精品解析：山东省威海市乳山市银滩高级中学2025-2026学年高二1月第2次考试数学试题

高二数学月考试题 一、单选题 1. 已知为虚数单位，的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果. 【详解】根据复数的乘方可知， 则，其虚部为. 故选：C 2. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可. 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 3. 设 ，则 （ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】因为，∴，解得 ∴， ∴ 故选：C． 4. 已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】圆上恰有三个点到直线的距离都等于1且半径为2，则圆心到直线的距离求解即可. 【详解】圆心，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1， 所以圆心到直线的距离为，解得; 故答案为：B 5. 已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把三棱柱补成四棱柱，利用余弦定理结合条件可得异面直线与所成角. 【详解】如图，把三棱柱补成四棱柱，则，异面直线与所成角为， 在中，由余弦定理得， 又， 故选：C． 6. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（ ） A. B. 30 C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和的公式列方程求解和d，进而得到的表达式即可求得最值． 【详解】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以， 所以，． 又，即 亦即解得 所以， 根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30， 故选：B． 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 二、多选题 8. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数不能比较大小，即可判断A，由复数的模长公式即可判断BC，举出反例即可判断D. 【详解】，如，，此时与无大小关系，A错． ，，，，，B对． ，，， 即， 则，，C对． 设，，此时但，D错， 故选：BC． 9. 已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则的值为0 D. 已知，公差，则的最大值为32 【答案】BC 【解析】 【分析】通过等差数列的等差中项性质分析的项；利用前项和与中间项的关系求；借助前项和的二次函数对称性求；通过通项公式确定前项和的最大值，逐一验证选项. 【详解】数列、为等差数列，则是等差数列. 选项A： ，，因2、5、8成等差数列， 故是与的等差中项，得，A错误. 选项B： 等差数列前项和满足， 故，，则. 代入，得，B正确. 选项C： 设数列的公差为，由， 得，解得， 所以，C正确. 选项D： 由，，得. 令，解得，故的最大值为，D错误. 故选：BC 10. 已知正方体的棱长为，点P满足，其中x，y，，下列正确的是（ ） A. 当时，则直线与所成角的正切值范围是 B. 当，时，则的最小值为 C. 当时，线段AP的长度最小值为 D. 当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，当时，点在线段上动，即为直线与所成角；对于选项B，当，时，点在线段上动，故将三角形与四边形沿展开到同一个平面上即可求解；对于选项C，当时，点在内部及边界上动，线段AP的长度最小值即点A到平面的距离，由等体积法即可求解；对于选项D，当时，记点的轨迹为平面，故平面截此正方体所得截面面积的最大值为正方体的中截面的面积. 【详解】对A，当时，点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，设， 则在中，， ，故A正确； 对于B，当，时，点在线段上动， 故将三角形与四边形沿展开到同一个平面上， 由图可知，线段的长度即为的最小值， 在中，，故B错误； 对于C，当时，点在内部及边界上动， 则线段AP的长度最小值即点A到平面的距离，由得线段AP的长度最小值为，故C正确； 对于D，当时，记点的轨迹为平面， 故平面截此正方体所得截面面积的最大值为正方体的中截面的面积，如图所示： 当点分别为对应棱的中点时，连结， 可得平面平行于平面，且为正六边形，此时该截面是最大截面， 由于正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为，则面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据投影向量公式求解. 【详解】根据投影向量的公式，在方向上的投影向量为. 故答案为： 12. 已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】记的焦点为，利用抛物线的定义将问题转化为点到直线的距离. 【详解】记的焦点为，则， 由抛物线的定义知点到的距离等于点到的距离， 故点到的距离与到直线的距离之和即点到的距离与到直线的距离之和 其最小值为点到直线的距离. 故答案为：. 13. 已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用题意求出，然后再求出，再利用递推关系结合单调性可得到不等式恒成立，最后可求出参数的范围. 【详解】由题意得： ， 又因为， 所以有， 因为数列单调递减，所以有对于恒成立， 即对于恒成立， 再取，则由， 可知数列单调递减，则， 所以要使得不等式对于恒成立， 则满足，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 14. 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出； （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. 【小问1详解】 为等差数列，故， 因为，，所以， 整理得，解得或， 当时，，当时，， 因为，所以，，故， 此时，所以， 因为等比数列的首项，公比为3，得. 【小问2详解】 由题，， ， ， 两式相减得 ， 故. 15. 已知数列的前项和为，满足： （1）求证：数列为等差数列； （2）令，记数列的前项和为，求； （3）在（2）的条件下，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明: 由题设，，可得,解得, 则当时，， 所以，整理得， 则，又,故是以1为首项，4为公差的等差数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出的表达式，然后计算，并进行化简变形即可证明. （2）先求出的通项公式，然后列出的表达式，最后根据裂项相消法求出结果. （3）根据的单调性求解不等式. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）得，所以. ， 则. 【小问3详解】 由（2）知，， 可知是单调递增数列，故当时，取得最小值, 则由不等式恒成立可得，即 那么，所以. 16. 椭圆的离心率为，设A，B分别为E的左，右顶点，C，D分别为上、下顶点，四边形ACBD的面积为4． （1）求椭圆E的方程； （2）若直线与椭圆交于G、H，求的面积； （3）过点的直线l与椭圆E交于两点P，Q（不与A，B重合），若直线PB与直线相交于点N，求证：三点A，Q，N共线． 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 如图： 因为不与重合，可设直线方程为：，代入椭圆， 得：，整理得：. 设，， 则，. 直线方程为：， 令得：，即点坐标为：. 所以，， 因为 ， 所以，所以三点共线. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求出的值，可得椭圆E的方程. （2）将直线与椭圆方程联立，可得点的纵坐标，利用三角形的面积公式，可求的面积. （3）设直线方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理，可得，，再利用两点式的直线方程，令，可得点坐标，再证即可. 【小问1详解】 由题意得：. 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 如图： 将直线即代入椭圆，得：. 整理得：或 又直线交轴于点. 所以. 【小问3详解】 略 17. 如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，连接 ∵四边形为矩形，∴点为中点， ∴且， 又∵且，∴且， ∴四边形为平行四边形，即， ∵平面，平面.∴平面. （2） （3）存在，P点在A点处时平面与平面的夹角为. 【解析】 【分析】（1）利用中位线和平行四边形证明线线平行，然后得到线面平行； （2）证明三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求得面的法向量，然后由直线所在向量与法向量的夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值； （3）由（2）求出平面的法向量，设点坐标，由空间向量求得平面的法向量，由两个面的法向量夹角的余弦值的绝对值求等于面面角的余弦值建立方程，解得点坐标，即可知道点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，且平面平面，平面平面， ∴平面， 又∵平面，∴， 故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， ∴，，，，， ，，， 设为平面的一个法向量， 则，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则 【小问3详解】 由（2）可知平面的一个法向量为， 设存在，则，， 设平面的一个法向量为， 则，解得，即， 则， ∴，即， 所以存在符合题意的点P，当P点在A点处时平面与平面的夹角为. 18. 如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． （1）求抛物线的方程； （2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 【答案】（1） （2）①； ②由题意得． ， 当时，， 当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为， 设点的坐标分别为， 联立得， 则， 因为，所以，得， 所以， ， 综上所述，三棱锥的体积为定值． 【解析】 【分析】（1）先根据倾斜角得出点的坐标，再应用两点间距离求出，进而得出抛物线； （2）①联立方程得出点的坐标，再应用空间向量法计算线面角正弦即可；②应用三棱锥体积公式结合三角形面积公式计算求解. 【小问1详解】 当时，，所以点的坐标为， 因为，所以， 解得， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 ①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为， 联立 所以点的坐标分别为． 过O点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则， 当二面角的大小为时，点，即， 所以， 设平面的法向量为， 则即解得取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学月考试题 一、单选题 1. 已知为虚数单位，的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 3. 设 ，则 （ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（ ） A. B. 30 C. D. 18 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 二、多选题 8. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则的值为0 D. 已知，公差，则的最大值为32 10. 已知正方体的棱长为，点P满足，其中x，y，，下列正确的是（ ） A. 当时，则直线与所成角的正切值范围是 B. 当，时，则的最小值为 C. 当时，线段AP的长度最小值为 D. 当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为 三、填空题 11. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 12. 已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为__________. 13. 已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是_____. 四、解答题 14. 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 15. 已知数列的前项和为，满足： （1）求证：数列为等差数列； （2）令，记数列的前项和为，求； （3）在（2）的条件下，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 16. 椭圆的离心率为，设A，B分别为E的左，右顶点，C，D分别为上、下顶点，四边形ACBD的面积为4． （1）求椭圆E的方程； （2）若直线与椭圆交于G、H，求的面积； （3）过点的直线l与椭圆E交于两点P，Q（不与A，B重合），若直线PB与直线相交于点N，求证：三点A，Q，N共线． 17. 如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 18. 如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． （1）求抛物线的方程； （2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $