精品解析：陕西汉中市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期教学质量评估 九年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟，学生直接在试题上答卷． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式的值，判断根的情况即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 2. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从上面看到的图形，即可求解． 【详解】解：该几何体的俯视图是 故选：B 3. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先由正方形的性质得到，，，然后由等边三角形的性质得到，，推出，，然后利用等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 4. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标的特征，熟知反比例函数中是解题关键． 根据反比例函数的解析式可得，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由得：， A、，则点在反比例函数的图象上，此项符合题意； B、，则点不在反比例函数的图象上，此项不符题意； C、，则点不在反比例函数的图象上，此项不符题意； D、，则点不在反比例函数的图象上，此项不符题意； 故选：A． 5. 用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．首先将方程的常数项移到等号右边得到，方程两边同时加上9，再利用完全平方公式配方即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 6. 如图，四边形的对角线平分，补充下列条件后仍不能判定和相似的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似，斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 已知平分，即，然后根据各个选项所给条件，结合相似三角形的判定定理逐一判断。 【详解】A、由平分，得到，而，判定和相似，故A不符合题意； B、由平分，得到，而，判定和相似，故B不符合题意； C、由平分，得到，由，得到，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可以判定和，故C不符合题意； D、虽然，但夹角与不一定相等，不满足相似三角形的判定条件，所以不能判定和相似，故D符合题意． 故选：D． 7. 已知，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据和判断出一次函数图象和反比例函数图象所在的象限，进而求解即可． 【详解】解：∵，且 ∴函数经过第二，三，四象限，函数经过第一，三象限． 故选：A． 8. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，为的中点，连接，若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理．由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 关于的方程的一个根是2，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，把代入方程，得，即可求解； 【详解】解：把代入方程，得， 解得：， 故答案为： 10. 小强在参观土家民居建筑时，被其中的菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图）．若的长度为2，则菱形的周长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，据此根据菱形的周长计算公式可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：8． 11. 赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表： 抽测学生数 100 300 500 700 900 1000 喜爱赋能数学课堂学生数 85 279 445 637 828 900 学生喜爱赋能数学课堂的频率 0.85 0.93 0.89 0.91 0.92 0.90 根据抽测结果，估计该校学生喜爱赋能数学课堂的概率为___________．（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近．从表格数据可知，随着抽测学生数的增加，学生喜爱赋能数学课堂的频率在0.9附近波动，因此估计概率为0.9． 【详解】解：由表可知，当抽测学生数为1000时，频率为0.90， 根据频率估计概率，可估计该校学生喜爱赋能数学课堂的概率为0.9． 故答案为：0.9． 12. 《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有_____个人． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设诸侯共有x人，则每人行礼次，又每两人都相互行礼一次，故x人共行礼次，由此列一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设诸侯共有x人，则每人行礼次， 由题意得：， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故诸侯共有6人． 故答案为：6． 13. 若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，由比例系数为负确定函数图象的象限和增减性，再根据点的横坐标大小比较函数值． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵点和的横坐标均为正数， ∴两点均在第四象限， 又∵， ∴． 故答案为：>． 14. 如图，在正方形中，分别为边的中点，与分别交于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于，利用正方形的性质求出是的中位线，得到的长，判定出，利用全等的性质和勾股定理得到，判定出，再利用相似三角形的比值关系运算求解即可． 【详解】解：过点作交于，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，中位线的判定及性质等知识点，合理做出辅助线，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 即 或 ，． 16. 已知反比例函数（为常数）． （1）若点在该反比例函数的图象上，则的值为___________； （2）当时，的值随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）将代入求解即可； （2）根据题意得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在该反比例函数的图象上， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：反比例函数（为常数），当时，的值随值的增大而减小， ． ． 17. 如图，菱形的对角线与交于点O，点E和F都在上，．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，，的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点，的对应点分别为，； （2）与的面积之比为______． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查位似图形的作图与相似三角形的性质，掌握好位似作图的方法是关键． （1）将点，的坐标在第一象限内放大3倍后得到点，，依次连接点，，即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 如图所示， 小问2详解】 由相似三角形的性质可知，与的面积比为相似比的平方， ∴． 19. 学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，针对不同学段、不同类型的学生特点创造性地开展了一系列社会实践劳动教育，构建了四大领域的跨界主题项目课程（A．田园体验课程、B．公益服务课程、C．行业讲堂课程、D．创意智造课程）、学校要求每人必须参加且只能参加一个领域的课程，为公平起见，学校制作了如图所示的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的项目课程即为他选到的课程（当指针指在分界线上时重转） （1）任意转动转盘一次，得到“A田园体验课程”的概率是______； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图可得四个区域为平分，所以直接根据概率公式求解即可得到答案； （2）根据题意列表或画出树状图，然后求得所有等可能的结果与甲乙选到不同课程的情况数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得均分成了四个区域， “A田园体验课程”占了其中一份， 所以任意转动转盘一次，得到“A田园体验课程”的概率是； 【小问2详解】 解：①根据题意列表如下： A B C D A B C D 由表可知，共有16种等可能的结果，其中选到不同课程的有12种， ∴甲和乙选到不同课程的概率是； ②根据题意可画出树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中选到不同课程的有12种， ∴甲和乙选到不同课程的概率是． 【点睛】本题考查了概率问题，用列表法或树状图法求概率，注意列表法与树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果，解题的关键是概率等于所求情况数与总情况数之比． 20. 近年来，我国大力推进青少年近视防控工作，并取得了一定成效．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． （1）求D关于f的函数表达式． （2）经过一段时间的矫正治疗，小北同学的镜片焦距由原来的0.2米调整到0.25米，则小北同学的近视眼镜度数降低了多少？ 【答案】（1） （2）小北同学的近视眼镜度数降低了100度 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的值，用原来的度数减去现在的度数，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可设，把代入得：， 所以D关于f的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， （度） 答：小北同学的近视眼镜度数降低了100度． 21. 三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度 【答案】古塔的高度为82米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意易知，，可得，；因为，推出，列出方程求出（米），由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴，， ∴，， ， ∴， ， （米）， ∵， ∴， （米）， 答：古塔的高度为82米． 22. 如图，在中，，是的中线，作于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得；再说明，最后根据两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到，最后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可解答． 【小问1详解】 证明：是的中线，， ，即， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ，即， ， 是的中线， ． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． （1）求反比例函数表达式； （2）已知点在一次函数的图象上，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质及反比例函数的性质． （1）根据题意先将点A的坐标求出，再将点A的坐标代入到反比例函数中即可求得其表达式； （2）先求出点B的坐标，再根据轴，求出点C的坐标，最终即可求得的距离． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入，即，解得， ， ∵轴， ∴点C的纵坐标为1， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 24. 2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应为每件元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率为，利用该电商平台2025年11月份吉祥物一月的销售量该电商平台2025年9月份吉祥物一月的销售量（月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价为每件元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得， 整理得， 解得， 又∵要尽量减少库存， ∴取， 答：售价应为每件元． 25. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在矩形中，，是边的中点，于点，交边于点，若，则的值为______； （2）如图②，在中，，，分别是边上的点，连接与交于点，且，求的值； 问题解决】 （3）中草药作为中医药体系的重要组成部分，其规范化种植为中医药发展提供了物质根基，更对中医文化的传承和发扬具有重要的支撑作用．如图③，李叔叔有一块空地四边形，将四边形分割成四个区域，用来种植四种不同的中药材，已知，按照规划要求，将空地的出入口设计在边上（出入口大小忽略不计），连接与交于点，且，计划沿和修建两条小路，需要知道与之间的数量关系，若，，求小路与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再得出关于的比例式，然后根据分别求得，，代入比例式中求得； （2）先证明，再得出，再证明，得出，从而可得，代入已知数据可求得的值； （3）先证明四边形和四边形是平行四边形，再得出，，，，同（2）可得，得出，再证明是等边三角形，从而可证明，得出，从而可求得，得出，解得，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， 即． ∵，， ∴， ∴的值为． （3）如图③，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作交边于点，交于点H， ∵，∴， ∴， 则四边形和四边形是平行四边形， ∴，，，． ∴， 同（2）可得， ∴． ∵， ∴设，则． 在上取一点，使得，连接． ∵，， ∴． ∴是等边三角形． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 设，则，． ∴． ∴． ∴，解得． ∴． ∴． ∴． 即小路与之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，用勾股定理解三角形，利用平行四边形的判定与性质求解，根据矩形的性质求线段长，相似三角形的判定与性质综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期教学质量评估 九年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟，学生直接在试题上答卷． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 2. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线平分，补充下列条件后仍不能判定和相似的是（） A. B. C. D. 7. 已知，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，为的中点，连接，若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 关于的方程的一个根是2，则__． 10. 小强在参观土家民居建筑时，被其中的菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图）．若的长度为2，则菱形的周长为______． 11. 赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表： 抽测学生数 100 300 500 700 900 1000 喜爱赋能数学课堂学生数 85 279 445 637 828 900 学生喜爱赋能数学课堂的频率 0.85 0.93 0.89 0.91 0.92 0.90 根据抽测结果，估计该校学生喜爱赋能数学课堂的概率为___________．（结果精确到0.1） 12. 《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有_____个人． 13. 若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为______．（填“”“”或“”） 14. 如图，在正方形中，分别为边中点，与分别交于点．若，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知反比例函数（为常数）． （1）若点在该反比例函数的图象上，则的值为___________； （2）当时，值随值的增大而减小，求的取值范围． 17. 如图，菱形的对角线与交于点O，点E和F都在上，．求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，，的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点，的对应点分别为，； （2）与的面积之比为______． 19. 学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，针对不同学段、不同类型的学生特点创造性地开展了一系列社会实践劳动教育，构建了四大领域的跨界主题项目课程（A．田园体验课程、B．公益服务课程、C．行业讲堂课程、D．创意智造课程）、学校要求每人必须参加且只能参加一个领域的课程，为公平起见，学校制作了如图所示的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的项目课程即为他选到的课程（当指针指在分界线上时重转） （1）任意转动转盘一次，得到“A田园体验课程”的概率是______； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同课程的概率． 20. 近年来，我国大力推进青少年近视防控工作，并取得了一定成效．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． （1）求D关于f的函数表达式． （2）经过一段时间的矫正治疗，小北同学的镜片焦距由原来的0.2米调整到0.25米，则小北同学的近视眼镜度数降低了多少？ 21. 三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度 22. 如图，在中，，是的中线，作于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象相交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点在一次函数图象上，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C，求线段的长． 24. 2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 25. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在矩形中，，是边的中点，于点，交边于点，若，则的值为______； （2）如图②，在中，，，分别是边上的点，连接与交于点，且，求的值； 【问题解决】 （3）中草药作为中医药体系重要组成部分，其规范化种植为中医药发展提供了物质根基，更对中医文化的传承和发扬具有重要的支撑作用．如图③，李叔叔有一块空地四边形，将四边形分割成四个区域，用来种植四种不同的中药材，已知，按照规划要求，将空地的出入口设计在边上（出入口大小忽略不计），连接与交于点，且，计划沿和修建两条小路，需要知道与之间的数量关系，若，，求小路与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $