山东省威海市乳山市银滩高级中学2025-2026学年高二1月第2次考试数学试题

《高二数学月考试题》答案详解 题 1 2 3 4 5 6 7 号 9 10 答 C B B BC 案 BC 题 号 11 答 案 ACD 7.A 【详解】根据题意可设 双曲线的半焦距为C,P(6,%), 则p=2c,过F作x轴的垂线1，过P作1的垂线，垂足为A,显然 直线A耳为抛物线的准线， 则PA=P引，由双曲线的定义及己知条件可知 PR-PR=2a PR+PF=GC 则 PR=3c+a 由勾股定理可知 Pr引=3c-a=PA AR==PR-PA=12ac, 易知y后=4cx,∴=3a,即 等器=021， b2a2 c2-a 整理得2c2-3ac-2ad=0=(2c+a(c-2a,.c=2a,即离心2. 8.B【详解】设正三棱台上、下底面中心分别为O,O,则OO⊥底 面ABC,记棱台的高为h, 底面ABC边长为12，取O为坐标原点(0,0,0)，分别以OA,OO所在 直线为，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则BC中点D在y轴负方向， A0,4W3,0,B(-6,-2W3,0,C6,-23,0,40,-23,9, Q(0,0,),BC中点D(0,-3,h: 4(0,25,h),B（-3,-5h)C3,-5,h), 所以BB,=(3,V3,A),BC=(12,0,0),设平面BB,CC的法向量为 =（(,4,3), 公e0◇-65 则 所以=(0，h,-V3)是平面BB,CC的一个法向量. n'n 又底面ABC的法向量为2=(0,0,1)，所以cos30° √2+3 解得h=1.设棱A4与底面ABC所 B 成角为0，因为A4=(0,-25,1), 所以 AA sin 0= A4% 0+(←-23+1 9.BC 【详解】3-z2<0,如31=1+i,3=2+i,此时21与5无大小关 系，A错 子+号=0，…=-，=引，=，=5，B 对. 1=a+bi,2=c+di(a,b,c,d∈R),与+=5-， (a+c)+(b+d)-V(a-c)'+(b-d), 则ac+bd=0,OZ,OZ=ac+bd=0,C对. 设0Z=(（1,1),OZ=(1,-1),此时0Z·0Z=0但=2≠0，D错， .1- 故选：BC. 11.ACD 【详解】对A,当x=y=1时，点P在线段CC”上动，如图所示， 由于ABIICD,可知∠BAP即为直线AP与CD所成角， 连接BP，,设CP=t,t∈[O,1], 则在Rt△ABP中，AB=1,BP=√BC2+CP2=V1+t2, an∠BAP=BP=+F∈[L,V],故A正确： AB 对于B,当x+二=1，y=0时，点P在线段AB上动， 故将三角形AA'B与四边形A'BCD'沿A'B展开到同一个平面上， 由图可知，线段AD的长度即为AP+PD的最小值， 在△AA'D'中，AD'=VP+1P-2x1x1×cos135°=V2+5,故B错 误； 对于C,当x+y+z=1时，点P在△ABD内部及边界上动， D 侧线段AP的长度最小值即点A到平面A'BD的距离，由 -AD=VAD得线段AP的长度最小值为Y5,故C正确； 对于D,当x+y+二=k(0<k<3)时，记点P的轨迹为平面， 故平面α截此正方体所得截面面积的最大值为正方体的中截面的面 积，如图所示： 当点E,F,G,H,M,N分别为对应棱的中点时，连结 EF,FG,GH,HM,MN,NE, 可得平面EFGHMN平行于平面A'BD,且为正六边形，此时该截面 EFGHMN是最大截面 由于正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为 则面积为 v3 3v X6= 4 2 4，故D正确故选：ACD 66-244-1010 13. 13V5 【详解】记C的焦点为F,则F(0,1), 由抛物线的定义知点P到的距离等于点P到F的距离， 故点P到l的距离与到直线x+2y+11=0的距离之和即点P到F的 距离与到直线x+2y+11=0的距离之和 其最小值为点F到直线x+2y+11=0的距离 1:115枚答家为：35 V12+22 5 x+2y+11=0 14.(2,+0) 【详解】由题意得：Sn=4+a2+a3+…+a n(n-1)n(n-1 n(n-1) =2°+(2+22)+(2+24+2)+…+22+22 ”+…+22 (n+1 =1-22 (n+1) -=22-1’ 1-2 n(n+1) 又因为b,=2l0g2(Sn+1)-12-2log222-元：2”=(n+1)-1:2", 所以有 bH-b.=[(n+1(+2)-元：2m+1]-[n(+1)-元：2”]=2(n+1)-元.2"， 因为数列b}单调递减，所以有b+1-b,=2(n+1)-·2”<0对于 neN恒成立， 即> 2+_对于mEN恒成立 2” 2可，则由c1-6,= n+1 再取Cm= 20 可知数列c,}单调递减，则c,=+1≤ 2-≤G1=2, 所以要使得不等式对于eN恒成立， 则满足1>2，即实数1的取值范围是(2，+∞). 故答案为：(2，+o) 15.(1){an}为等差数列，故43+4=4+44， 因为42+4=22,444=117，所以 43+44=22 444=117 整理得42-22☑+117=0，解得4=9或4=13， 当4=9时，a4=13,当43=13时，a4=9, .2. 