精品解析：江西省宜春市2025-2026学年上学期高三期末考试数学试卷

宜春市2025－2026学年上学期高三期末考试 数学试卷 （宜春市教育教学研究中心命制） 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、空间向量与立体几何、数列、解析几何. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知抛物线，为的焦点，为上的点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. R C. D. 5 已知单位向量，满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知函数存在两个极值点，满足，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.已知数列的首项，满足，则数列的聚点的值为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列关于的说法正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 是的一个对称中心 C. 直线是的一条对称轴 D. 在区间上单调递增 10. 已知在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 三棱锥的体积有最小值 D. 三棱锥的外接球的表面积是 11. 若定义域为R的奇函数满足，且时，则（ ） A B. 当时， C. 至少有3个实根 D. 在区间上不可能单调 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则的所有非空子集的个数为________. 13. 已知，则的取值范围是________. 14. 已知双曲线的左顶点，直线与的右支交于一点，点关于轴对称的点为.若，则的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，求的极值. 16. 在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足. （1）求角； （2）若，求的面积的最大值. 17. 若数列的前项积为，满足且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列前项和为，证明：. 18. 如图，四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，为的中点，平面平面. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）在平面内是否存在一点，使得直线平面，若不存在，请说明理由；若存在，说明点的轨迹，并求出轨迹和点所确定的平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，直线与交于A，B两点，直线与交于M，N两点，为坐标原点. （1）求的方程； （2）若直线OM，ON的斜率之积为，求的值； （3）若，判断梯形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春市2025－2026学年上学期高三期末考试 数学试卷 （宜春市教育教学研究中心命制） 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、空间向量与立体几何、数列、解析几何. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出即可得对应点的位置. 【详解】因为，所以， 所以复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由全称量词命题否定为存在量词命题改写命题即可. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 故命题，的否定为，. 故选：B. 3. 已知抛物线，为的焦点，为上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】因为为上的点，所以， 解得，故. 故选：A. 4. 已知，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. R C. D. 【答案】B 【解析】 分析】利用换元法求，结合导数可求单调增区间. 【详解】令，则，得，即， 则函数定义域为R且，所以函数在R上单调递增. 函数的单调递增区间为R. 故选：B. 5. 已知单位向量，满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由单位向量结合三角形法则得出，由数量积求即可. 【详解】因为单位向量，满足， 设，，则, 由题意，向量与的夹角为， 即在中，,又，即， 故为等边三角形，所以， ， 所以， 故选：C. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据余弦定理求A的值，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简即可得出结果. 【详解】由余弦定理及，得，即，所以， 所以. 故选：D. 7. 已知函数存在两个极值点，满足，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由极值点处导数值为0，化简得到，，又因为，解得，，所以. 【详解】由，得， 令，则， 不是方程的解，由可得， 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ，，当时，， 当时，，当时，， 由条件可得， 因为存在两个极值点，，所以，， 又因为，所以，， 所以，解得，， 所以. 故选：C. 8. 定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.已知数列的首项，满足，则数列的聚点的值为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知递推公式推导出数列是等比数列，进而得到数列的通项公式，再根据数列的聚点的概念求出聚点的值. 【详解】由，得，又，故， 所以数列是以为首项、为公比的等比数列， 所以，即， 对于，当足够小时，，取，（为的整数部分）， 则，有 ，故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列关于的说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 是的一个对称中心 C. 直线是的一条对称轴 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质，分别对函数的最小正周期、对称中心、对称轴以及单调性进行分析. 【详解】函数的最小正周期是，故A正确； 的对称中心为，，令，得，故B错误； 令，，即，，当时，，故C正确； 因为，，即，， 所以的单调递增区间为，， 当时，的单调递增区间为， 因为，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 三棱锥的体积有最小值 D. 三棱锥的外接球的表面积是 【答案】BD 【解析】 【分析】由平面，又平面与平面相交即可判断A，利用线面平行的判定定理即可判断B，设，，则，利用基本不等式和三棱锥的体积公式即可判断C，设三棱锥的外接球的半径为，求出，利用球的表面积公式即可判断D. 【详解】如图，在正方体中，因为，，， 所以平面，又平面与平面相交，所以平面错误，故A错误； 由E，F分别是棱，上的动点，平面，平面平面， 所以平面，故B正确； 设，，则，故，当且仅当时，等号成立， 所以，故C错误； 设三棱锥的外接球的半径为，则，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积是，故D正确. 故选：BD. 11. 若定义域为R的奇函数满足，且时，则（ ） A. B. 当时， C. 至少有3个实根 D. 在区间上不可能单调 【答案】ACD 【解析】 【分析】取并结合奇函数性质可判断A；当时，用代入已知关系式，结合奇函数性质可推导出新的关系式，进而判断B；利用新关系式寻找特殊点使得函数值为0，结合奇函数性质可判断C；通过计算区间内多个点的函数值并比较大小，可判断D. 【详解】在中取得，所以，故A正确； 当时，，所以，即，所以，故B错误； 因为是定义域为的奇函数，所以，当时，令，得，把代入中得，所以0，又，所以至少有3个实根，故C正确； 由，得，即，因为，且， 由于 且 ，所以函数在区间上不单调，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则的所有非空子集的个数为________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据交集运算求出集合中元素个数即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以的所有非空子集的个数为. 故答案为：3 13. 已知，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】通过代数变形与不等式性质，将已知条件转化为关于的关系式，结合基本不等式，进而确定其取值范围. 【详解】， 即， 解得， 又， 即， 解得或. 综上，得或， 即0或. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左顶点，直线与的右支交于一点，点关于轴对称的点为.若，则的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用两角差的正切结合点在双曲线上化简后可得基本量关系，从而可求离心率. 【详解】设，，，则，， 又，则，， 所以 ①. 因为点在上，所以，则②， 将②代入①得，所以， 即，所以的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，求的极值. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）求出、后可求切线方程； （2）求出函数的导数后讨论其符号可得函数的极值. 【小问1详解】 当时，，，则， 则，， 故所求切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，，则， 令，得，故在区间上单调递增； 令，得，故在区间上单调递减， 所以的极小值为，无极大值. 16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求角； （2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角变换公式可得，从而可求； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求，从而可求面积的最大值. 【小问1详解】 由，得， 即，即，即， 又是锐角三角形，所以，所以， 故，即. 【小问2详解】 由余弦定理得， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 17. 若数列的前项积为，满足且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件得到与的关系，进而求出数列的通项公式，从而求出的通项公式； （2）先根据的通项公式求出的表达式，然后利用裂项相消法求出，最后证明. 【小问1详解】 当时，， 当时，，，所以， 所以数列从第2项开始是以为首项、2为公比的等比数列. 所以，即； 当时，不符合上式. 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 所以得证. 18. 如图，四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，为的中点，平面平面. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）在平面内是否存在一点，使得直线平面，若不存在，请说明理由；若存在，说明点的轨迹，并求出轨迹和点所确定的平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点的轨迹是过点且与平行的直线， 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为菱形，，再证明垂直于平面，根据面面垂直判定定理进行证明； （2）以OA，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在平面法向量上的投影长度的绝对值就是点到平面的距离； （3）通过平面求出点的轨迹方程，进而确定点的轨迹，用平面与平面的法向量求夹角的余弦值. 【小问1详解】 证明：如图，连接，因为为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，又因为， 所以四边形为菱形，， 同理，所以， 因为平面，平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以的中点为坐标原点，易知OA，OE，OP两两相互垂直，以OA，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则即 令，得，， 则平面的一个法向量为. 则点到平面的距离. 【小问3详解】 假设在平面内存在一点使得直线平面， 设点坐标为，由，则. 因为平面，所以，即， 所以点的轨迹是一条直线，当时，；当时，， 延长AD，BC交于点，则，， 所以，所以点的轨迹是过点且与平行的直线. 设点的轨迹和点所确定的平面为，的法向量为， 则即 令，得，则平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，直线与交于A，B两点，直线与交于M，N两点，为坐标原点. （1）求的方程； （2）若直线OM，ON的斜率之积为，求的值； （3）若，判断梯形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）根据所给条件列方程求出，即可写出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理写出、，进而求出，由两直线斜率之积为列方程求解k； （3）联立直线AB的方程与椭圆方程求出直线AB与椭圆交点的横坐标，利用两点间的距离公式分别表示出、，由可用k表示出t，最后代入梯形的面积公式进行化简即可求得定值. 【小问1详解】 设的半焦距为， 由题意得，解得 所以的方程为. 【小问2详解】 设，，联立直线与椭圆的方程 可得， ，可得， 由韦达定理可得， 所以 ， 因为直线OM，ON的斜率之积为， 所以，解得. 【小问3详解】 设，， 联立直线与椭圆的方程得得， 则，， 直线到直线的距离为， ， 因为，所以， 解得， 所以 所以梯形的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $