山东济南市长清区2025-2026学年上学期九年级阶段检测 数学试题

九年级阶段检测数学参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D B A C B A A 11． （﹣9，﹣3） 12．±2 13． 14．10 15． 16．（本小题7分） 解：+4sin45°++（4﹣π）0-（﹣1）2026 ＝…………………5分 ＝．；…………………7分 17． （本小题7分） x2﹣2x﹣8＝0， x2﹣2x+1＝9， （x﹣1）2＝9．…………………3分 x1＝-2，x2＝4．…………………7分（方法不唯一） 18． （本小题7分） （1）证明：∵CD⊥AB于点D， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°，…………………1分 ∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠BCD，…………………3分 ∴△ACD∽△CBD．…………………4分 （2）解：∵△ACD∽△CBD， ∴＝，…………………5分 ∵CD＝，BD＝ ， ∴AD＝＝＝，…………………7分 19.（本小题8分）解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，…………………1分 ∵BC＝30cm，CD＝40cm， ∴BD＝BC+CD＝70（cm），…………………2分 在Rt△DBE中，∠ABC＝53°， ∴BE＝BD•cos53°≈70×0.6＝42（cm），…………………3分 ∵AB＝115cm， ∴AE＝AB﹣BE＝115﹣42＝73（cm）， 答：端点D距离地面的高度约为73cm；…………………4分 （2）过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F，过点C作CG⊥DF，垂足为G，延长GC交AB于点H， 由题意得：GH⊥AB，AH＝FG，DF＝140cm， ∴∠BHG＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BCH＝90°﹣∠ABC＝30°， ∵BC＝30cm， ∴BH＝BC＝15（cm），…………………5分 ∵AB＝115cm， ∴FG＝AH＝AB﹣BH＝115﹣15＝100（cm）， ∴DG＝DF﹣FG＝140﹣100＝40（cm），…………………6分 ∵∠BCD＝97°， ∴∠DCG＝180°﹣∠BCH﹣∠BCD＝53°，…………………7分 在Rt△DCG中，CD＝≈＝50（cm）， 答：CD的长约为50cm．…………………8分 20.（本小题8分） （1）证明：如图，连接OD， ∵AC为⊙O的切线， ∴∠CAO＝90°，…………………1分 ∵CO∥DB， ∴∠COA＝∠DBO，∠COD＝∠ODB， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠DBO， ∴∠COA＝∠COD，…………………2分 在△COA和△COD中， ， ∴△COA≌△COD（SAS），…………………3分 ∴∠CDO＝∠CAO＝90°， ∴CE是⊙O的切线；…………………4分 （2）解：∵AC＝2，， ∴， …………………5分 ∴， 由（1）知△COA≌△COD， ∴DC＝AC＝2， ∴，…………………6分 设⊙O的半径长为r，则OE＝AE﹣r＝4﹣r， 在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2， ∴， 解得r1=,r2=， 即⊙O的半径长为．…………………8分（方法不唯一） 21. （本小题9分） 解：（1）86.5，85，20；…………………3分 （2）280×+300×20%＝144（人）， 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（90＜x≤100）的用户总人数为144人；…………………5分 （3）画树状图为： …………………7分 共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，……………8分 所以两人都选择同款聊天机器人的概率为＝．…………………9分 22．（本小题10分） 解：（1）解：设矩形场地中垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（18-2x）米 由题意得：x（18﹣2x）＝36，…………………3分 解得x1＝3，x2＝6，…………………4分 ∵18﹣2x≤10， ∴x≥4． ∴x＝6．…………………5分 答：矩形场地中垂直于墙的一边长为6米 （2）解：设矩形种植场地的面积为ym2， 由题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2+18x＝﹣2（x）2，…………………8分 ∵﹣2＜0，4≤x＜9， ∴当x＝时，y最大，最大值为． 答：当x为米时，矩形种植场地的面积最大，最大值是m2．…………………10分 22. （本小题10分） 解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），将A（1，6）代入y＝得 ∴m＝6， ∴反比例函数的表达式为y＝，…………………1分 将B（n，2）代入y＝得 2＝，∴n＝3，∴B（3，2）， 将A（1，6），B（3，2）代入y＝kx+b得 ∴，解得， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+8；…………………3分 （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P， 则此时，△PAB的周长最小，…………………4分 ∵点A（1，6）， ∴E（﹣1，6）， 设直线BE的解析式为y＝mx+c， 将E（﹣1，6），B（3,2）代入得 ∴， 解得， ∴直线BE的解析式为y＝﹣x+5，…………………5分 当x＝0时，y＝5， ∴点P的坐标为（0，5）；…………………6分 （3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点， ∴直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a， ∴E（，0）．F（0，8﹣a）， ∵EF＝AB， ∴＝×， 解得a＝7或a＝9．(方法不唯一）…………………10分 24． （本小题12分） 解：（1将（2，n）代入y＝x+2得n=3，则点C（2，3），…………………1分 将点A（0，3）、C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得…………………2分 解得…………………………………………………………3分 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；…………………4分 （2）设点E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，m+2）， 则DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2， ＝＝或＝＝， 当＝＝时，无解 当＝＝时， 解得：m＝或， 故点E（，）或（，）；…………………8分 （3）点E（，）或（，）．…………………12分 25． （本小题12分） 解：（1）．…………………4分 （2）在等腰△ABC中，AB＝BC， ∴． 在等腰△APQ中，AP＝PQ， ∴． ∵∠APQ＝∠ABC， ∴∠BAC＝∠PAQ． ∴△BAC∽△PAQ． ∴． …………………5分 ∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ， ∴∠BAP＝∠CAQ．…………………6分 ∴△BAP∽△CAQ． …………………7分 ∴．∴PB·AQ =AP·CQ …………………8分 （3）如图③，连接AB， ∵四边形ADBC是正方形， ∴． ∵点Q是正方形APEF的对称中心， ∴． ∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ． ∴∠BAP＝∠CAQ． ∵， ∴△ABP∽△ACQ． ∴． ∵， ∴．…………………9分 设PC＝x，则BC＝AC＝6+x， 在Rt△APC中，AP2＝AC2+PC2，即82＝（6+x）2+x2， …………………10分 解得． …………………11分 ∵x＞0， ∴． ∴正方形ADBC的边长为．…………………12分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $九年级阶段检测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。本试题共8页，满分150 分，考试时间为120分钟。 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、 姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。） 1.如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具.如图2， 是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是() 图1 图2 A. B. C 2. 如图，若每个小正方形的边长均为1，A,B,C均在格点（网格线的交点） 上，则cosB的值是() A.1 3 B. C. 35 D. 生 5 3.如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分 面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记 录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示.小亮由此估计阴影部分面积约为( ) 4频率 0.40 0.35 01002003004005006007008009001000试验次数 图1 图2 A.2.8cm2 B.25.6cm2 C.22.4cm2 D.3.2cm2 4.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，添加一个条件一定能使△ADE∽△ACB, 则这个条件可以是( A.∠ADE=∠ABC B.DE∥BC C.超=翅 D.AE·AC=AD·AB AC AB 九年级数学试题第1页共8页 5.将抛物线y=（x~3)2-1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得 抛物线的表达式为() A.y=(x+4)2+1B.y=(x-2)2-3C.y=(x-4)2-1D.y=(x+2)241 6.如图，点A,B,C均在⊙0上，当∠A=50°时，∠OBC的度数是( ) A.40 B.35° C.30 D.25° G D 虚 D B 第4题图 第6题图 第9题图1) 线 7.下列关于反比例函数y=生，说法不正确的是(）下 A.点(2,2)、(1,4)均在其图象上 B.双曲线分布在第一、三象限 C.该函数图象上有两点A（x1,y1):B(x2,2),若x1<x2,则y1<2 侧 D.当y<-2时，x的取值范围是-2<x<0 8.在同一平面直角坐标系中，函数y=ar+bc(a≠0)和y=g(c≠0)的图 象如图所示，则函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象大致为() 要 题 A. D 9.如图，已知△ABC. 座号 (I)以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M,交AB于点N. (考生填写) 2)分别以M,N为圆心，以大于2MN的长为半径面弧，两弧在∠BAC的内部相交 于点P 打4 (3)作射线AP交BC于点D 九年级数学试题第2页共8页 (4)分别以A,D为圆心，以大于二AD的长为半径画弧，两弧相交于G,H两点. (5)作直线GH,交AC,AB分别于点E,F. 依据以上作图，若AP=3,CE=5,BD-,则CD的长是(） 2 25 9 A. B.2 C. D.4 6 2 10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，开口向上，过A(1,0),B(m,0)两点， 且-2<m<-1.下列四个结论中正确的结论有（) ①b>0: ②若m=-时，则6a+5c=0: ③若点M(x1,1),N(x2,2)在抛物线上x1<x2,且x1+x2<-1,则y1>y2: ④a≥1时，关于x的一元二次方程ar2+bx+c=-1必有两个不相等的实数根 A.①③④ B.①③ C.①②③ D.①④ 二.填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案.） 11.抛物线y=2(x+9)2-3的顶点坐标是 12.关于x的一元二次方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根，则m的值为 13.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆 被正六边形截得的DF的长为 14.如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数y=上(x>0)的图象上，4C交y 轴于点B,若点B是AC的中点，△4OB的面积为 ,则k的值为 15.如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B'处， CB'⊥AD,垂足为F.若CF=8cm,FB'=2cm,则BE的长为 cm E 第13题图 第14题图 第15题图 九年级数学试题第3页共8页 三、解答题（本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.(本小题7分)计算：()2+4sin45°+V8+(4-π)0-(-1)2026， 17.(本小题7分)解方程：x2-2x-8=0: 蚓 18.(本小题7分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：△ACD∽△CBD: (2)若CD=22,BD多求AD. D B 19.(本小题8分)随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮 流.某种手机支架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为1I5cm,BC为支杆，它可 绕点B旋转，其中BC长为30cm,CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度.（参考数据： sin53°≈0.80，c0s53°≈0.60，tan53°≈1.33) (1)如图2，当B、C、D三点共线，CD=40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角 ∠ABC为53°，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆BC,悬杆CD,使得∠ABC=60°，∠BCD=97°，如图3所示，且点D 到地面的距离为140cm,求CD的长， B B （图1) (图2) (图3) 九年级数学试题第4页共8页 20.(本小题8分)石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽 象出来的模型，AB是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，点D是⊙O上的一点，连接CD 并延长CD与AB的延长线交于点E,连接DB,已知CO∥DB. B E (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)若AC=2,tamE=2求⊙0的半径长. 短 21.(本小题9分)百度推出了“文心一言”A1聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了 “豆包”A1聊天机器人（以下简称乙款）.有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的 过 使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析， 评分分数用x表示，分为四个等级：A:60<x≤70，B:70<x≤80，C:80<x≤90，D: 90<x≤100， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,86,89， 90,90,94,95,98,98,99,100. 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84,86,87,87,87,88,90,90. 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 b 乙 86 87 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a= ,b= ，M= 九年级数学试题第5页共8页 I (2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分，请通过计算， 估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意(90<x≤100)的用户总人数. (3)DeepSeek(简称丙款)推出后引发广泛讨论.现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小 明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评，请用列表法或树状图法，求两人都选择 同款聊天机器人的概率。 乙款聊天机器人的评分扇形统计图 10% 30% A m% D C 线 22.(本小题10分) 1 为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地.为充分利用现有资源，该 矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为10m),另外三面用棚栏围成.已知栅栏的总长度为 有 18m. (1)若矩形种植场地的总面积为36m2,求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米？ 侧 (2)当矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米时，矩形种植场地的面积最大？最大面积 为多少？ 10m 木 要 釜 23.(本小题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=+b与反比例函数 1 y=严(x>0)的图象交于点A(1,6),B(n,2),与x轴，y轴分别交于C,D两点. 题 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； y (2)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请求出点P的坐标； D 座号 (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E, 考生填写) F两点，当EF=}AB时，求a的值。 九年级数学试题第6页共8页 24.（本小题12分)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,3),C（2,n)两点，直线： =+2过C点，且与y轴交于点B,抛物线上有一动点E,过点E作直线EFLx轴于 点F,交直线BC于点D (1)求抛物线的解析式， (2)如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE,BF,是否存在点E 使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请 说明理由； (3)如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE,当∠AED=∠ABC时，直 接写出此时点E的坐标。 E 1 图2 备用图 九年级数学试题第7页共8页 25.(本小题12分) 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究. 【问题发现】 (I)如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且BP=V7,连接AP,以AP 糊 为边作等边△APQ,连接CQ.则CQ的长为 【问题提出】 (2)如图②，在等腰△ABC中，AB=BC,点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等 腰△APQ,使AP=PQ,∠APQ=∠ABC,连接CQ.试说明PB·AQ=AP·CQ: 【问题解决】 (3)如图③，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF, 点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ.若正方形APEF的边长为8，CQ=3V2, 求正方形ADBC的边长. A B P 图① 图② 图③ 九年级数学试题第8页共8页