广东省清远市清城区松岗中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年广东省清远市清城区松岗中学九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.某种零件模型如图所示，该几何体空心圆柱的主视图是(    ) A. B. C. D. 3.在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中.通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，则袋中红球约有(    ) A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 12个 4.把2m长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为(    ) A. B. C. D. 5.下列说法正确的是(    ) A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6.如图，下列条件不能判定与相似的是(    ) A. B. C. D. 7.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，若，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为(    ) A. 或 B. 或 C. D. 10.二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若与相似，相似比为3：2，则对应周长的比为        . 12.已知m是方程的一个根，则的值为        . 13.若，且，则        . 14.把二次函数变形为的形式，则的值为        . 15.如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，其中，，每个三角形都以点O为顶点.若是第一个小于的角，则n的值为        参考数据：，，，， 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题7分 解方程：； 17.本小题7分 已知抛物线与x轴的一个交点为点，与y轴的交点为点 求抛物线的解析式； 求y的最值. 18.本小题7分 水果店张阿姨以2元/千克的价格购进某种水果若干，然后以4元/千克的价格出售，每天可售出100千克.通过调查发现，这种水果的单价每降低元，每天可多售出20千克.为保证每天至少售出260千克，张阿姨决定降价销售. 若将这种水果的单价降低x元，则每天的销售量是______千克；用含x的代数式表示 销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将单价降至多少元？ 19.本小题9分 如图，为锐角三角形，AD平分 请用无刻度的直尺和圆规作AD的垂直平分线、分别交AB，AC于点E，F，连接DE、保留作图痕迹，不写作法 在的条件下，求证：四边形AEDF是菱形. 20.本小题9分 3月14日是国际数学日.某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：数字猜谜；数独；魔方；点游戏；数字华容道.该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计每位学生必选且只能选一类，并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示. 根据上述信息，解决下列问题. 本次调查总人数为______，并补全条形统计图要求在条形图上方注明人数； 若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； 该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率. 21.本小题9分 马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形与正方形ABCD的边长相等．在正方形绕点O旋转的过程中，与AB相交于点M，与BC相交于点N，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系． 小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的______”； 马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABCD中，，，连接若，求四边形ABCD的面积．请你帮小颖解答这道题． 22.本小题13分 【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时；小明用了如下的思路方法计算出了的值.如图1，在中，，，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则，，，设，则，， 【类比探究】仿照小明的思路，可以计算出______； 如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出______，______； 【拓展应用】在实际生活中，如图3，为了测量一棵树AB的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，，然后她向后退到处，测得此时的仰角为，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线即点C、、共线且与地面DB平行，若小红眼睛到地面的距离为米即，后退与前进的距离之和为21米即米，请求出这棵树AB的高度. 23.本小题14分 生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决.也可以从“图形”的角度来研究. 某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系.小组成员进行了如下研究： 【问题探究】 设矩形的长和宽分别为x，y，当时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽；如果不存在，请你说明理由. 从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为，从矩形的周长为10可得到y与x的函数关系式为：______，将满足要求的可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标.观察图象可看出交点坐标为______，即当矩形面积为4周长是10时，这样的矩形是存在的. 根据上述方法请直接写出m的取值范围______. 【拓展应用】 我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图2，函数的图象G经过点，直线l：与图象G交于点B，与y轴交于点记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域不含边界为若区域W内恰好有4个整点，结合图象请直接写出b的取值范围______. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，则A符合题意， 中含有2个未知数，则B不符合题意， 中未知数的次数是1，则C不符合题意， 不是整式方程，则D不符合题意， 故选： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此逐项判断即可． 本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：从正面看是一个矩形被分成三部分，分割线是虚线， 故选： 根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3.【答案】B  【解析】解：个， 答：袋中红球约有6个， 故选： 利用频率估算概率，总个数乘以红球的频率即可估算红球个数． 本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握其运算． 4.【答案】A  【解析】解：黄金分割后较长线段的长为 ， 故选： 根据黄金分割定义，较长部分与全长之比为，先求较长部分，再求较短部分即可． 本题考查了黄金分割的定义，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：A、对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，故错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误； C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故错误； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意， 故选 利用菱形的判定定理、矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了矩形的判定、菱形的判定的知识，解题的关键是掌握两个特殊四边形的判定方法，难度不大． 6.【答案】C  【解析】解：由图得： 当或或AE：：AB时，与相似； 也可AE：： C选项中角A不是成比例的两边的夹角． 故选： 本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 此题考查了相似三角形的判定： ①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 7.【答案】C  【解析】解：根据题意得， 解得， 即k的取值范围为 故选： 利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记：对于一元二次方程时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：如图，，，， ， 则的值为， 故选： 根据正切的定义解答即可． 本题考查的是锐角三角函数的定义，关键是相关定义的熟练掌握． 9.【答案】A  【解析】解：位似中心O为原点，位似比为2， 点的对应点坐标满足：或 ， 坐标为或， 故选： 位似变换中，以原点O为位似中心，放大倍数为2时，对应点坐标可能同向或反向，因此有两种情况，据此求解即可． 本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或 10.【答案】A  【解析】解：由条件可知，，， 一次函数经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限， 故选： 根据二次函数图象得出，，，即可解答． 本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象、一次函数的图象以及反比例函数的图象与系数的关系． 11.【答案】3：2  【解析】解：与相似，相似比为3：2， 对应周长的比为3：2， 故答案为：3： 根据相似三角形周长的比等于相似比可以解答本题． 本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确相似三角形周长的比等于相似比． 12.【答案】5  【解析】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为： 根据题意可得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13.【答案】12  【解析】解：由可得， ， ， 故答案为： 根据比例的性质进行解答即可． 本题考查了比例的性质：内项积等于外项积；合比性质；分比性质；等比性质． 14.【答案】4  【解析】解：， 二次函数变形为的形式， ，， 故答案为： 先把二次函数化为顶点式，再求出h，k的值，进而可得出结论． 本题考查的是二次函数的三种形式，熟知二次函数的顶点式是解题的关键． 15.【答案】10  【解析】解：由题意可得， ，，，…，， ， 是第一个小于的角，， ， 解得， 为整数， ， 故答案为： 根据题意和锐角三角函数，可以求得n的取值范围，再根据n为整数，即可得到n的值． 本题考查解直角三角形、勾股定理、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，求出n的值． 16.【答案】，   【解析】解：， ， 或， ，； 直接利用因式分解法解答即可； 先把各特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可． 本题考查的是解一元二次方程，特殊角的三角函数值，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 17.【答案】    【解析】与x轴的一个交点为点，与y轴的交点为点 ， 解得， ； ，， 当时，y取最小值为 根据与坐标轴的两个交点，使用待定系数法进行解答即可； 将求得的解析式，化成顶点式即可完成解答． 本题考查了二次函数的解析式，掌握待定系数法以及二次函数的一般式化成顶点式是解答本题的关键． 18.【答案】  张阿姨需将单价降至3元  【解析】解：将这种水果的单价降低x元，则每天的销售量是千克 故答案为： 设这种水果的单价降价x元． 则根据题意列一元二次方程得，， 整理得，， 解得， 当时，每天的销售量为千克； 当时，每天的销售量为千克 保证每天至少售出260千克， ，此时单价为元 答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将单价降至3元． 由于这种水果的单价每降低元，每天可多售出20千克，即可得到单价每降低1元，每天可多售出200千克，当单价降低x元时，每天可多售出200x千克，即可求解； 根据每千克水果的利润乘以销售量等于总盈利列出方程，求解并根据条件取舍即可解答． 本题考查列代数式，一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解题的关键． 19.【答案】图形如图所示：   垂直平分线段AD， ，， ， 又平分， ， ， ， 同法可证， 四边形AEDF为平行四边形． ， 四边形AEDF为菱形  【解析】解：图形如图所示： 证明：垂直平分线段AD， ，， ， 又平分， ， ， ， 同法可证， 四边形AEDF为平行四边形． ， 四边形AEDF为菱形． 根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； 证明，，得到四边形AEDF为平行四边形，根据菱形的判定定理得到结论． 本题考查了作图-复杂作图，菱形的判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，正确地作出图形是解题的关键． 20.【答案】200人  估计该校参加魔方游戏的学生人数为900人   【解析】解：本次调查总人数为人， 选择D类的学生人数为人， 补全条形统计图如下： 故答案为：200人； 用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比可得： 人， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数为900人； 画树状图如下图： 由树状图可知，共有12种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有8种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； 用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； 利用画树状图法求解即可． 本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． 21.【答案】解：； 过A作，交CD的延长线于E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ，   【解析】解：四边形ABCD是正方形，四边形是正方形， ，，，， ， ， ≌， ， 故答案为：； 见答案. 证明≌，可得结论，则可得出； 过A作，交CD的延长线于E，证明≌，得到，与的面积相等；求出的面积即可解决问题． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 22.【答案】   这棵树AB的高度为米  【解析】解：如图1，，，在BC上截取， ， ， 设， ， ， 故答案为：； 如图，在中，，，设，作的角平分线BD，在BC上截取， ，，， 设，则， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：， ， ， ， 如图，在中，，设，，在BC上截取， ，， ， 设，，则， 在直角三角形ACE中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 故答案为：，； 如图3，延长CF交AB于H， 结合题意得：，米，米，米， ， ， 同理，， ，，， 设米，米， 则米，米，米，米， ， 解得， 米，米， 米， ， 解得：， 米，即树的高度为米． 答：这棵树AB的高度为米． 如图1，在BC上截取，根据等腰三角形的性质得到，求得，设，得到，根据三角函数的定义即可得到结论； 如图，在中，，，设，作的角平分线BD，在BC上截取，设，则，根据勾股定理得到，求得，得到，根据三角函数的定义得到，如图，在中，，设，，在BC上截取，设，，则，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论； 如图3，延长CF交AB于H，结合题意得到，米，米，米，求得，同理，，设米，米，得到米，米，米，米，求得，得到，根据题意列方程即可得到结论． 本题属于三角形综合题，主要考查的是解直角三角形的实际应用，勾股定理，读懂题意，构建相应的直角三角形是解题的关键． 23.【答案】这样的矩形存在，长为4，宽为1；理由如下： 当矩形周长时，， 矩形面积， ， 联立得， 解得：舍去，， 矩形的长为4，宽为1； ，或； ；   【解析】解：见答案； 由矩形的周长为10，得：， ， 在同一坐标系中画出函数和的图象，如图1， 观察图象可知：函数和的图象有2个交点或，故这样的矩形存在． 故答案为：，或； 当矩形的面积为4，周长为m时，函数和有交点， 即有实数根， ， 或舍去， 故答案为：； 如图2， 当直线经过时，区域内部有3个整数点、、， 此时，， 当直线经过时，区域内部有4个整数点、、，， 此时，， ， 当区域W内恰好有4个整点时，； 故答案为： 根据矩形的周长和面积可得，解方程组即可求得答案； 根据矩形的周长公式可得，画出反比例函数和一次函数的图象，观察图象即可得出答案； 由题意得：函数和有交点，即方程有实数根，利用根的判别式即可求得答案； 画出图象，结合图象即可得出答案． 本题是一次函数与反比例函数图象综合题，考查了一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的周长和面积等，画出图象并利用图象解决问题是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $