寒假巩固作业07等边三角形2025-2026学年人教版数学八年级上册

寒假巩固作业07等边三角形 目录 题型一、等边三角形的性质 1 题型二、等边三角形的判定 3 题型三、等边三角形的性质和判定 4 题型四、最短路径问题 6 题型一、等边三角形的性质 1．如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等边中，D为边上一点，延长至F使得，过A作于H，与的延长线交于点G． (1)若为α，直接写出的度数；（用含α的代数式表示） (2)求的度数； (3)已知C为的中点，且，求的长． 6．如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 7．如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（   ） A． B．垂直平分 C．是等边三角形 D． 8．已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 9．如图，中，，，垂直平分，点D在边上，连接，，，，若，给出下列四个结论：①；②；③；④是等边三角形．其中一定正确的结论是（    ） A．①④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 题型二、等边三角形的判定 10．如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点，，测得，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 11．如下图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，．，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：． (2)求直线，所夹锐角的度数． (3)试判断的形状，并说明理由． 12．如图，在中，，点、在边上（点在点的左侧），． (1)证明：≌； (2)求证：是等边三角形． 题型三、等边三角形的性质和判定 13．如图，已知，点分别在上，且，点P为上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．如图，在中，，点D为斜边上的中点，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，在中，，平分，，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 16．如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 17．如图，在中，，，点D是内一点，且平分，，点E是延长线上一点，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 18．如图，与的两边分别相交于点，，平分，，． (1)①求证：． 小红的解题方法是：过点作，，构造一对全等三角形… 小黄的解题方法是：过点作交于点，构造一个等边三角形… 小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接… 任选其中一个方法，补全图形，并写出证明过程； (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 19．如图，在中，，，是边上的两点，并且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 20．如图，在中，，，为的一条角平分线，点H为的中点，连接并延长至点F，连接，且． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的长． 题型四、最短路径问题 21．如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A． B． C． D． 22．如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为 ． 23．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中作出及关于y轴的对称图形； (2)在x轴上画出点P，使的值最小． 24．如图，平面直角坐标系中，点，，． (1)请作出关于轴对称的，并分别写出点，，的坐标； (2)若点，点，连接，在线段上找一点，使得最短，在坐标系中画出图形并直接写出点坐标． 25．综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假巩固作业07等边三角形 1．如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是关键． 根据题意，可证，得到，再根据三角形外角性质计算即可． 【详解】等边中，， 又， ， ． ． 故选：B． 2．如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，最短线段问题，将的最小值转化为线段的长是解题关键．由等边三角形的性质可得垂直平分，则，当点P为与的交点时，取得最小值，最小值为，再结合三角形面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵是等边三角形，， ∴， ∴垂直平分，， ∵点P是AD上一个动点， ∴， ∴， 即当点P为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是8． 故选：B． 3．如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得到，由等边对等角和三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，由等边三角形的性质可得，再由可得答案． 【详解】解：∵在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在等边中，D为边上一点，延长至F使得，过A作于H，与的延长线交于点G． (1)若为α，直接写出的度数；（用含α的代数式表示） (2)求的度数； (3)已知C为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2)的度数为 (3) 【分析】（1）在等腰中，利用两个底角相等，直接表示出来的度数即可； （2）首先利用等边三角形和等腰三角形的性质，将表示为，即可结合（1）中的结论进行求解； （3）首先构造合适的辅助线得到全等三角形，再将与的线段关系表示为三角形面积关系，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：如图所示，连接，，过点C作于点M， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵C为的中点， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵C为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，合理构造辅助线和将线段比例用三角形面积的比例表示出来是解题的关键． 6．如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线； （2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 是的垂直平分线； （2）解：，证明如下： 如图，过作， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ，平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 7．如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（   ） A． B．垂直平分 C．是等边三角形 D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，则可得到，求出，，则可证明是等边三角形，再证明，得到，则可证明垂直平分，可证明，则可证明，据此可得答案． 【详解】解：∵将折叠，使点落在点处，为折痕， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∴， ∵在中，， ∴，， ∴是等边三角形，，故C结论正确，不符合题意； 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，故B结论正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟知折叠的性质是解题的关键． 8．已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的定义，掌握绝对值的非负性是解题关键．利用绝对值的非负性，和为零则每个绝对值为零，推导出三边相等，即可得解． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：D． 9．如图，中，，，垂直平分，点D在边上，连接，，，，若，给出下列四个结论：①；②；③；④是等边三角形．其中一定正确的结论是（    ） A．①④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，利用以上性质判断说法的正误是解题的关键． 利用线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，逐一判断说法的正误，最后选择合适的说法选项即可． 【详解】解：对于①：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴结论①正确，符合题意； 对于②：∵， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵题目中未确定α值， ∴结论②错误，不符合题意； 对于③：由②得， ∴结论③正确，符合题意； 对于④：由②得，当时，是等边三角形， ∵题目中未确定α值， ∴结论④错误，不符合题意； 综上所述，正确选项为①③， 故选：B． 10．如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点，，测得，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，三角形形状的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 先根据平行线的性质得出，，求出，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，根据题意可得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴为等边三角形． 故选：C． 11．如下图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，．，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：． (2)求直线，所夹锐角的度数． (3)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）如图，延长交于点．由全等三角形的性质可得到，由对顶角相等即可得到，即为直线，所夹锐角的度数； （3）由“”可证，可得，，可证是等边三角形． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，， 在和中， ， ． （2）解：如图，延长交于点． 由（1）可知，， ． ， ，即直线，所夹锐角的度数为． （3）为等边三角形．理由如下： 由（1）可知，，． ，分别为，的中点， ． 在和中， ， ，， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明是本题的关键． 12．如图，在中，，点、在边上（点在点的左侧），． (1)证明：≌； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定． （1）利用“等角对等边”得到，结合已知条件用证明全等； （2）由全等得，再证，从而判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴． 在和中，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵是的外角，， ∴， ∴是等边三角形． 13．如图，已知，点分别在上，且，点P为上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和最小的问题，等边三角形的判定和性质，作点M关于直线的对称点，连接，得到，证明为等边三角形，得到，即可得出结果． 【详解】解：作点M关于直线的对称点，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 即的最小值为6； 故选：B． 14．如图，在中，，点D为斜边上的中点，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后求出，证明出是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点D为斜边上的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴． 故选：B． 15．如图，在中，，平分，，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，以及平行线的性质．先根据线段比例求出的长度，再结合角平分线和平行线的性质证明为等边三角形，最后计算其周长． 【详解】解：∵，， ∴，解得． ∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∴在中，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的周长为． 故选：D． 16．如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，等边三角形 的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，于点，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质得到，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，故①正确；根据全等三角形得到，求得，即，推出四边形的面积是一个定值，故②正确；根据垂线段最短，得到的值最小，当最小时，的周长最小，于是得到当时，最小，的周长最小，故③正确；根据平行线的性质得到，求得，得到一定与不平行，故④错误． 【详解】解：过点作于点，于点，如图所示： ， ∵点是的平分线上的一点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 即， ∵点是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值， ∴四边形的面积是一个定值，故②正确，符合题意； ∵， ∴点与重合， ∵垂线段最短， ∴的值最小， 当最小时，的周长最小， ∴当时，最小，的周长最小，故③正确，符合题意； ∵，，如图： ， ∵， ∴， ∴一定与不平行，故④错误，不合题意． 故选：D． 17．如图，在中，，，点D是内一点，且平分，，点E是延长线上一点，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见详解； (2) (3)见详解； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、三角形外角的性质、线段垂直平分线的判定及性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由平分得，根据 “”即可证明； （2）根据等腰三角形性质得结合角平分线性质和三角形外角即可解答； （3）在线段上截取，连接，由“”证得，根据全等三角形性质，和线段的和差即可求证结论． 【详解】（1）证明：平分 在和中 （2）解：， 平分 是的外角 （3）解：在线段上截取，连接， ，， 是等边三角形， ， 18．如图，与的两边分别相交于点，，平分，，． (1)①求证：． 小红的解题方法是：过点作，，构造一对全等三角形… 小黄的解题方法是：过点作交于点，构造一个等边三角形… 小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接… 任选其中一个方法，补全图形，并写出证明过程； (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解； (2)，证明见详解． 【分析】（1）小红的解题方法是：过点作，，通过证明，即可求得；小黄的解题方法是：过点作交于点，通过证明，即可求得；小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接；通过证明，即可求得； （2）过点作，，通过证明，可得，，进而求解． 【详解】（1）证明：小红的解题方法是：过点作，， ， 又平分，，， ，， 在四边形中， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； 小黄的解题方法是：过点作交于点， 平分，， ， , ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； 小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接， 平分，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 过点作，， 由（1）得， ，， ， ，， ，同理可得， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 19．如图，在中，，，是边上的两点，并且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由等腰三角形的性质得出，垂直得出，用证得，即可得出结论； （2）由（1）得，则，再由三角形内角和定理求出，证明出是等边三角形，进一步证明得出，同理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ， 由（1）得， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 同理可得：， ． 20．如图，在中，，，为的一条角平分线，点H为的中点，连接并延长至点F，连接，且． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）求出，由角平分线的定义可得，则可证明得到，进而可得，据此可证明结论； （2）由等边三角形的性质求出的长，则可得到的长，再根据含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴， ∵为的一条角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴，即， ∴， 又∵， ∴为等边三角形； （2）解：∵为等边三角形， ∴， 由（1）得， 在中，， ∴， ∴． 21．如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称的性质以及两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解题的关键． 作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M，此时最小． 【详解】解：∵点P，Q在直线l的同侧， ∴作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M， 由对称性可知， 此时，最小， 故选：D． 22．如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 23．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中作出及关于y轴的对称图形； (2)在x轴上画出点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)如图：点P即为所求 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称变换——最短路径问题等知识点，根据网格结构和轴对称的性质作出A、B、C的对应点是解题的关键． （1）先找出A、B、C三点关于y轴的对称点，然后首尾顺次连接即可完成作图； （2）如图：作C关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P，根据轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短可知的值最小． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求． （2）解：如图：作C关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P，点P即为所求． ∴， ∴，即P点即为所求． 24．如图，平面直角坐标系中，点，，． (1)请作出关于轴对称的，并分别写出点，，的坐标； (2)若点，点，连接，在线段上找一点，使得最短，在坐标系中画出图形并直接写出点坐标． 【答案】(1)图见解析，、、 (2)图见解析， 【分析】本题考查轴对称图形，最短路径． （1）由关于轴对称的点的坐标特征，即可得点，，的坐标，用线段顺次连接点，，，即可得； （2）作关于线段的对称点，连接，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：∵，，，与关于轴对称， ∴、、， 如图，即为所求． （2）解：作关于线段的对称点，连接，交于点，如图所示，点即为所求，． 25．综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）图见解析，整个过程所行的路程为． 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】解：（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径． 由题意，得， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $