精品解析：山东 威海市第一中学2026-2027学年第一学期高一年级第一次模块考试数学试题

威海市第一中学2025~2026学年度第一学期高一年级第一次模块考试 数学 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后交答题卡． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 故选：C. 2. 是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，两边同乘以得：，当时，可得，推不出，综上 是的充分不必要条件，故选A. 3. 已知集合，，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 先求得集合，再判断两个集合之间的关系. 【详解】对集合， 故存在集合A中的元素-1或2，使得其不属于集合. 故选：C. 【点睛】本题考查集合之间的关系，属基础题. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用进行求解. 【详解】，，且， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：C 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可． 【详解】根据题意知函数定义域为，令， 所以， 当时，，所以函数的值域为. 故选：C. 6. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，画出函数图象，即可求解单调区间. 【详解】， 画出的图象如下： 的单调减区间为， 故选：A 7. 如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象的特征，利用函数的奇偶性、特殊值进行排除即可求解. 【详解】对于B，记，则， 故不为偶函数，其图象不关于轴对称，不符合题意，故B错误； 对于C，时，，故C错误； 对于D，记，则， 故不为偶函数，其图象不关于轴对称，不符合题意，故D错误； 对于A，记，则， 故为偶函数，其图象关于轴对称， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，且，故A符合题意. 8. 若满足，，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】就、结合函数的单调性分类讨论后可求参数的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】当时，在上为减函数， 故，当时，有，符合题意； 当时，在上为增函数，在上为增函数， 当时即时，的图象如图所示： 则存在，且， 综上，， 故选：C. 二、多项选择题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 已知，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. ab的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案; 【详解】解：因为，， 所以，，， 所以，的取值范围为，的取值范围为， 故A选项正确，B选项错误； 因为，， 所以，，，， 所以，ab的取值范围为，的取值范围为 故C选项正确，D选项错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若定义在上的函数恒有，则是奇函数 C. 若，，则 D. 函数的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用抽象函数定义域的求解方法即可判断；对于B，先令，求出，再令，可得，进而结合奇函数的定义即可判断；对于C，利用作差法，根据结果的正负即可判断；对于D，将函数转化为，利用换元法令，进而结合对勾函数的性质求解即可判断． 【详解】对于A，因为函数的定义域为，所以，， 对于函数，，解得，即函数的定义域为，故A正确； 对于B，由定义在上函数恒有， 令，则，解得， 令，，即，所以是奇函数，故B正确； 对于C，若，，则，且， 则，所以，故C错误； 对于D，由， 令，所以， 由于函数在时单调递增，则， 即函数的最小值为，故D正确． 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，对选项A，B和C逐一分析判断，即可得出选项A，B和C的正误，选项D，通过取特殊点，此时为等边三角形，即可求解. 【详解】由于， 对于选项A，设任意，则； 设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确， 对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误， 对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确， 对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误， 故选：AC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数是奇函数和时的解析式求解答案. 【详解】当时，，则，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，则. 故答案为： 13. 世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将变形，分析其取值范围，结合取整函数定义，分析得到答案. 【详解】根据题意，设， 则， 当时，，所以，即，所以，此时的取值为1； 当时，，所以，即，所以，此时的取值为； 综上，的值域为， 故答案为：. 14. 已知实数x，y满足，且，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先对进行因式分解得出；再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以. 又因为实数x，y满足， 所以， 则由基本不等式可得：， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：. 四、解答题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 函数. （1）若不等式的解集是，求不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）依题意、为关于的方程的两根，利用韦达定理求出、的值，再解不等式即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 因为不等式的解集是， 所以、为关于的方程的两根，所以，解得， 所以不等式，即为，解得或， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 当时关于的不等式，即为， 即， 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16. 已知函数为上的偶函数． （1）求实数的值； （2）证明函数为上的增函数； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）由(1)知，，当时， ，， ， 因为，，所以，， 所以 且， 所以，即， 所以为上的增函数. （3） 【解析】 【分析】(1)根据偶函数的定义即可求解;(2)利用函数单调性的定义证明;(3)利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【小问1详解】 由题可知, 即,即, 两边平方整理得,由于,所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由 (2)可知，在上单调递增，且为偶函数， 所以在上单调递减， 由得， ，解得. 17. 设命题p：关于x的不等式有解，命题q：关于x的方程有两个不相等的负数根. （1）若命题q为真命题，求实数m的范围： （2）若命题p和命题q中至少有一个是真命题，求实数m的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设关于x的方程两根为，根据根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案； （2）求出命题p为真命题，需满足，结合（1）可得当命题p和命题q均为假命题时，，从而得到结论. 【小问1详解】 设关于x的方程两根为， 故，解得， 故实数m的范围为； 【小问2详解】 命题p：关于x的不等式有解， 若，则，解得，满足要求； 若，则需或，解得或， 综上，命题p为真命题，需满足， 当命题p和命题q均为假命题时，需，解得， 所以若命题p和命题q中至少有一个是真命题，则. 18. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？ 【答案】（1）2秒 （2）20米/秒 【解析】 【分析】（1）根据条件可写出函数关系式，再结合基本（均值）不等式求函数的最小值. （2）把问题转化为恒成立问题，从而可求的取值范围. 【小问1详解】 由题意得， 所以 当时，， ． 当且仅当时即时，等号成立. 答：此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为秒. 【小问2详解】 根据题意要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由，得． 所以，即， 解得．所以． 答：汽车的行驶速度应限制在米/秒. 19. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. （1）求函数的所有“保值”区间； （2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由； （3）已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值. 【答案】（1）； （2）不存在，理由如下： 函数在上单调递增， 若是在的保值区间，则， 是方程同号的两个不等实根， 由，得，，则方程无实根， 所以函数不存在“保值”区间. （3）3. 【解析】 【分析】（1）由函数最小值确定的范围，再借助单调性建立方程，求出“保值”区间. （2）假定存在“保值”区间，借助单调性建立方程，判定方程解的情况即可. （3）由“保值”区间的定义建立方程，再利用韦达定理结合二次函数最值求解即得. 【小问1详解】 函数在R上的值域为，令在的值域为， 则，函数在上单调递增，因此，而，解得， 所以函数的所有“保值”区间为. 【小问2详解】 函数不存在“保值”区间，理由略； 【小问3详解】 函数在上单调递增， 依题意，，是方程同号的两个不等实根， 即是关于的方程同号的两个不等实根， ，解得或，于是， ， 当且仅当时取等号， 所以当取得最大值时，的值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威海市第一中学2025~2026学年度第一学期高一年级第一次模块考试 数学 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后交答题卡． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知集合，，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 9 D. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 若满足，，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 已知，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. ab的取值范围为 D. 的取值范围为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若定义在上的函数恒有，则是奇函数 C. 若，，则 D. 函数的最小值为 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，________． 13. 世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为______． 14. 已知实数x，y满足，且，则的最小值为__________． 四、解答题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 函数. （1）若不等式的解集是，求不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集. 16. 已知函数为上的偶函数． （1）求实数的值； （2）证明函数为上的增函数； （3）若，求实数的取值范围． 17. 设命题p：关于x的不等式有解，命题q：关于x的方程有两个不相等的负数根. （1）若命题q为真命题，求实数m的范围： （2）若命题p和命题q中至少有一个是真命题，求实数m的范围. 18. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？ 19. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间. （1）求函数的所有“保值”区间； （2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由； （3）已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $