广东省广州市科学城中学2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试卷

2024-2025学年广东省广州市科学城中学高一（上）期末数学模拟试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知集合只有一个元素，则实数a的值为(    ) A. 1或0 B. 0 C. 1 D. 1或2 3.方程的根所在的区间是(    ) A. B. C. D. 4.设，，，则(    ) A. B. C. D. 5.函数图象大致为(    ) A. B. C. D. 6.已知是第四象限角，且，则(    ) A. B. C. D. 7 7.函数，若，则a的值为(    ) A. 4 B. 4或 C. 2或 D. 2 8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间 0 1 2 3 4 茶水温度 为了描述茶水温度与放置时间xmin的关系，现有以下两种函数模型供选择： ①，② 选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为参考数据：，(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列命题为真命题的是(    ) A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10.已知函数，下列命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 不等式的集是 C. 函数，的最小值为 D. 若则 11.已知函数，则下列结论正确的是(    ) A. 当时，的最小值为0 B. 若存在最小值，则a的取值范围为 C. 若是减函数，则a的取值范围为 D. 若存在零点，则a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.______. 13.已知幂函数的图象过点，则______. 14.已知函数，若，且，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 若角的终边经过点，且 求m； 求的值. 16.本小题15分 设全集为R，集合， 若，求，； 若，求实数a的取值范围. 17.本小题15分 已知函数为奇函数. 求a的值； 判断函数在内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 18.本小题17分 已知函数， 求函数的单调递增区间； 若函数在区间上有两个零点，求m的取值范围. 若函数有且仅有3个零点，求所有零点之和. 19.本小题17分 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x吨与年促销费用t万元之间满足函数关系式为常数，如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. 求k值； 将下一年的利润万元表示为促销费万元的函数； 该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ 注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：由可得：或， 则“”是“”的必要不充分条件． 故选： 根据必要不充分条件的定义求解即可． 本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：由题意，当时，方程为，解得，符合题意； 当时，二次方程只有一个解，则，解得，此时方程的根为，符合题意； 综上可得，或 故选： 分和两种情况讨论，列方程解出 本题考查元素与集合关系的应用，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：令，则在上单调递增， ，， 函数的零点所在区间为，即方程方程的根所在区间是 故选： 构造函数，根据该函数的单调性和零点存在定理验证即可． 本题考查函数零点与方程根的关系，零点存在定理，属中档题． 4.【答案】B  【解析】解：，， ，， ，， 故选： 利用指数函数和对数函数的单调性求解． 本题主要考查了对数函数和对数函数的性质，属于基础题． 5.【答案】A  【解析】解：，则为奇函数，则其图象关于原点对称，故排除B， 当时，，故排除C，当时，，故排除 故选： 利用函数的奇偶性及函数值得变化趋势，结合选项即可得解． 本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题． 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 由已知利用诱导公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用两角和的正切公式可求的值． 【解答】 解：因为是第四象限角，且， 所以，可得，， 则 故选： 7.【答案】C  【解析】解：由题意可得， 当，由复合函数单调性可得在区间上单调递增， 由，可得， 即，解得， 当，由复合函数单调性可得在区间上单调递减， 由，可得， 即，解得， 综上所述：或 故选： 对a分两种情况，再结合复合函数判断函数在区间上单调性，求出最值代入求解即可． 本题考查了复合函数、对数函数的单调性，是基础题． 8.【答案】B  【解析】解：由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势， 故选用模型①为更符合实际的模型， 由时，，代入，得，解得， 所以，由时，，可得，解得， 即，由题有：， 所以， 解得：， 即刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为 故选： 根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模型①为更符合实际的模型，利用前两组数据可以求得k和a的值，进而将最佳口感温度代入所求得解析式，利用对数的运算性质求得x的值，即可做出判断． 本题考查了根据实际问题增长率选择合适的函数模型及指数函数模型的应用，属于中档题． 9.【答案】BC  【解析】解：，，，时，A显然错误； 因为在R上单调递增，当时，，B正确； 若，由不等式性质可得，，C正确； 若，，则，即，D错误． 故选： 举出反例检验选项A，结合幂函数单调性检验选项B，结合不等式性质检验选项C，利用比较法检验选项 本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 10.【答案】ACD  【解析】解：， 若， 则，A正确； 由得， ， 不等式的解集是错误； 由，得， ， 由二次函数的性质可知，当时，y取得最小值，C正确； 若，即， ，① ， ， ， 又，② 由①②得，D正确． 故选： 利用三角函数的性质对四个选项逐一分析可得答案． 本题考查了三角函数与二次函数在定区间的最值问题，考查综合应用能力，属于中档题． 11.【答案】BCD  【解析】解：A项，时，，如图， 的最小值为2，A项错误； B项，当时，，，单调递减，如图， 此时函数没有最小值，则， ，的最小值为，只需满足， 解得：，则，则a的取值范围为项正确； C项，若是减函数，如图： 则需满足，且，且，则， 则a的取值范围为项正确； D项，令，若有解，则， 令，若有解，则， 解得或， 综上若存在零点， 则a的取值范围为正确． 故选： 分段考虑两段函数的性质，再通过观察整个图象的特点即可得． 本题考查分段函数的性质，考查函数与方程的关系，属于难题． 12.【答案】9  【解析】解：原式 故答案为： 根据对数的运算性质求解即可． 本题主要考查对数的运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：设幂函数，， 由题意可得：，解得， 则，所以 故答案为： 根据幂函数的定义分析求解． 本题主要考查幂函数的定义，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：因为， 所以，且，即，整理得 所以， 所以的取值范围是 故答案为： 利用得出a，b满足关系式，代入，再利用基本不等式求解即可． 本题考查对数函数的图像与性质，考查函数值域的求解，属于中档题． 15.【答案】解：角的终边经过点，且 由可得，，   【解析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求出m的值． 由题意，利用诱导公式，计算求得结果． 本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题． 16.【答案】解：因为集合或， 时，集合， 所以或， 又因为全集为R，所以或， 所以或； 因为，且， 所以时，，此时，满足题意； 由，解得； 由，解得； 综上，实数a的取值范围是或  【解析】解不等式求出集合A，写出时集合B，根据并集、交集和补集的定义计算即可； 根据，讨论a的取值情况，即可求出实数a的取值范围． 本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 17.【答案】解：函数为奇函数， 所以，即， ， 解得 由可得，在内单调递减，证明如下： 设， ， 因为，所以，，， 所以，，， 得，即， 所以函数在上单调递减．  【解析】由奇函数的性质即可求解a的值； 利用函数单调性的定义证明即可． 本题主要考查函数奇偶性的性质，单调性的判断与证明，考查运算求解能力，属于基础题． 18.【答案】解：由，， 得，， 所以函数的单调递增区间为， 因为函数在区间上有两个零点， 令，即在区间上有两个根， 因为在单调递增，上单调递减． 所以，即，所以， 所以m的取值范围为 令，得，， 所以函数的一个对称中心为， 直线关于点中心对称， 所以函数得图像关于点中心对称，且， 因为函数有且仅有3个零点，设为a，，b， 所以，故所有零点之和为  【解析】解不等式组，，即可求得结果； 根据在上的单调性，画出函数简图，即可求出m的范围； 根据函数图像的一个对称中心为，可知函数得图像关于点中心对称，根据函数的对称性即可求出结果． 本题考查三角函数的图像和性质，函数零点与方程的根，转化的数学思想方法，属中档题． 19.【答案】解：由题意，将，代入，解得； 由可得， 当年生产万件时，年生产成本为：， 当销售万件时，年销售收入为：， 由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润=年销售收入-年生产成本-促销费， 所以， 即：； 由有， 当且仅当，即时，等号成立，所以当促销费投入6万元时，企业年利润最大．  【解析】利用不开展促销活动，年销量是1吨，求解即可； 利用销售收入减去成本即得利润； 利用基本不等式处理该最值问题． 本题考查根据实际问题求解析式和基本不等式在求函数最值上的应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$