寒假巩固作业09整式的乘法2025-2026学年人教版数学八年级上册

寒假巩固作业09整式的乘法 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘单项式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算； （3）根据单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算； （4）先利用积的乘方逆运算进行简便运算，然后再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算加法即可； （2）利用多项式除以单项式的运算法则，每一项都除以即可． 本题主要考查了多项式乘多项式，多项式除以单项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，整式的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和乘法分配律、多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算方法． （1）先计算乘方，再利用乘法分配律化简，最后计算加减法即可； （2）利用多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则，即可求出解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案； （2）先分别计算同底数幂的乘积与积的乘方，再合并同类项即可得到答案； （3）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案； （4）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．计算 (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，单项式除以单项式，单项式乘单项式，多项式除以单项式的运算法则，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法运算法则进行计算，即可求解； （2）根据单项式除以单项式的运算法则进行计算，即可求解； （3）根据单项式乘单项式，单项式除以单项式的运算法则进行计算，即可求解； （4）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 6．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号，掌握相应的运算法则是关键． （1）利用多项式乘多项式的法则即可解答； （2）先提取第二个多项式中的负号，然后利用多项式乘多项式的法则进行计算，最后去括号即可解答； （3）先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 7．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）（3）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘单项式，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 8．运用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （2）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （3）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （4）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，将各式进行正确地变形是解题的关键． 9．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了简便运算，解题的关键是掌握平方差公式． （1）将式子运用平方差公式进行变形，结合零指数幂即可得； （2）先将前两项运用平方差公式进行变形，计算得出结果后再运用平方差公式进行变形计算即可得； （3）运用平方差公式进行变形计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 10．用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)999996 (2)4087 【分析】本题考查了平方差公式，只需要运用平方差公式进行求解，即可得到答案. （1）将式子转换为，即可求解； （2）将式子转换为，即可求解. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 11．用简便方法进行计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察到，将原式凑成完全平方公式的形式，简化计算； （2）把各数写成整十/整百/整千的形式，连续用平方差公式逐步化简； （3）将原式通分，观察分子特点，利用完全平方公式的形式简化计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式的综合应用，掌握观察数字特征，通过凑完全平方、转化为整数形式、用中间数表示对称数等技巧，结合公式简化计算是解题的关键． 12．运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）（2）（3）（4）直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 13．运用乘法公式计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先将原式进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含的一次项，且常数项是 ∴ 解得： 故． 15．已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 16．一个二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，乘积中不出现一次项，且二次项系数为7，求、的值． 【答案】a的值为2，b的值为 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则和运算顺序是解题的关键． 利用多项式乘多项式展开，然后合并同类项，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：， 根据题意得，乘积中不出现一次项，且二次项系数为7， ∴， 解得， ∴a的值为2，b的值为． 17．下面两道小题小明不会做，请你帮他写出解答过程． (1)如果，求m的值； (2)已知的结果中不含项，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查同底数幂的乘除法，多项式乘以多项式法则， （1）根据同底数幂乘除法法则变形，即可得到关于m的方程，由此求出m的值； （2）先计算多项式乘以多项式，再根据不含项的系数为零求出m的值． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴． （2）解：原式， ∵结果中不含项， ∴， 解得：． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，1 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则，把所求式子化简，先用多项式乘多项式，多项式除以单项式展开，再合并同类项，化简后将x，y的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中． 【答案】(1)；64 (2)；-22 【分析】（1）先根据整式的混合运算法则化简，再把，代入化简后的结果中计算即可； （2）先根据整式的混合运算法则化简，再把代入化简后的结果中计算即可. 【详解】解：（1）原式 ． 当，时，原式． （2）原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则化简成为解题的关键. 20．先化简，再求值：．其中． 【答案】，6 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算多项式乘以多项式和幂的乘方，再计算同底数幂除法，接着合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 21．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式、合并同类项法则是解题的关键．先运用乘法公式、合并同类项得到最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 22．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中， 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了乘法公式、多项式除以单项式、零指数幂与算术平方根等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算平方差公式，再计算单项式乘以多项式，然后根据绝对值和偶次幂的非负性求出的值，代入计算即可得； （2）先计算单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再计算括号内的加减法，然后计算多项式除以单项式，最后求出的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． ∵，，， ∴， ∴， ∴原式． （2）解：原式 ． ∵，， ∴原式． 23．图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状围成一个正方形．    (1)图中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ； (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图，它表示了 ； (4)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)如图所示（答案不唯一）． 【分析】（）阴影部分为边长为的正方形，表示出面积即可； （）图形中的阴影部分面积可以由大正方形的面积减去四个矩形的面积，即可得出等量关系； （）根据图形面积直接求与间接求，即可列出关系式； （）画出长为，宽为的长方形即可求解，答案不唯一，如图所示； 此题考查了多项式乘以多项式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：图中的阴影部分为边长的正方形，则面积为， 故答案为：； （2）解：图中的阴影部分面积为大正方形的面积减去四个矩形的面积， 即：， 故答案为：； （3）根据图形面积：得， 故答案为：； （4）如图，（答案不唯一），    24．如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．    (1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，涉及到正方形、圆的面积公式，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）阴影部分的面积梯形的面积三角形的面积正方形的面积扇形的面积； （2）当，时，代入（1）中代数式计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ； （2）当，时，原式． 25．如图，有一块长为米，宽为米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将建成一座边长为米的正方形水池． (1)用含有，的式子表示绿化部分面积；（结果要化简） (2)若，，求出此时的绿化总面积． 【答案】(1)； (2)平方米． 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算的应用 （）绿化部分的面积等于整体面积减去正方形水池面积； （）将，代入求解； 【详解】（1）长方形地块的面积， 正方形的面积为：， 则绿化面积； （2）∵，， ∴绿化总面积， ， （平方米）． 26．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 27．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 【答案】(1) (2)；② 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析即可． （1）理解每个代数式的意义，根据不同方法表示的阴影部分的面积相同列式即可； （2）根据（1）的结论代入进行计算即可． 【详解】（1）解： 观察图②可知为大正方形的面积，为小正方形的面积，为一个长方形面积；根据不同方法表示的阴影部分的面积相同得； （2）解：① 28．用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形． (1)根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)结合（1）中的结论，如果，，求的值； (3)结合以上结论，如果，求的值． 【答案】(1) (2)的值为15或 (3) 【分析】（1）用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各部分的面积之间的关系，即可得出答案； （2）根据（1）中的结论，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将和分别看作一个整体，结合（1）中结论即可求解． 本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及平方差公式的运用，熟练掌握平方差和完全平方公式的计算方法进行求解是解决本题关键． 【详解】（1）解：由题可知，大正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积， ． （2）解： ，，， ． 或． ， ∴当时，； 当时，． 综上，的值为或． （3）解：设，，则， ． ． ． 故答案为：． 29．探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目已给出的式子的规律写出答案即可； （2）根据题目已给出的式子判断出规律得到第n个等式即可； （3）根据（2）中规律可得根据规律求解即可． 【详解】（1）解：根据规律； （2）解：根据规律：； （3）解：原式． 30．（）填空： ； ； ； （）猜想： （其中为正整数，且）； （）利用猜想的结论计算：． 【答案】（）；；；（）；（） 【分析】（）根据平方差公式、多项式乘以多项式法则逐个计算即可求解； （）根据（）的结果进行猜想即可求解； （）将算式转化为，再利用（）的猜想计算即可求解； 本题考查了平方差公式，多项式乘以多项式，熟练掌握整式的运算法则，并归纳类推出一般规律是解题的关键． 【详解】解：（）； ， 即； ， 即； 故答案为：；；； （）猜想：（其中为正整数，且）， 故答案为：； （） ． 31．（1）填空： ； ； ． （2）猜想： （n为正整数）． （3）求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘以多项式规律题，找到规律进行计算是解题的关键． （1）格努多项式与多项式的乘法法则计算即可； （2）根据（1）的计算结果总结即可． （3）原式乘以 ，根据等式的规律即可求解． 【详解】解：（1）； ； ． 故答案为：；；； （2）由（1）可知，． 故答案为：； （3） ． 32．对于较为复杂的问题，可以先从简单情况入手，通过观察和分析，发现规律，进而解决复杂问题． 【探究发现】 （1）______； （2）______； （3）______； …… 【猜想归纳】 （4）______； 【问题解决】利用上述规律解决下列问题： （5）计算：； （6）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的规律探究，掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题． 〖探究发现〗（1）（2）（3）利用多项式乘以多项式法则及平方差公式化简即可得到结果； 〖猜想归纳〗（4）根据〖探究发现〗归纳出规律即可； 〖问题解决〗（5）利用归纳总结得到，即可求出所求式子的结果；（6）利用得出的结论可得，从而可得到结果． 【详解】解：〖探究发现〗：（1）； （2）； （3） 故答案为：（1）．（2）．（3）． 〖猜想归纳〗（4）． 故答案为：． 〖问题解决〗（5）原式． （6） ． ． 解得或（舍）． 的值是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假巩固作业09整式的乘法 题型一、整式的乘法运算 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 5．计算 (1)； (2) (3)； (4) 6．计算： (1)． (2)． (3)． 7．计算： (1)． (2)． (3)． 题型二、平方差公式和完全平方公式运算 8．运用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 9．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 10．用平方差公式计算： (1)； (2)． 11．用简便方法进行计算： (1)． (2)． (3)． 12．运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 13．运用乘法公式计算： (1)． (2)． 题型三、不含某项的求值 14．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，求的值． 15．已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 16．一个二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，乘积中不出现一次项，且二次项系数为7，求、的值． 17．下面两道小题小明不会做，请你帮他写出解答过程． (1)如果，求m的值； (2)已知的结果中不含项，求m的值． 题型四、化简求值 18．先化简，再求值：，其中，． 19．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中． 20．先化简，再求值：．其中． 21．先化简，再求值：，其中． 22．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中， 题型五、整式的乘法与几何图形 23．图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状围成一个正方形．    (1)图中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ； (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图，它表示了 ； (4)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 24．如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．    (1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 25．如图，有一块长为米，宽为米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将建成一座边长为米的正方形水池． (1)用含有，的式子表示绿化部分面积；（结果要化简） (2)若，，求出此时的绿化总面积． 26．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 27．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 28．用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形． (1)根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)结合（1）中的结论，如果，，求的值； (3)结合以上结论，如果，求的值． 题型六、整式的乘法规律性探究 29．探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 30．（）填空： ； ； ； （）猜想： （其中为正整数，且）； （）利用猜想的结论计算：． 31．（1）填空： ； ； ． （2）猜想： （n为正整数）． （3）求的值． 32．对于较为复杂的问题，可以先从简单情况入手，通过观察和分析，发现规律，进而解决复杂问题． 【探究发现】 （1）______； （2）______； （3）______； …… 【猜想归纳】 （4）______； 【问题解决】利用上述规律解决下列问题： （5）计算：； （6）若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $