精品解析：贵州遵义航天高级中学2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试卷

遵义航天高级中学2025-2026学年第一学期期末考试 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知样本数据5，6，6，6，8，9，10，11，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求解. 【详解】因为：， 所以样本数据5，6，6，6，8，9，10，11的第60百分位数是第5个数为8. 故选：C 2. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，，与的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数，A错误； 对于B，，与的对应关系不同，不是同一函数，B错误； 对于C，，与的定义域不同，不是同一函数，C错误； 对于D，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，D正确． 故选：D． 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数换底公式、运算法则和基本不等式计算，并结合对数函数性质得到，进而得到，再由指数函数性质得到即可得解. 【详解】由题， 又， 所以，又， 所以. 故选：D 4. 已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的（ ） A. 5倍 B. 4倍 C. 3倍 D. 2倍 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算得，即得到线段长度的倍数关系． 【详解】因为，且E为中点， 所以， 则长度是的4倍. 故选：B. 5. 已知幂函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数的定义可得，再由单调性的性质可知在上单调递增，结合零点存在性定理即可得出答案. 【详解】因为为幂函数，所以， 所以，所以， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为. 故选：B. 6. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号强度值（单位：分贝，），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号强度公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，则信号强度值约减少6，信号传播距离从增加到时，测得信号强度值从-30变到-48，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由距离从变到时，信号强度值约减少为6dB，结合给定公式求出值，再列式求出目标值. 【详解】由距离从到时，信号强度值约减少为6dB，得，解得， 由信号传播距离从增加到时，测得信号强度值从变到， 得，则，即， 因此，所以. 故选：D 7. 设，且时，有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】∵函数，作出的图象如图所示，∵时，有， ∴0＜a＜1，c＞1，即f（a）＝|lga|＝﹣lga，f（c）＝|lgc|＝lgc，∵f（a）＞f（c）， ∴﹣lga＞lgc，则lga+lgc＝lgac＜0，则. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a，c的取值范围. 8. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质，结合题中定义、充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】，则， 表示不大于的最大整数， ，要求不等式成立的充分不必要条件， 只要求出不等式解集的一个非空真子集即可， 只有选项B符合题意 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若集合，集合，则下列各式正确的是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据，可判断A选项；根据，可判断B选项；利用集合的运算可判断CD选项. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10. 若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断. 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 11. 盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别计算出事件的概率，根据它们概率之间的关系，判断各选项的准确性. 【详解】设盒子里两个红球为，，两个白球为，， 从中不放回地依次取出2个球，所有的基本事件有： ，，，，，，，，，，，，共12个. 事件“两个球颜色相同”，包含，，，共4个基本事件，所以； “第1次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “第2次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “两个球颜色不同”，包含，，，，，，，共8个基本事件，所以. 因为,故,对立，故A正确； 因为事件包含，2个基本事件，所以事件，可以同时发生，故事件，不互斥，故B错误； 因为事件包含，2个基本事件，所以, 又，所以，所以事件，相互独立，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是___________． 【答案】10，12 【解析】 【分析】利用平均数、方差的性质可得答案. 【详解】若一组数据的平均数为4，方差为3， 则数据的平均数和方差分别是. 故答案为：. 13. 如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则__________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】设，在中，利用向量加减法的三角形法则表示出，进而表示出；设，同理，在中表示出，根据平面向量基本定理列出方程组，求出，即可得到的值，即可得解. 【详解】因为， 所以. 设，所以①. 因为为的中点，所以. 设，又， 所以 ②. 由①②可得，解得. 所以，所以. 故答案为： 14. 已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设转化化简得到不等式在上恒成立即可分析计算求解. 【详解】由题意得，化简得， 因为且， 所以不等式化为，即， 因为，所以， 所以要使不等式恒成立，需， 故的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 在直角坐标系中，向量，，，，其中，，. （1）若 ，，三点共线，求实数的值； （2）若四边形为菱形，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据 ，，三点共线，可得共线，根据向量共线的坐标表示列式计算，可得答案； （2）根据菱形的性质，结合向量模以及向量的线性运算，列出方程，求得m的值，即可求得答案. 【小问1详解】 由已知得，， 因为 ，，三点共线，共线， 所以； 【小问2详解】 ,, 由四边形为菱形得，即， 即①， 由菱形得, 将代入①，解得， 所以. 16. （1）计算； （2）已知为正实数，且，求最小值； 【答案】（1）；（2）12 【解析】 【分析】（1）由对数运算性质直接计算即可求解； （2）由题设条件转化得，再利用基本不等式即可分析计算得解. 【详解】（1） ； （2）由题意可得即， 解得（舍去）或， 所以当且仅当，即时，最小值为12. 17. 已知函数过定点，函数的定义域为． （1）求定点并判断函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）定点为，奇函数； （2） 在上单调递增. 证明：任取，且， 则. ，， ，， ，即， 函数在区间上是增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证； （2）利用定义法即可证明的单调性； （3）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 函数过定点，定点为， ，定义域为， . 函数为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，即， 函数为奇函数，， 在上为单调递增函数， ， ，解得：. 故不等式的解集为：. 18. 为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取40名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的40名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率； （3）现有体育成绩在90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有共四个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为．另一科成绩不是但不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加．若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得四个等级的概率分别是；乙在每科笔试中取得四个等级的概率分别是，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．（结果用分数表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由概率之和为1即可计算求解t，由频率分布直方图的平均数计算方法直接计算即可求解平均数； （2）求出两组各的人数即可由古典概型计算求解； （3）分别求出甲、乙能参加国庆营的概率即可求甲、乙能同时参加国庆营的概率. 【小问1详解】 由题可得， 所以所抽取的40名学生成绩的平均数约为. 【小问2详解】 由题可得两组各抽2人和3人，分别记为和， 则从5人中挑出两人进行试课，则样本空间为，共有10个样本点， 记事件“至少有一人分数不低于80”，则，共有9个样本点， 所以至少有一人分数不低于80的概率为； 【小问3详解】 由题可得甲能参加国庆营情况有以下三种情况： 第一种情况是甲笔试两科成绩均为A； 第二种情况是甲两科笔试成绩分别为A和B且第二轮面试通过； 第三种情况是甲两科笔试成绩分别为A和C且第二轮面试通过. 所以甲能参加国庆营的概率为， 同理乙能参加国庆营的概率， 所以甲、乙能同时参加国庆营的概率为. 19. 设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）最小值为，此时. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意； （2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案； （3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数， 所以，所以，解得， 所以， 当时，， 所以为奇函数，故； （2）有解，所以有解， 所以只需， 因为（时，等号成立）， 所以； （3）因为，所以， 可令，可得函数t在递增，即， 则，可得函数，， 由为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以时，取得最小值， 此时，解得， 所以在上的最小值为，此时． 【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航天高级中学2025-2026学年第一学期期末考试 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知样本数据5，6，6，6，8，9，10，11，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的（ ） A. 5倍 B. 4倍 C. 3倍 D. 2倍 5. 已知幂函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号强度值（单位：分贝，），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号强度公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，则信号强度值约减少6，信号传播距离从增加到时，测得信号强度值从-30变到-48，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 7. 设，且时，有，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若集合，集合，则下列各式正确的是（ ） A. ， B. ， C. D. 10. 若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 11. 盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是___________． 13. 如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则__________. 14. 已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 在直角坐标系中，向量，，，，其中，，. （1）若 ，，三点共线，求实数的值； （2）若四边形为菱形，求的值. 16. （1）计算； （2）已知为正实数，且，求最小值； 17. 已知函数过定点，函数的定义域为． （1）求定点并判断函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）解不等式． 18. 为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取40名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的40名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率； （3）现有体育成绩在90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有共四个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为．另一科成绩不是但不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加．若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得四个等级的概率分别是；乙在每科笔试中取得四个等级的概率分别是，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．（结果用分数表示） 19. 设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $