精品解析：山西省阳泉市2025-2026学年度高二第一学期期末教学质量监测试题数学试题

阳泉市2025～2026学年度第一学期期末教学质量监测试题 高二数学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 顶点在原点，焦点是的抛物线方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求得答案． 【详解】由题意设抛物线的方程为，因焦点坐标为，则， ， 抛物线的方程为. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，由焦点位置确定方程类型以及的值是关键，属于基础题． 2. 若圆：上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆上存在无数对点关于直线对称，得出直线一定过圆的圆心，进而得到直线一定过的点. 【详解】由圆：，得圆：，可得圆心， 因为在圆上存在无数对点关于直线对称，所以直线一定过点. 故选：A. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】等差数列的性质和基本量计算. 【详解】设等差数列的公差为. 由等差数列性质：， 已知，则，得， 已知，由， 代入得：，解得， ， 综上，. 故选：C 4. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先判断时两直线是否垂直确定充分性，再由两直线垂直求出的值判断必要性. 【详解】当时，两直线分别为和， 根据两直线垂直的判定条件可得：， 所以两直线垂直，充分性成立， 若两直线垂直，则，即， 求解可得或，所以必要性不成立. 所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】球的体积公式为，对其求导并代入计算即可 【详解】由球的体积公式可得，得， 所以时，气球的体积关于半径的瞬时变化率为. 故选：C. 6. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设各项均为正数的等比数列为，且公比为，根据其每一项都等于它后面的相邻两项之和，由求解即可. 【详解】设各项均为正数的等比数列为，且公比为， 因为其每一项都等于它后面的相邻两项之和，所以， 即，所以， 解得或（舍去）. 故选：C. 7. 设数列的通项公式为，（），若数列是递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用递增数列的定义列式求解即得. 【详解】由数列为递增数列，得，， 而，（），则，， 即对恒成立，即小于的最小值， 因为当时，的最小值为，所以. 故选：B. 8. 已知，是椭圆：与双曲线的公共焦点，，分别是和在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由椭圆方程求出半焦距为，根据题中条件，由椭圆定义求出，利用双曲线的定义以及离心率计算公式，即可求解. 【详解】由椭圆方程：，可得半焦距为， 因为四边形是矩形，所以； 由在椭圆上，根据椭圆定义可得， 则， 所以，设双曲线的实轴长为，则，即， 所以双曲线的离心率为． 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 当时，方程可以表示的曲线有（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】ABC 【解析】 【分析】对，，，四种情况进行讨论，结合方程得出曲线的形状. 【详解】当时，方程，该方程表示的曲线为圆， 当时，，方程表示椭圆， 当时，方程，可得，该方程表示两条平行直线， 当时，，方程表示双曲线. 综上所述，该方程可以表示圆，椭圆，双曲线. 故选：ABC. 10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可判断AB；根据向量的数量积计算可判断CD. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， . 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”.卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线.设卡西尼曲线的两定点为和，常数为（）.则给出下列四个结论正确的是（ ） A. 曲线一定过原点 B. 曲线一定关于坐标轴对称 C. 当且仅当时，曲线上存在到，距离相等的点 D. 曲线上存在点使得的面积大于 【答案】BC 【解析】 【分析】利用轨迹方程的求法先求出曲线，利用对称性可判断AB；把问题转化为与曲线有无交点问题，进而计算可判断C；求出的面积并求其最大值，可判断D. 【详解】设曲线上任意一点，由， 可得， 对于A，将代入上式，可得：，即当时，曲线才过原点，故A错误； 对于B，将x换为，y不变，代入方程，可得方程不变，则图像关于y轴对称； 将y换为，x不变，可得方程不变，则图像关于x轴对称，故B正确； 对于C，到距离相等的点在直线上，将代入曲线方程， 解得，方程有解当且仅当，即，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.） 12. 已知直线与圆相交于，两点，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆的半径，利用弦长公式求得弦长． 【详解】由圆，可得圆心，半径， 圆心到直线的距离， 故弦长． 故答案为：8． 13. 甲、乙两物体分别从相距的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动，以后每分钟比前一分钟多运动，乙每分钟运动.甲、乙开始运动后______分钟相遇？ 【答案】6 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式可得关于时间n的方程，从而可得n的值. 【详解】设n分钟后相遇，依题意得， 整理得，解得或 (舍去)， 所以甲、乙开始运动后分钟相遇． 故答案为：6. 14. 如图，某绿色蔬菜种植基地在处，现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去，已知，，，在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线的方程为______. 【答案】（） 【解析】 【分析】以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，由余弦定理可求得，进而求得，由双曲线的定义求解可得该界线的方程. 【详解】以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如上图所示： 在中，由余弦定理可得， 可得； 设是边界上任一点，则满足， 所以； 由双曲线定义可知，点所在的界线是以为焦点， 实轴长为的双曲线靠近的一支，并且在农贸市场内的部分； 由，可得， 所以双曲线方程为（）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且在处的切线方程是． （1）求实数，的值； （2）求函数的单调区间和极值． 【答案】（1）， （2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可； （2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值. 【小问1详解】 因为，所以， 又在处的切线方程为， 所以，， 解得，． 【小问2详解】 由（1）可得定义域为，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 则在处取得极小值， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 因此极小值为，无极大值． 16. 已知数列中，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 因为，所以， 设，则， 又因为， 所以是以2为首项，4为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）变形为，进而利用等比数列定义证明即可； （2）先求得，然后结合等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， 所以 . 17. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点. 所以点为的中点， 又因为点为的中点， 所以， 又平面，平面 所以平面 （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）连接，证明点为的中点即可证明，再根据线面平行判定定理即可证明； （2）结合题意，过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，利用坐标法求解即可； （3）设，则，利用点满足即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为中点，所以，且， 过作平面，以为原点，分别为轴的正方向， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 设，则，， 由在平面内可知，即，解得， 所以存在点，当时，点在平面内. 18. 如图，抛物线（）上一点到轴的距离是到焦点距离的一半，（）是轴上一点，过点作直线交抛物线于，两点. （1）求抛物线的方程； （2）若，求线段中点的轨迹方程； （3）过点作抛物线的另一条弦，若直线与轴交于点，连接，，求证：. 【答案】（1） （2） （3） 设，， 则，同理， 又，、、三点共线， ，可得， 整理得，则，. 设方程为，由，得， 则，，同理：， ， . 【解析】 【分析】（1）由题意求得，进而可求抛物线的方程； （2）由，设其方程为，联立方程后,结合韦达定理及中点公式,可得弦中点的轨迹方程； （3）设，，，由题意可得，进而计算可得，进而可求得，设方程为，与抛物线方程联立，结合根与系数的关系，计算可得，进而可得结论. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故该抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设方程为，， 由，得， 则，， 设中点，则， 消去得，，中点的轨迹方程为. 【小问3详解】 略 19. 已知函数，其中且. （1）当时，证明：； （2）讨论的单调性； （3）求证：对任意的且，都有：. 【答案】（1） 当时，，， 要证明，即证，即， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，即， . （2） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3） 由（1）可得，（当且仅当时等号成立）， 令，，则， ， ， . 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明； （2）求得，对参数进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性； （3）根据（1）中所求得，结合累加法即可求证结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，，，在上单调递减， ，，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳泉市2025～2026学年度第一学期期末教学质量监测试题 高二数学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 顶点在原点，焦点是的抛物线方程（ ） A. B. C. D. 2. 若圆：上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 4. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 6. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（ ） A. B. C. D. 7. 设数列的通项公式为，（），若数列是递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是椭圆：与双曲线的公共焦点，，分别是和在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 当时，方程可以表示的曲线有（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”.卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线.设卡西尼曲线的两定点为和，常数为（）.则给出下列四个结论正确的是（ ） A. 曲线一定过原点 B. 曲线一定关于坐标轴对称 C. 当且仅当时，曲线上存在到，距离相等的点 D. 曲线上存在点使得的面积大于 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.） 12. 已知直线与圆相交于，两点，则______. 13. 甲、乙两物体分别从相距的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动，以后每分钟比前一分钟多运动，乙每分钟运动.甲、乙开始运动后______分钟相遇？ 14. 如图，某绿色蔬菜种植基地在处，现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去，已知，，，在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线的方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且在处的切线方程是． （1）求实数，的值； （2）求函数的单调区间和极值． 16. 已知数列中，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. 如图，抛物线（）上一点到轴的距离是到焦点距离的一半，（）是轴上一点，过点作直线交抛物线于，两点. （1）求抛物线的方程； （2）若，求线段中点的轨迹方程； （3）过点作抛物线的另一条弦，若直线与轴交于点，连接，，求证：. 19. 已知函数，其中且. （1）当时，证明：； （2）讨论的单调性； （3）求证：对任意的且，都有：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $