时间每天施工a千米，另一半的时间每天施工b千米．（已知） (1)当时，甲队恰好6天完成任务，求a的值； (2)如果按照各自施工计划，甲队和乙队谁更早完成施工任务？请说明理由． 27．在暑假期间，学校安排了甲、乙两人对学校的建筑外墙进行粉刷维修，以新的面貌迎接学生返校．已知乙每天比甲多粉刷20平方米，甲粉刷3天和乙粉刷2天共粉刷外墙面积为140平方米． (1)求甲、乙两人每天粉刷量分别是多少平方米？ (2)学校将480平方米的粉刷量承包给甲、乙两人分别完成，每人一半，两人的积极性大增，每天都增加了粉刷量．若乙每天增加粉刷量是甲每天增加粉刷量的2倍，两人共计12天完成任务，求甲每天增加的粉刷量． 28．某市需要铺设一段排水管道，甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天．现安排两队合作完成此项工程． (1)若两队合作施工，多少天可以完成？ (2)实际施工中，甲队先单独工作若干天后，乙队加入，两队再共同工作天恰好完成任务．求甲队先单独工作了多少天？ 题型八、分式方程经济问题 29．湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，已知“超超”的购进单价是“湘湘”购进单价的倍，且用元购进吉祥物“超超”的数量比用元购进吉祥物“湘湘”的数量少个． (1)该商店“湘湘”和“超超”的购进单价各为多少元？ (2)现该商店准备再购进“湘湘”和“超超”共件，如果要使得总费用不高于元，那么“湘湘”至少要购买多少件？ 30．汗水挥洒赛场，激情点燃初冬．“和平杯”2025年长郡教育集团教职工篮球赛如期举行．某校为比赛做准备，在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球共花费了480元，购买B品牌篮球共花费了1120元，且购买B品牌篮球数量是购买A品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． (1)购买一个A品牌篮球、一个B品牌的篮球各需多少元？ (2)为将这一运动拼搏精神传递给学生，该校继续组织学生篮球赛，学校决定再次购进A，B两种品牌篮球共40个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过5076元，那么该校此次最多可购买多少个A品牌篮球？ 31．小张计划购进，两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品进价比种文创产品进价每件多3元，用140元购进种文创产品的件数与用80元购进种文创产品的件数相同． (1)求，两种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进，两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可购进种文创产品多少件？ 32．2026年怒江傈僳“阔时”文化节期间，“怒小咖”、“阿克比”、“啰嘿”等本土品牌咖啡纷纷在花花集市亮相．某特产店为支持本土产业，购进“怒小咖”和“阿克比”两种咖啡礼盒，用960元购进的“怒小咖”咖啡和用780元购进的“阿克比”咖啡的礼盒数量相同，且“怒小咖”咖啡每盒的进价比“阿克比”咖啡每盒的进价多15元． (1)求两种咖啡每盒的进价各是多少元； (2)已知“怒小咖”咖啡每盒的售价为100元，“阿克比”咖啡每盒的售价为80元．求该特产店销售完这些咖啡所获得的利润． 题型九、分式方程和差倍分问题 33．随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 34．某公司购买A，B两种哪吒主题文创产品作为“公司评星”活动的奖品，A种文创产品的单价比B种贵40元，现用2000元资金采购，其中600元购买A种文创产品，剩余资金购买B种文创产品，且A种文创产品的购买数量是B种的．设B种文创产品的单价为元． 花费金额（元） 单价（元） 购买数量（件） A种文创产品 600 ______________ ______________ B种文创产品 ______________ ______________ (1)请根据信息填表（用含有的式子表示）； (2)根据题意列出关于的分式方程，并求出A，B两种文创产品的单价． 35．某小区物业计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求．2025年小区物业花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，则2025年该小区物业购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 36．2025全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会于5月22日在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输带来了巨大便利．已知A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运 所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 题型十、分式方程跨学科问题 37．现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） (1)若，则_______． (2)若，的电阻值比的电阻值大，求，的电阻值． (3)_______．（用含，的式子表示）． 38．综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 39．在“阳光体育一小时”活动中，小明和小亮参加跳绳比赛．在某段相同时间内，小明跳了180次，小亮跳了210次．已知小明每分钟比小亮少跳20次，则小明和小亮平均每分钟各跳多少次？ 40．在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $