指数、指数函数，对数、对数函数 专题训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数、指数函数，对数、对数函数专题训练解析版 一、单选题 (一)指数运算 1．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【详解】对于：利用指数运算的公式：，则，故错误； 对于：，，故错误； 对于：，所以 ，化简得，所以，故正确； 对于：因为，所以，故错误. 2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 3．已知正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，即， 所以，当且仅当时取等． 4．设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 【答案】D 【分析】根据题意得，再结合同底数幂的乘法的运算法则进行求解. 【详解】由题意知，， 所以， 5．已知，，则的值是（    ） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】C 【详解】因为，得，即，又因为，，则，所以. 6．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由,，得. (二)指数型函数 7．函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】题干为一复合函数求最值，利用换元法可将其转化为求二次函数和指数函数的最值. 【详解】令,通过配方可知,当时，取得最大值1， 又函数，由指数函数的单调性可知当取得最大值时，取得最大值为2. 8．若函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的奇偶性，可得时，的解析式，根据指数函数的单调性，可得x的范围. 【详解】当时，，因为在R上单调递减，所以； 当时，，，因为为偶函数，所以， 因为在R上单调递增，由，得，综上不等式的解集为. 9．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的值域，再根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为的值域为，且在上单调递增，所以的值域为， 10．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令，将原函数转化为函数与的复合函数，再根据复合函数单调性的判断方法，结合二次函数的性质确定的范围. 【详解】令，则原函数可以看作函数与的复合函数. 因为R上的增函数，要使函数在上单调递增，则函数在上单调递增. 所以，即，所以的取值范围. 11．已知函数为奇函数，则的值为（   ）. A．0 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】因为函数为奇函数， 当时，，则，所以， 又，则，即. 12．已知为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合幂函数和指数函数的性质，利用充分性、必要性的概念判断即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以由可得， 又因为函数在上单调递增，所以由可得， 当时一定有，当时不一定有， 因此“”是“”的必要不充分条件， 13．函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据得到定点坐标，即可得到答案. 【详解】因为，所以定点为， 则，故. 14．函数（，且）的图象恒过定点，该定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 故的图象恒过定点. 15．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察图像，可知先判断函数的奇偶性进行排除，再利用特值法，分析的函数值与的大小和的函数值与的大小，从而得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数， 图象关于原点对称，可得排除A、D项； 当时，可得，所以，此时； 当时，可得，所以，此时， 所以选项B符合函数的图象的形状． 16．函数的图象大致为（   ） A．   B．  C．   D．   【答案】A 【详解】由，解得，所以函数的定义域为， 记，可得， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B； 由，可得，所以函数与x轴有两交点，排除CD；A符合. 17．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合、奇偶性及当趋近于时，的趋势判断即可. 【详解】由题意可得，故排除B项， 又，所以不是偶函数，故排除C项， 当趋近于时，趋近于0，故排除D项. (三)指数运算、对数运算 18．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数式和对数式的互化，以及指数幂的运算性质计算即可. 【详解】由可得，即. 因为，所以. 19．式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】， ， ， 所以. 20．若，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】. 21．已知，，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合对数的运算及充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可得且； 由，不能得， 如当时，满足， 此时对数无意义， 即由能推出，但由推不出， 所以是的充分不必要条件. 22．已知实数满足，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由于，故，若，则，则，充分性成立， 但若，则，则或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 23．已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算即可求得结果. 【详解】∵，∴，∴ . 24．已知函数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．0或1 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为且，所以或， 解得或， 当时，； 当时，； 综上可得的值为. 二、多选题 25．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】直接根据对数的运算性质以及换底公式即可求解． 【详解】在A选项中， ，故A错误 在B选项中，，故 B错误． 在C选项中，，故C正确． 在D选项中，，故D正确． 26．下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用对数运算法则和换底公式计算，得到答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 27．下列命题是真命题的有（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】根据对数的运算及指数与对数的转化判断各选项即可. 【详解】对于A，无意义，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，得，故C错误； 对于D，，故D正确. 28．若，则下列关系式中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对已知等式同时取对数，利用对数函数的单调性来比较和的大小. 【详解】因为，所以，即， 当时，. 因为对数函数在上单调递增，且， 所以，即. 当，时，由可得，所以； 当，时，由可得，所以； 29．已知函数 ，当 时，恒有 ，则实数 的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】结合对数函数图像，分类讨论即可得到答案. 【详解】当，为增函数，令得，由对数函数图像变化规律可知， 当时，对任意 ，恒有 成立.而当时，对，不恒成立. 当时，为减函数，对任意 ，恒有 . 综上，只需满足即可，故C和D正确. 30．如果，那么下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A选项，因为，所以，又指数函数在上是增函数， 所以，故A错误； B选项，因为对数函数在上是减函数，且， 所以，故B正确； C选项，因为，所以，但不能确定与1的大小关系， 所以不能确定与的大小关系，即不能确定与0的大小关系，故C错误； D选项，因为幂函数在区间上单调递减，，所以，故D正确． (四)对数型函数 三、填空题 31．函数（且）的图象恒过定点 . 【答案】 【详解】由，可知 ：令，解得：，代入函数：， 所以函数的图象恒过定点为 . 32．函数且过定点 ． 【答案】 【详解】由（且）知，当时，， 故函数（且）过定点. 四、解答题 33．已知函数的图象过点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【详解】（1）由题意可得，，即，得，故； （2）因为函数在上单调递增，且， 所以，得，故不等式的解集为. 34．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意知函数需满足：, 解得，即的定义域为； （2）为奇函数，证明如下： 由（1）知的定义域为， ， 故为奇函数； （3）由题意，即，则， 且，即得，而，故， 解得，结合，可得， 即实数的取值范围为. 35．已知． (1)判断奇偶性． (2)解不等式． 【详解】（1），定义域为，关于原点对称， 由，得，为奇函数. （2）由题意， ①时， 在上单调递增，所以，解得； ②时，在上单调递减，所以，解得； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 课后针对性练习 一、单选题 1．若，则下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算法则依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为， 对于A，，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，故错误； 对于D，，正确 2．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得，再根据平方差公式化简即可求解. 【详解】解：由，得， 则，因此， 所以． 3．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性及其在时的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于，由，可得，解得， 所以函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数，排除AB选项， 当时，，，则，此时，排除C选项， 4．函数的图象恒过点（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，结合求解即可. 【详解】令，即，再由，所以，所以图象恒过. 5．下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数、指数函数的性质判断A、B、D，应用奇偶性的定义和一次函数的性质判断C. 【详解】由为偶函数，且在上单调递增，A不符； 由为非奇非偶函数，B不符； 由的定义域为R，且，即函数为偶函数， 当，则，故函数在上单调递减，C符合； 由为奇函数，D不符. 二、多选题 6．下列命题中正确的是（   ） A． B．若且，则 C．若，则的值为 D．的值为1 【答案】ACD 【分析】利用指数幂的运算法则即可判断A，根据指对互化，以及换底公式即可判断B，利用换底公式得，即即可判断C，利用对数运算法则即可判断D. 【详解】A选项： ，故A正确； B选项：由，则，，且，即，， 所以，解得，故B错误； C选项：由，得，即， 所以，故C正确； D选项： ，故D正确； 7．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，根据指数运算法则可得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 8．若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合指数函数单调性、对数函数性质逐项判断. 【详解】是任意正实数，， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，而当时，，C错误； 对于D，由，得，D正确. 三、填空题 9．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据对数的定义，结合分式的性质进行求解即可. 【详解】由该函数的解析式可知：且， 所以该函数的定义域为. 10．已知函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】， 故， 四、解答题 11．已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 【详解】（1）由题可得，因为且，所以； （2）函数为复合函数，令，在上单调递增， ，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为 ，无增区间. （3）因为，则，所以，所以函数的值域为. 12．已知函数． (1)定义域 (2)判断的奇偶性；并且证明 (3)解不等式 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为； （2）函数是奇函数，证明如下： 由（1）可知，函数定义域关于原点对称，因为， 所以函数是奇函数； （3）不等式，则，即， 有，解得，所以不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数、指数函数，对数、对数函数专题训练解析版 一、单选题 (一)指数运算 1．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 4．设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 5．已知，，则的值是（    ） A．3 B．8 C．11 D．14 6．若，则的值为（    ） A． B． C． D． (二)指数型函数 7．函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 10．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 11．已知函数为奇函数，则的值为（   ）. A．0 B． C．2 D．1 12．已知为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 14．函数（，且）的图象恒过定点，该定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 15．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 16．函数的图象大致为（   ） A．   B．  C．   D．   17．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． (三)指数运算、对数运算 18．设，，则（    ） A． B． C． D． 19．式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 20．若，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 21．已知，，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 22．已知实数满足，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 24．已知函数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．0或1 二、多选题 25．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 26．下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 27．下列命题是真命题的有（ ） A． B． C．若，则 D． 28．若，则下列关系式中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 29．已知函数 ，当 时，恒有 ，则实数 的取值可以是（ ） A． B． C． D． 30．如果，那么下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． (四)对数型函数 三、填空题 31．函数（且）的图象恒过定点 . 32．函数且过定点 ． 四、解答题 33．已知函数的图象过点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 34．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)若，求实数的取值范围. 35．已知． (1)判断奇偶性． (2)解不等式． 课后针对性练习 一、单选题 1．若，则下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象恒过点（      ） A． B． C． D． 5．下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列命题中正确的是（   ） A． B．若且，则 C．若，则的值为 D．的值为1 7．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．函数的定义域是 ． 10．已知函数，则的值为 ． 四、解答题 11．已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 12．已知函数． (1)定义域 (2)判断的奇偶性；并且证明 (3)解不等式 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $