第6章 数学建模 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第6章　数学建模 一、必备知识基础练 1.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N+),若每台产品的售价为25万元,且销量等于产量,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 2.为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中需要对文件加密.有一种加密密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).现在加密密钥为y=kx3,若明文“4”通过加密后得到密文“2”,则接收方接到密文“”,解密后得到的明文是(　　) A. B. C.2 D. 3.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据. x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数: ①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x. 请从中选择一个模拟函数,使它比较近似地反映这些数据的规律(　　) A.① B.② C.③ D.④ 4.(多选题)某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(单位:千元)、乙厂的总费用y2(单位:千元)与印制证书数量x(单位:千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则(　　) A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元 B.甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1 C.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1元 D.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=x+ 5.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0)(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 6.经过数据分析得到某山区农户年总收入(单位:元)与各项投入(单位:元)之间的关系是:农户年总收入y=1 200+4.1×年扶助资金+4.3×年自投资金+900×自投劳力个数.若一个农户家中只有两个劳力,2018年自投资金5 000元,以后每年的自投资金均比上一年增长10%,2020年获得的扶助资金为30 000元,以后每年获得的扶助资金均比上一年减少5 000元,则该农户在2025年的年总收入约为　　　　元(1.15≈1.6).  二、关键能力提升练 7.“道高一尺,魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高一丈,性乱情昏错认家,可恨法身无坐位,当时行动念头差”,用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶.已知一丈等于十尺,若用下列函数中的一个来表示这句话的含义,则最合适的是(　　) A.y=10x,x>0 B.y=x,x>0 C.y=x+10,x>0 D.y=x+9,x>0 8.(多选题)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比.若在距离车站10 km处建仓库,则y1为1万元,y2为4万元,下列结论正确的是(　　) A.y1=(x>0) B.y2=0.4x(x>0) C.y1+y2有最小值 D.y1-y2无最小值 9.某种核酸检测分析是用荧光定量PCR法,通过化学物质的荧光信号,对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测,在PCR扩增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时,DNA的数量Xn与扩增次数n满足lg Xn=nlg(1+p)+lg X0,其中p为扩增效率,X0为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增10次后,数量变为原来的100倍,那么该样本的扩增效率p约为　　　　.(参考数据:100.2≈1.585,10-0.2≈0.631)  10.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的16%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元). (1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型; (2)如果业务员老张获得5.6万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元? 11.小明有100万元的闲置资金,计划进行投资.现有两种投资方案可供选择,这两种方案的回报如下:方案一——每月回报投资额的2%;方案二——第一个月回报投资额的0.25%,以后每月的回报比前一个月翻一番.小明计划投资6个月. (1)分别写出两种方案中,第x月与第x月所得回报y(单位:万元)的函数关系式. (2)小明选择哪种方案总收益最多?请说明理由. 12.环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车,在一段平坦的国道进行测试,国道限速80 km/h(不含80 km/h).经多次测试得到,该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位: km/h)的下列数据: v 0 10 40 60 M 0 1 325 4 400 7 200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择: M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=1 000+a,M(v)=300logav+b. (1)当0≤v<80时,请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型,并求出相应的函数解析式; (2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地,A到B地是200 km的国道,问如何行驶才能使得总耗电量最少,最少为多少? 三、学科素养创新练 13.某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y=f(x)时,该公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25,1 600]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤90恒成立;③f(x)≤恒成立. (1)现有两个奖励函数模型:①f(x)=x+10;②f(x)=2-6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求? (2)已知函数f(x)=a-10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围. 参考答案 1.C　设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,x∈N+).令f(x)≥0,得x≥150,所以生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C. 2.A　由已知,可得当x=4时,y=2,所以2=k·43,解得k=,故y=x3.令y=x3=,即x3=,解得x=.故选A. 3.D　根据表中数据,画出图象如下: 通过图象可看出,y=log 2x能比较近似地反映这些数据的规律. 4.ABD　由题图知甲厂制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元,故A正确; 设甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系式为y=kx+b,代入点(0,1),(6,4),可得解得k=0.5,b=1,所以甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系式为y1=0.5x+1,故B正确; 当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5元,故C不正确; 设当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n, 代入点(2,3),(6,4),可得解得m=,n=,所以当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=x+,故D正确. 5.B　设至少要洗x次,则1-x≤, ∴x≥≈3.322,因此至少需洗4次.故选B. 6.57 900　由题意,2025年的自投资金为5 000×1.15≈5 000×1.6=8 000(元), 2025年的扶助资金为30 000-5×5 000=5 000(元), 所以该农户2025年的年总收入约为1 200+4.1×5 000+4.3×8 000+900×2=57 900(元). 7.A　因为一丈等于十尺,所以“道高一尺魔高一丈”更适合用y=10x,x>0来表示.故选A. 8.BCD　对A,设y1=(k1≠0,x>0),由题意知函数过点(10,1),即k1=10,∴y1=(x>0),故A错误; 对B,y2=k2x(k2≠0,x>0),由题意得函数过点(10,4),即4=10k2, 解得k2=0.4,∴y2=0.4x(x>0),故B正确; 对C,y1+y2=+0.4x≥2=4,当且仅当=0.4x,即x=5时等号成立,故C正确; 对D,∵y1-y2=-0.4x在(0,+∞)上单调递减,故y1-y2无最小值,故D正确.故选BCD. 9.0.585　由题意知,lg(100X0)=10lg(1+p)+lg X0, 即2+lg X0=10lg(1+p)+lg X0, 所以1+p=100.2≈1.585, 解得p≈0.585. 10.解(1)由题意得y= (2)由x∈(0,10],0.16x≤1.6,而y=5.6, ∴x>10. 因此1.6+2log5(x-9)=5.6, 解得x=34(万元). ∴老张的销售利润是34万元. 11.解(1)设第x月所得回报为y万元, 则方案一:y=100×2%=2(x∈N+且x≤6); 方案二:y=100×0.25%×2x-1=2x-3(x∈N+且x≤6). (2)两个方案每月的回报额列表如下: x/月 方案一:y/万元 方案二:y/万元 1 2 0.25 2 2 0.5 3 2 1 4 2 2 5 2 4 6 2 8 若选择方案一,则总回报为2×6=12(万元); 若选择方案二,则总回报为0.25+0.5+1+2+4+8=15.75(万元). 故选择方案二总收益最多. 12.解(1)对于M(v)=300log av+b,当v=0时,它无意义,所以不合题意; 对于M(v)=1 000+a,它显然是个减函数,这与M(40)<M(60)矛盾; 故选择M(v)=v3+bv2+cv. 根据提供的数据,有 解得 当0≤v<80时,M(v)=v3-2v2+150v. (2)国道路段长为200 km,所用时间为 h, 所耗电量为f(v)=·M(v)=·(0.025v3-2v2+150v)=5×(v2-80v+6 000)=5×(v-40)2+22 000, 因为0≤v<80,当v=40时,f(v)min=22 000 Wh; 故当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h,该车从A地到B地的总耗电量最少,最少为22 000 Wh. 13.解(1)对于函数模型f(x)=x+10,验证条件③:当x=30时,f(x)=12,而=6,即f(x)≤不成立,故不符合公司要求; 对于函数模型f(x)=2-6,当x∈[25,1 600]时,条件①f(x)是增函数满足; ∴f(x)max=2-6=2×40-6=74<90,满足条件②; 对于条件③:记g(x)=2-6-(25≤x≤1 600), 则g(x)=--5)2-1. ∵∈[5,40],∴当=5时,g(x)max=-(5-5)2-1=-1≤0,∴f(x)≤恒成立,即条件③也成立. 故函数模型f(x)=2-6符合公司要求. (2)∵a≥2,∴函数f(x)=a-10符合条件①; 由函数f(x)=a-10符合条件②,得a-10=a×40-10≤90,解得a≤; 由函数f(x)=a-10符合条件③,得a-10≤对x∈[25,1 600]恒成立, 即a≤对x∈[25,1 600]恒成立. ∵≥2, 当且仅当, 即x=50时等号成立, ∴a≤2. 综上所述,实数a的取值范围为[2,]. 7 学科网（北京）股份有限公司 $