精品解析：天津市滨海新区2025-2026学年度高二第一学期期末检测卷数学试题

滨海新区2025-2026学年度第一学期期末检测卷 高二年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第I卷选择题（60分） 一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内. 1. 已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 3. 双曲线渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 若1，，，5依次成等差数列，1，，4依次成等比数列，则的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 或3 D. 或4 7. 圆与圆位置关系是（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 内含 8. 已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 12. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则有下列说法： ①若，，则平面； ②若，，则平面； ③若，则到平面的距离为； ④若，时，直线与平面所成角为，则 以上说法中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 第II卷（90分） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共90分. 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 过点且垂直于直线方程是_____. 14. 向量与共线，则_____. 15. 已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________． 16. 已知数列满足，，则_____. 17. 已知等差数列的公差为,若成等比数列,则=_________，数列的前项和的最小值是_________ 18. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则点的横坐标为____________，的面积为____________． 19. 角谷猜想又称冰雹猜想，指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.如取正整数，根据上述运算法则得出：，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（为正整数）， （i）若，则使得至少需要_____步雹程； （ii）若，则所有可能取值的和为_____. 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的右支上存在一点，满足，与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的离心率的值为_____；若的面积为6，则双曲线的方程为_____. 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知圆的圆心为，经过点. （1）求圆的方程； （2）若直线过点（2，2），与圆交于，两点，，求直线的方程. 22. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，为中点. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面和平面夹角的余弦值. 23. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上， （1）求椭圆的方程； （2）若为直线上一点，过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），过点作垂直于交直线于点，证明点在定直线上. 24. 已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列.数列的前项和，且满足. （1）求，的通项公式： （2）对任意的，将数列中落入区间内的项的个数记为， （i）求数列的通项公式； （ii）若，求数列的前项的和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨海新区2025-2026学年度第一学期期末检测卷 高二年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第I卷选择题（60分） 一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内. 1. 已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方程可得直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】由，可得直线的斜率，设该直线的倾斜角为，， 所以，所以. 故选：B. 2. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程. 【详解】， 抛物线的准线方程为， 即，故选A 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程公式即可得到答案. 【详解】双曲线中，则， 故其渐近线方程为. 故选：B. 4. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角坐标系的性质求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是. 故选：D. 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用两直线平行关系求出m，然后利用条平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 则直线与直线之间的距离是. 故选：C 6. 若1，，，5依次成等差数列，1，，4依次成等比数列，则的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 或3 D. 或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及等比中项求值. 【详解】由题意可得，，，则， 故的值为或3. 故选：C 7. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆心距和半径之间的关系判断. 【详解】即，圆心，半径， 的圆心，半径， 则， 故两圆的位置关系是外切. 故选：A 8. 已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，连接，可得. 故选：D. 9. 已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据三角形中的关系，结合垂径定理求解即可. 【详解】因为为正三角形，且均与圆相切，故， ，由四边形内角和为可得. 又圆，圆心为，半径为. 故到直线的距离为. 故，解得或（舍）. 故选：C 10. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出，再代入通径公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，，解得，， 可得，所以. 故选：C. 11. 已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得，进而有的公差，则，应用裂项相消法求，最后由不等式恒成立求参数最小值. 【详解】由题设，则，又为等差数列，则其公差， 所以，故， 所以，而不等式恒成立， 所以，即实数的最小值为. 故选：B 12. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则有下列说法： ①若，，则平面； ②若，，则平面； ③若，则到平面的距离为； ④若，时，直线与平面所成角为，则 以上说法中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以点为坐标原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断命题①②③④，即可得出合适的选项. 【详解】如图，以点为坐标原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则有、、、、、、、、， 则，，， ，，． 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，故． 对于①，当，时，，此时点与点重合， 因为，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 故当，时，平面，①对； 对于②，当，时，， ，所以，即， 所以当，时，则平面，②对； 对于③，当时，， 所以点到平面距离为，③错； 对于④，当，时，， ， ， 设，其中， 任取、且，则 ， 因为，则，，所以， 所以函数在上为增函数， 因为，所以，故，④对. 故选：C. 第II卷（90分） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共90分. 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 过点且垂直于的直线方程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程即可求解斜率，根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程. 【详解】由，得，所以直线的斜率为. 所以与直线垂直的直线的斜率为， 所以过点且垂直于的直线方程为，即. 故答案为：. 14. 向量与共线，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解】因为向量与共线，设，即， 所以，解得，故. 故答案为：. 15. 已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 16. 已知数列满足，，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】代入递推关系求值即得. 【详解】由题意得，，， ，. 故答案为： 17. 已知等差数列的公差为,若成等比数列,则=_________，数列的前项和的最小值是_________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】∵成等比数列， ∴，即， 解得． ∴． 又， ∴当时，；当时，． ∴数列的前项和的最小值是． 答案： ， 18. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则点的横坐标为____________，的面积为____________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】因为抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设，则，， 因为，所以，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：3；. 19. 角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.如取正整数，根据上述运算法则得出：，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（为正整数）， （i）若，则使得至少需要_____步雹程； （ii）若，则所有可能取值的和为_____. 【答案】 ①. 9 ②. 41 【解析】 【分析】（i）根据运算法则逐一计算； （ii）根据运算法则逆向计算找出所有可能. 【详解】（i）， 故使得至少需要步雹程； （ii）若，则逆向计算，所有可能结果有，， ， 故所有可能取值为，其和为. 故答案为：； 20. 已知双曲线左、右焦点分别为，，双曲线的右支上存在一点，满足，与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的离心率的值为_____；若的面积为6，则双曲线的方程为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由双曲线的定义，结合勾股定理，可求得，.代入，可得，从而求得双曲线的离心率；由的面积为6，得的面积为12，从而求得的值，得到双曲线的方程. 【详解】连接，设双曲线的焦距为. 由双曲线的定义可知，， 因为，所以. 由，得， 所以， 所以，所以. 所以. 由题可知，，所以，即. 所以，所以. 即双曲线的离心率的值为. 若的面积为6，则的面积，. 即，所以，所以，所以. 所以双曲线的方程为. 故答案为：①，②. 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知圆的圆心为，经过点. （1）求圆的方程； （2）若直线过点（2，2），与圆交于，两点，，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离求出半径，再应用圆的标准方程求解； （2）应用圆的弦长公式计算得出，再设直线方程应用点到直线距离计算求解. 【小问1详解】 圆的半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为，且，所以 由题意可知，直线的斜率定存在， 设直线的斜率为，则的方程为，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或. 综上，的方程为或. 22. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，为的中点. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离； （3）求出平面的法向量，利用空间向量法求出两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，， ，所以. 以为原点，以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，因为为的中点，所以. 所以，，，则， 即，， 所以，，又因为，且，平面， 所以平面. 小问2详解】 由（1）可得，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设点到平面的距离为，可得 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（2）可得平面的一个法向量为， 又由（1）知平面，所以平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 23. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上， （1）求椭圆的方程； （2）若为直线上一点，过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），过点作垂直于交直线于点，证明点在定直线上. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆的方程，结合焦点坐标，列出方程组求解即可； （2）设出切线方程与椭圆方程联立，结合根与系数的关系可求出切点坐标；再求出过点的垂线，与直线联立求出点坐标后即可证得. 【小问1详解】 依题意，，，解得，，即，，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在且不为零，由（1）知，，设直线为，，则，， 由，得， 所以，由，得； 所以，所以，即； 又因为，所以，直线的方程即为； 由，得； 又与直线垂直，所以，所以直线的方程为； 由，得，即，解得；所以点在定直线上. 24. 已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列.数列的前项和，且满足. （1）求，的通项公式： （2）对任意的，将数列中落入区间内的项的个数记为， （i）求数列的通项公式； （ii）若，求数列的前项的和. 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据，，成等比数列，得到，再结合求；由，利用通项和前n项和的关系求； （2）（i）由得到，求解；（ii）由得到，再利用错位相减法求得的前项和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为是递增的等差数列，所以， 因为，，成等比数列，所以， 又因为， 所以，即， 整理得，解得或， 由于，所以， 所以，所以， 因为，所以当，， 两式相减得，即， 又因为，所以，所以为等比数列， ， 【小问2详解】 （i）由得， 解上述不等式得， 因为，所以， 所以满足不等式的的个数为：， 所以， （ii）因为 所以， 设的前项和为， ① 则② ①-②得：， ， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $