第27章相似 -模型探究（一）2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学讲义以“相似”单元为核心，通过表格系统梳理平行相似的A型（单A、双A）和X型（单X、双X）模型，明确各模型的条件与结论，构建“模型分类-条件分析-结论推导”的知识脉络，突出平行相似的重难点及内在联系。 讲义亮点在于“一题多法”和“一题多问”设计，如通过五种辅助线构造A/X型相似解决同一问题，或设置递进式问题链探究相似比与线段关系，结合正方形、平行四边形等情境培养推理意识与模型意识。分层练习适配不同学生，助力自主复习，为教师精准教学提供清晰路径。

第二十七章相似 模型探究（一) 模型探究1平行相似一)找A型 图形1单A型 图形2双A型 条件：EFIBC 条件：DEIBC 结论： ①脂- 结论：器=器=架 ②△ABC~△AER詣=架=器 类型一颠倒双A 1,如，图ADIEF IBC,AC交EF于点G,若盖=美EG=2FG,求器的值 类型二重叠双A 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=4,若正方形DEFG的顶点D在AB上，J顶点F,G 都在AC上，射线AE交BC边于点H,求CH的长 类型三线束双A 3.如图，在△ABC中，.∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点都在△ABC的边上，连接 AG,AF分别交DE于MN两点 1)求证器=器=器 (2)求证：△BGD△EFC (3)求证：MN2=DM·EN, 模型探究2平行相似二)找X型 图形1单X型 图形2双X型 条件：EFIBC 条件：DF‖AC 结论器=器=器 结论： ①能=器 ②△ABC△AER盖=怒=影 类型一单X型 1.如图，正方形ABCD的边长为2，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F,AP-FD.求 器的值 类型二线束双X 2.如图，AB‖CD,BC与AD交于点O,过点O的直线分别与AB,CD交于E,F两点.已知 BE=3,CF=5,求器的值 类型三错位双X 3.如图，P是口ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交AD于点F,交CD的延长 线于点G,且AF=2FD ()求器的值； (②)若四边形ABCD是菱形，DP=6,求GF的长 模型探究3平行相似（三构A、X型相似（一题多法） 如图，在△ACD中，E是AC的中点，直线EH交AD于点H,交CD的延长线于点B, 且BC-3BD.求器的值 方法一：过点A作CD的平行线 方法二：过点C作AD的平行线 方法三：过点D作AC的平行线 H 方法四：过点E作AD的平行线 方法五：过点A作BE的平行线 模型探究4平行相似四)构A、X型相似（一题多问） (I)在△ABC中，∠ACB=90,AC=BC,D为BC边上一点，且BC=nCD,CELAD于 点E()如图1，若n2求的值， 图 ②)如图2，n-2,延长BE交AC于点G.求器的值； 图2 (3)如图3n2,延长CE交AB于点F求票的值： 图3 (④如图4在(3)的条件下，求器的值： 图4 (⑤)如图5，延长BE交AC于点G,当G为AC的中点时，求n的值 图5 模型探究1平行相似一)找A型 1.解：设FG=a,则EG=2a .EF IIBC :△AEG△ABC,照=需= “器=铝= :BC=月EG=号×2a=5a .EFAD △CFG-△CDA “器=器= :AD=寻FG=胃a “器= 2.解~四边形DGFE为正方形， ..DGIEFIBC.DG=EF. △ADG-△ABC,△AEF-△AHC, …器=器=器 设DG=EF=X, 号=架斋= .AG=2x. “斋=2垫 ACH=等 3.证明：(I)~DEBC △ADM-△ABG, …器=器 同理器=器 器-祭 同理器=器 器=器=器 (2)r∠B+∠C=∠CEF+∠C-90°， ∠B=∠CEF 又，∠BGD=∠EFC=90° ∴.△BGD~△EFC: (3)△BGD~△EFC …器=器， 又DG=GF=EF, :DG·EF=GF2=CP.BG, 又0)可得器·器=答 ÷MN2=DM·EN 模型探究2平行相似二)找X型 1.解：设APX,则FDx,AF=2-x. 在正方形ABCD中，ABIICD, △PAF-△CDF, “部=器 :發= x2=4-2X, 解得X1=V5-1,x2=-V5-1,x0, x=5-1, 245-型=5 5-1 2 2.解：ABIICD ∴.△BOE∽△COF.△AOE一△DOF 器-器"-器 “品=器= 3.解：(1~四边形ABCD是平行四边形， ..AD=BC.ADIIBC, AF=2FD,△AFP-△CBP, “器=能=品= (2)~四边形ABCD是菱形 ∴AC平分∠BAD,AB=AD, .△APB兰△APD ..DP-BP-6, FP=BP=4, FB-FP+BP=10. ~四边形ABCD是平行四边形， ABIIDO,△DGF-△ABF …器=器=》 ·GF=BF=5 模型探究3平行相似（三）构A、X型相似（一题多法） 方法一：解过点A作AMICD,交BE的延长线于点M则△AHM~△DHB,△AEM一△CEB, ∴器-器，器-器=1， ∴AM=BC …器=㗊 .BC=3BD, 器=3， 方法二：解：过点C作CGAD,交BE的延长线于点G,则△BDH一△BCG,△AEH~△CEG, “器=器，器=器 .BC=3BD,AE=CE, ∴AH=CG, “器=器=器=3 方法三：解：过点D作DFIAC,交BE于点F,则△BDF一△BCE,△FDH一△EAH “鼎=，器=器 .BC=3BD,AE=CE. ·器=器=器=3， 方法四：解：过点E作ENIIAD,交CD于点N,则△BDH一△BNE,△CEN一△CAD, “能=器=器=克 .BC=3BD. :BD=CD=DN, “器=歌=》 骆=器=剂 …器=3. 方法五：解过点A作AQBE,交CB的延长线于点Q,则器=器是=器=1 .BC=3BD, ..BQ=BC=3BD, …開=3， 模型探究4平行相似（四构A、X型相似（一题多问 解：(1)∠ACB-90°，CE⊥AD, .△CED△AEC …器=噩=是 AC=BC=2CD. DE=CE=诗AE, “噩=封 (2)过点D作DNIAC,交BG于点N, △BDN~△BCG,△DEN△AEG 又D为BC的中点器= …器=器=器=噩= ..CG=2DN.AG=4DN, ∴AG=2CG, …器=2 (3)过点D作DMIIAB,交CF于点M ∴△CDM-△CBF,△DEM~△AEF 又D为BC的中点噩=， …器-器=器=噩= ..BF=2DM,AF=4DM, …器=勃 (④过点F作FHLBC于点H. ∠FCH+∠ACE=∠ACE+∠DAC=90°， ∴.∠FCH=∠DAC △FCH-△DAC “器=器 .FHIIAC, “器=器= “器=副 (5)过点A作APIBC,交BG的延长线于点P,则△BCG一△PAG,△BDE~△PAE 设CD=1个单位长度，则BC=n,