因为d>0,所以4=9,44=13，故d=44-43=4, 此时a4=4-2d=1,所以a=4m-3, 因为等比数列}的首项=1，公比为3，得b=3-1 (2)由题3=2r-,S4=(2n-1)-3, T,=1+3x3+5×32+7x3+…+(2n-1)×31, 3Tn=3+3×32+5×33++(21-3)×3m4+(2-1)×3”, 两式相减得-2T=1+2(3+32+33+34+…+3-1)-(2n-1)×3m =1+23-3x3）(2r10x3=-2-(2r2x3”, 1-3 故Tn=(n-1)3”+1. 16.【详解】(1)由题设，Sn=2a.-2m+14(n∈N),可得 4=24-16+14,解得4=2， 则当n≥2时，Sn-1=201-2m+2+14, 所以a=Sn-Sn1=2a-2a-1-2++2+2，整理得g,=2a-1+2m, 则受受-4，又受-1故份是以1为首项，4为公差的等差数 列. (2)由(1)得=4-3，所以a.=2”(4-3). 22m+1 -11-1 6=2(4n-32(4n+(4n-3(4+044n-34n+1” 则 工--后司+(nn (3)由(2)知 n+1n_(n+1)(4n+1)-n(4n+5) 工-T=4n+）+14n+1 (4n+1)(4n+5) (4+1)(4n+: ，neN, 可知亿，}是单调递增数列，故当n=1时，T取得最小值工= 则由不等式恒成立可得-5≤70×写14，即m-5-14≤0 那么m-5-14=(m-7)(m+2)≤0，所以m∈[-2,7] c 3 a2 a=2 17.【详解】(1)由题意得： g4xD=4三7b=1 2 d2=b2+c2 c=v3 所以椭圆E的方程为： 4+y=1. （2)如图： 将直线y=x-1即x=y+1代入椭圆×+y2=1,得：(y+1+4y2=4. 整理得：5y2+2-3=0→0+15y)=0→y=1或y-号 又直线y-x1交轴于点0)所以8s存）号 (3)如图： 因为P,Q不与A,B重合，可设直线PQ方程为：x=y+1,代入椭圆 4+少2=1， 得：(y+1)+4y2=4,整理得：(t2+4)y2+2y-3=0. 设P(,),2(6), 2t 3 则乃+2= 2+4'%=2+4 直线9方程为品2产2-2之 令x=4得：y,即N点坐标为： 421 、y-1 24 所以aF产22+n y-1 4+23(y1-1) 因为 ewg3-3-)-os+3动 %+33(y-1)3(%,+3)(-1) 2t 2-3+2134+3+4=0 3(6,+3)(0-1)=3(6,+3)(-1) 所以kAe=kAw,所以A,O,N三点共线， 18.【详解】(1)取CF中点H,连接OH,GH ,四边形BCFE为矩形，∴.点O为BF中点， :OH1/BC且OH=BC,又：AG=BC且AG1/BC, 2 '.AG=OH且AG//OH,∴.四边形OHGA为平行四边形，即 AO/1GH,.GH1平面GCF,∴.AO/1平面GCF. (2),'AE⊥EF,且平面AEFG⊥平面EBCF,平面AEFG∩平面 EBCF=EF, .AE⊥平面EBCF, 又，BEC平面EBCF,∴.AE⊥BE, 故以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E-yz, -3- .A(0,0,2),B(2,0,0),F(0,4,0),C(2,4,0),G(02,2), AB=(2,0,-2),C℉=（-2,0,0)，CG=(（2,-2,2), 设=(3，y,3)为平面GCF的一个法向量， [C7.2=-2x1=0 x=0 则 CG.7=-2x1-2y+2z1=0 解得乃=1，即4=(0,1,1)， 5=1 设直线AB与平面GCF所成角为B, 则sin6=cos(aB AB. 2 1 AB 2W2×V22 (3)由(2)可知平面GCF的一个法向量为%=(0,1,1)， 设存在P(0,a,2),则PB=(2,-a,-2),PE=(0,-a,-2), 设平面PEB的一个法向量为h=（(x2,2,Z2), 63=0 PBh2=2x2-y2-2z2=0 则 PEh=-2-222=0 ，解得=-2，即乃=(0-2，a), 2=a 则6-57兰a-,即Pana. a-2=5 存在符合题意的点P 19.【小问1； 当9-号时.AF19,所以点A的标为号小o4-5 所少 +p2=V5,解得p=2,y2=4x. 【小问2详解】 ①在平面直角坐标系中，若日=，则直线4By=√3(x-1), 联立 y=5(x-),得3x2-10x+3=0解得=3，或=号 y2=4x, 所以点4，B的坐标分别为(3,2W5) W3 3 3 过O点作平面DBF的垂线为：轴，如图建立空间直角坐标系，则 D(-1,0,0),B 2W3 3,0F1,0,0) 当二面角P-DF-B的大小为2时，点 3 即P3,V5,3) BD- 29o小m-2-1ar-居2950 设平面PBF的法向量为i=(x,y,), [元.PF=0 -2x-V3y-3z=0, x=-V3y, 则 解得 BF=0, 即2.2W5 V5取 3 y=3,得i=（-3,V3,1, 设直线BD与平面PDF所成角为O,则 BD.n 4+2+09W91 sin= BD 27.丽 91，所以直线BD与平面PBF 3 所成角的正弦值为 9W91 91 @h=ew,专3pran0 eremo.in. 当6=时.1B-P-22= 22-sim元-2y5 6 23 当B≠时，在平面直角坐标系中，设直线AB的斜率为k,则直线 ABy=k(x-1),设点A,B的坐标分别为(x,片)，(x,y), 联立 ”a10 △=(22+4-4h4=16k2+16>0,x+x,= 2k2+4」 k2x2=1, 因为i20+cos0=1,k=tan6=sin0 ,所以 cose sin 0+ sin） k =1,得sin0=, -k2+1 -4- 所以91a网a0-怎hsm9. 兽++妙得y “181429 综上所述，三棱锥D-PBF的体积为定值2√5 3 高二数学月考试题 一、单选题 1. 已知为虚数单位，的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 3. 设 ，则 （ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（ ） A. B. 30 C. D. 18 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 二、多选题 8. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则的值为0 D. 已知，公差，则的最大值为32 10. 已知正方体的棱长为，点P满足，其中x，y，，下列正确的是（ ） A. 当时，则直线与所成角的正切值范围是 B. 当，时，则的最小值为 C. 当时，线段AP的长度最小值为 D. 当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为 三、填空题 11. 已知向量，则在方向上的投影向量坐标为_______________. 12. 已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为__________. 13. 已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是_____. 四、解答题 14. 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 15. 已知数列的前项和为，满足： （1）求证：数列为等差数列； （2）令，记数列的前项和为，求； （3）在（2）的条件下，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 16. 椭圆的离心率为，设A，B分别为E的左，右顶点，C，D分别为上、下顶点，四边形ACBD的面积为4． （1）求椭圆E的方程； （2）若直线与椭圆交于G、H，求的面积； （3）过点的直线l与椭圆E交于两点P，Q（不与A，B重合），若直线PB与直线相交于点N，求证：三点A，Q，N共线． 17. 如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 18. 如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． （1）求抛物线的方程； （2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 高二数学月考试题 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 二、多选题 【8题答案】 【答案】BC 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 三、填空题 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 四、解答题 【14题答案】 【答案】（1），. （2）. 【15题答案】 【答案】（1）证明: 由题设，，可得,解得, 则当时，， 所以，整理得， 则，又,故是以1为首项，4为公差的等差数列. （2） （3） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 如图： 因为不与重合，可设直线方程为：，代入椭圆， 得：，整理得：. 设，， 则，. 直线方程为：， 令得：，即点坐标为：. 所以，， 因为 ， 所以，所以三点共线. 【17题答案】 【答案】（1） 取中点，连接 ∵四边形为矩形，∴点为中点， ∴且， 又∵且，∴且， ∴四边形为平行四边形，即， ∵平面，平面.∴平面. （2） （3）存在，P点在A点处时平面与平面的夹角为. 【18题答案】 【答案】（1） （2）①； ②由题意得． ， 当时，， 当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为， 设点的坐标分别为， 联立得， 则， 因为，所以，得， 所以， ， 综上所述，三棱锥的体积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $