精品解析：四川省成都市郊区联盟2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

九年级期末试卷数学 时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0．5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2．选择题使用铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0．5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，掌握它们是解题的关键；P，Q分别为的中点，得；再由矩形的性质得，即求解． 【详解】解：∵P，Q分别为的中点， ∴是的中位线， ∴； ∵四边形是矩形， ∴． 故选：B． 2. 如图所示，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出y随x的变化规律是解决问题的关键．根据中心投影的性质得出小颖在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象． 【详解】解：∵小路的正中间有一路灯，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系为：y随x的增大而减小， ∴用图象刻画出来应为B． 故选：B． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 3. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键． 4. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连结OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， 而S△OAB＝|k|， ∴|k|＝3， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 5. 如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，点是一次函数图象与反比例函数图象的一个交点，过点作轴，垂足为点，且的面积为． （1）分别求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点是一次函数上的一点，是坐标平面内的点，且与位似，且位似比为，求点的坐标； （3）在反比例函数的图象上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的任意两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）点坐标为， 【解析】 【分析】（1）先计算出点坐标，根据，计算出点坐标，使用待定系数法求出函数的解析式； （2）分点在点上方和下方两种情况讨论，根据位似的性质计算出和，从而得到点的坐标； （3）设点R的坐标为，根据勾股定理表示出、、，分为和两种情况，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵点，轴， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∴， 对于，当时，， ∴点坐标为，即， ∴， ∴点坐标为， 把点分别代入和，得： ，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解： ①当点P在点B的下方时，如图， 由位似的性质可知，，， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； ②当点P在点B的上方时，如图， 同理①可得，，， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点R的坐标为， 由勾股定理可得， ，，， ①当时，则， ∴， 化简，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，或， 当时，点与点重合，故舍去， 当时，点与点在一条直线上，不能构成三角形， ∴点坐标为，； ②当时，则， ∴ 化简，得， 判别式， ∴该方程无实数根，故舍去； 综上所述，点坐标为，． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，位似的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 6. 在平面直角坐标系中有一菱形，反比例函数的图象经过点且交边于点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法、坐标与图形性质、菱形的性质、三角函数．过作，设，则，可得点C的坐标，进而求出反比例函数解析式，设，根据的正切列方程求出m值即可解题． 【详解】解：如图，过作， ， ， 设，则， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 7. 阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为； （2），理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①；②当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，一元一次不等式组的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）把原代数式变形为，再仿照题意求解即可； （2）利用作差法得到，据此可得结论； （3）①根据篱笆的长度可求出对应的关系式，再根据墙的长度和x要为正数列出不等式组求出x的取值范围即可；②根据矩形的面积公式列出矩形的面积关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）略 （3）①由题意得，， ∵， ∴， ∴； ②设围成的矩形菜地的面积为S， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为162， ∴当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末试卷数学 时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0．5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2．选择题使用铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0．5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图，矩形的对角线与相交于点，点，分别为，的中点，若，则的长为（　　） A. 3 B. 6 C. D. 9 2. 如图所示，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（　　） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 3. 因式分解：_________． 4. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 5. 如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，点是一次函数图象与反比例函数图象的一个交点，过点作轴，垂足为点，且的面积为． （1）分别求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点是一次函数上的一点，是坐标平面内的点，且与位似，且位似比为，求点的坐标； （3）在反比例函数的图象上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的任意两个点的坐标；若不存在，请说明理由． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 6. 在平面直角坐标系中有一菱形，反比例函数的图象经过点且交边于点，则的值为___________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 7. 阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $