精品解析：江西省九江市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

九江市2025-2026学年度上学期期末考试 高二 数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，故可得倾斜角的正切值，故可求倾斜角. 【详解】设为直线的倾斜角，而直线方程为， 故，，． 故选：C． 2. 双曲线的焦距为是（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程确定焦距即可. 【详解】由题设，则焦距为. 故选：D 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，列式计算即得. 【详解】因为随机变量，且， 由正态分布对称性可知：． 故选：D． 4. 已知变量与的一组统计数据如下表： 2 4 5 6 8 27 42 62 72 87 若与线性相关，且关于的经验回归方程为．据此估计，当为9时，约为（ ） A. 95 B. 100 C. 105 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，求出，代入回归方程求出，进而求出回归方程，令，计算即可求解. 【详解】由题意可得，， 由于回归直线过样本的中心点， 所以，解得， 故回归方程为， 当时，． 故选：B． 5. 四面体中，若，，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据三棱锥的几何性质，作出三棱锥的高，根据侧棱相等，判断底面中心的位置，进而说明面面垂直，判断结果. 【详解】如图，过点作平面，垂足为， ，，即为的外心． 又，为的中点． ，， 平面，平面， ∴平面平面． 故选：B． 6. 2025年，江西省成功举办了城市足球超级联赛（简称赣超）．在某场比赛开始前，主办方安排了5名志愿者分别负责赛场3个不同入口的安保工作，要求每人只负责一个入口，每个入口至少有1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 150种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】将5名志愿者分成三组，有和两种分组方案，再分配计算即可. 【详解】首先，将5名志愿者分成三组，有（种）， 然后，将这三组志愿者分配到三个入口，有（种）， 利用分步乘法原理，得不同的分配方案共有（种）． 故选：C． 7. 已知双曲线的左焦点为，关于的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性求出渐近线的倾斜角，再根据渐近线的斜率得，再根据离心率公式可求出结果. 【详解】设双曲线的两条渐近线为，， ，，由对称性，不妨设关于的对称点在上， 设的倾斜角为，则，，， 则，， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，线段与椭圆交于点．若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的点坐标关系、向量线性运算和点差法求解斜率，先建立与的倍数关系，再通过向量转化将与弦中点斜率关联. 【详解】设，，，，其中，． 则，，即，， ， ． 设，中点为， 由于，则， ，，三点共线． ，，两式相减得， 整理得， ， ． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量的分布列如下，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由分布列的性质求解判断；对B，由分布列求解判断；对C，先求出，再根据均值的性质求解；对D，根据条件概率公式计算. 【详解】对于A，由分布列的性质可知：，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 10. 在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（ ） A. 当时，直线的方程为 B. 当为的中点时，直线的斜率为 C. 当面积最小时，其外接圆的方程为 D. 点在的外接圆内 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两直线垂直斜率关系和点斜式可得A；结合中点坐标和斜率公式可得B；设出截距式方程，代入点，由基本不等式确定直线方程，再得到外接圆方程可得C；将点代入外接圆方程可得D. 【详解】对于A，，，， 直线的方程为，即，A正确； 对于B，设，因为的中点，所以， 可得,，B正确； 对于C，依题意设， 过，，，， ，当且仅当，时等号成立． 外接圆方程为，即，所以C错误； 对于D，的外接圆方程为， 整理得（*）， 将点代入（*）左边，得 又因为，所以 ，当且仅当，时等号成立， 点在的外接圆内，D正确． 故选：ABD． 11. 棱长为2的正方体中，动点满足：，其中，则以下说法中正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，则.对于A，由可得，再求出平面的法向量，注意到，即可证明；对于B，验证是否为即可；对于C，根据，可知点在以为球心，的球面上，根据点到球面上的最短距离相关知识，即可判断；对于D，根据点到平面的距离公式，求出点到平面的距离，作为三棱锥的高，再求出底面的面积，根据三棱锥的体积公式，即可得解. 【详解】 可以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则. 对于A：由，得， 若，则有，得. ，，设平面的法向量为， 则有，即，取，则， 即. 又因为， 故，又因为平面， 故平面，故A正确； 对于B；，若，则， 则，则，故B正确； 对于C：，， ， 在以为球心，的球面上， 的最小值为，故C错误； 对于D：因为，，故， 又因为，故. ，设平面的法向量为， 则有，即，取，则， 即，又因为， 故点到平面的距离， 易知为边长为的等边三角形，， 则三棱锥的体积，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题、每小题5分，共15分． 12. 已知直线与直线垂直，则实数的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合直线垂直列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 则，解得． 故答案为：. 13. 展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项，求出指定项的系数即可. 【详解】由二项式性质可知的展开式的第项为， 令，得，所以展开式中的系数为． 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与相交于，两点．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点弦公式可得,进而联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理即可求解. 【详解】设，，, ，，，． 设的方程为，联立，消去整理得，， ，． 又，解得，． 故答案为：2 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年，国庆与中秋双节将至，九江市以一场盛大的文化盛宴——“欢乐国庆·九江GO”国庆中秋游园灯会，点燃了城市的节日热情．为了解九江市民对此次活动的满意情况，随机调查了来游玩的200名市民，得到下表： 性别 对此次活动的满意情况 满意 不满意 总计 女性 95 男性 35 100 总计 200 （1）将列联表补充完整，并判断：是否有的把握判断市民的满意情况与性别有关？ （2）将样本中对此次活动满意的频率作为市民对此次活动满意的概率，从市民中随机抽取3人，记为这3人中对此次活动满意的人数，求的数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 性别 对此次活动的满意度 满意 不满意 总计 女性 95 5 100 男性 65 35 100 总计 160 40 200 有关 （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意可补全2×2列联表，计算卡方即可得解； （2）得出的所有取值因为，即可得其期望. 【小问1详解】 列联表补充完整如下： 性别 对此次活动的满意度 满意 不满意 总计 女性 95 5 100 男性 65 35 100 总计 160 40 200 由列联表中的数据，得， ∴有的把握判断市民的满意情况与性别有关． 【小问2详解】 由题意，得的可能取值为0，1，2，3，满意的概率 ，， 16. 设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为． （1）求的取值范围； （2）若，求圆的标准方程； （3）求证：圆心在定直线上，并求出该直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 设圆的一般方程为， 令，得，此方程有一根为，即， 令，得，与是同一个方程，即， 所以， 设，则，，即，， 所以，即，即圆心在定直线上． 【解析】 【分析】（1）分析可知函数的图象与轴有两个交点，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）当时，求出函数的图象与两坐标轴的三个交点的坐标，求出以这三个点为顶点的三角形的外心的坐标，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设圆的一般方程为，分别令、可得出、，可得出，设，求得，，代入等式即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为二次函数的图象与两坐标轴有三个交点， 该函数的图象交轴于点，所以该函数的图象与轴有两个交点， 所以，解得且， 故的取值范围是． 【小问2详解】 抛物线与轴交点是， 当时，由，得或，即抛物线与轴交点是、． 因为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 同理可得线段的中垂线方程为， 联立得，则圆心为， 圆的半径， 故圆的标准方程为． 【小问3详解】 略 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，为中点，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连交于点，连， ，， 在中，，，， ， 又平面，平面， 平面， （2）． 【解析】 【分析】（1）连交于点，计算可得，即可证得，根据线面平行的判定定理即可证得结果； （2）由几何计算可证得，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量计算即可求平面与平面夹角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，，平面，，， 连接，，，， 又，为等边三角形， 为中点，，即． 故以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 由，得， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，得，即， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，得，，即， ． 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． （1）若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； （2）为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 【答案】（1）①0.5； ②分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 （2）第1题【解析】 【分析】（1）①利用全概率公式计算第二题的答对概率，②根据前两题的结果推导最后一题得分的 的可能取值为 、、、，计算可求得分布列； （2）分别计算在第1、2、3题求助时获奖的概率，通过比较概率大小确定最优求助策略. 【小问1详解】 设甲同学答对第题为事件， ① , ②若甲同学最后一题答错，则有4种情况， ，，，此时， ． 若甲同学最后一题答对，则有4种情况， ，，， ， ， ． 综上可知：，分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 【小问2详解】若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为， 则． 若甲第二题进行场外求助，获奖的概率为，则， 若甲第三题进行场外求助，设获奖的概率为， 则， 令， 该二次函数开口向下，对称轴为. 因为，函数的最小值在端点处取到， 即，即. ，故选择第1题求助获奖概率最大． 19. 在平面直角坐标系中，对于两点，，定义为这两点的“距离”．已知定点，，若动点满足，我们称点的运动轨迹为“椭圆”，，为“焦点”． （1）若为圆上的动点，求的取值范围； （2）探究“椭圆”的对称性（关于，轴及原点对称），并说明理由； （3）若，椭圆和“椭圆”共焦点且有公共点，求的离心率最大值（用，表示）． 【答案】（1） （2）关于轴，轴和原点均对称，理由： 设，，，， ， 设关于轴对称的点为，， 在“椭圆”上，即“椭圆”关于轴对称． 设关于轴对称的点为，， 在“椭圆”上，即“椭圆”关于轴对称． 设关于原点对称的点为， ， 在“椭圆”上，即“椭圆”关于原点对称． 综上，“椭圆”关于轴，轴和原点均对称． （3） 【解析】 【分析】（1）设，通过“距离”的定义，结合三角函数的恒等变换计算即可得出结果； （2）通过依次代入对称点坐标验证轨迹方程不变，证明对称性； （3）方法一：要使椭圆的离心率最大，因为为定值，只需求在“H–椭圆”上的最小值，讨论点在线段和上的取值，当时，求得的最小值，即可得出结果；方法二：将“H–椭圆”与椭圆E的方程联立，通过判别式求出的最小值，进而推导出离心率的最大值. 【小问1详解】 为圆上的动点，∴设， 则， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解法一：不妨设，，则． ①当时，原方程可化为， ②当时，原方程可化为，此时． 由对称性可得点轨迹如图． 不妨设椭圆和“椭圆”有公共点， 则椭圆的离心率， 依题意，下面考虑求取的最小值，利用对称性下面分以下两种情形考虑即可： （1）当点在线段上时，作出关于直线的对称点，则， 则， 当且仅当三点共线时等号成立. （2）当点在线段上时，作点关于线段的对称点，可得， 此时． 当时，， 综上：的最小值为，故的离心率的最大值为． 解法二：不妨设椭圆和“椭圆”有公共点，则． 当时，原方程可化为， ∴椭圆的离心率，，， 当时，原方程可化为，此时． 联立，得， ，，即， ∴椭圆的离心率， ，， ， 综上，的离心率的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市2025-2026学年度上学期期末考试 高二 数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的焦距为是（ ） A. B. C. 5 D. 10 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 已知变量与的一组统计数据如下表： 2 4 5 6 8 27 42 62 72 87 若与线性相关，且关于的经验回归方程为．据此估计，当为9时，约为（ ） A. 95 B. 100 C. 105 D. 110 5. 四面体中，若，，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 6. 2025年，江西省成功举办了城市足球超级联赛（简称赣超）．在某场比赛开始前，主办方安排了5名志愿者分别负责赛场3个不同入口的安保工作，要求每人只负责一个入口，每个入口至少有1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 150种 D. 240种 7. 已知双曲线的左焦点为，关于的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 在平面直角坐标系中，已知椭圆与椭圆，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，线段与椭圆交于点．若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量的分布列如下，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（ ） A. 当时，直线的方程为 B. 当为的中点时，直线的斜率为 C. 当面积最小时，其外接圆的方程为 D. 点在的外接圆内 11. 棱长为2的正方体中，动点满足：，其中，则以下说法中正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题、每小题5分，共15分． 12. 已知直线与直线垂直，则实数的值为________． 13. 展开式中的系数为________． 14. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与相交于，两点．若，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年，国庆与中秋双节将至，九江市以一场盛大的文化盛宴——“欢乐国庆·九江GO”国庆中秋游园灯会，点燃了城市的节日热情．为了解九江市民对此次活动的满意情况，随机调查了来游玩的200名市民，得到下表： 性别 对此次活动的满意情况 满意 不满意 总计 女性 95 男性 35 100 总计 200 （1）将列联表补充完整，并判断：是否有的把握判断市民的满意情况与性别有关？ （2）将样本中对此次活动满意的频率作为市民对此次活动满意的概率，从市民中随机抽取3人，记为这3人中对此次活动满意的人数，求的数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为． （1）求的取值范围； （2）若，求圆的标准方程； （3）求证：圆心在定直线上，并求出该直线方程． 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，为中点，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． （1）若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； （2）为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 19. 在平面直角坐标系中，对于两点，，定义为这两点的“距离”．已知定点，，若动点满足，我们称点的运动轨迹为“椭圆”，，为“焦点”． （1）若为圆上的动点，求的取值范围； （2）探究“椭圆”的对称性（关于，轴及原点对称），并说明理由； （3）若，椭圆和“椭圆”共焦点且有公共点，求的离心率最大值（用，表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $