精品解析：河南方城县第一高级中学2026届高三上学期12月第1周周考数学试题

方城县第一高级中学2026届高三上学期12月第1周周考数学试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 4. 已知向量，设，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 10种 D. 12种 6. 二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用.但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到需要至少多少整数分钟（参考：）（ ） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 7. 已知是上的偶函数，当且时，恒成立，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 在棱长为6的正方体中，，过的平面将该正方体分成体积为的两个部分，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若函数对任意的，都有，则（ ） A B. 上单调递减 C. 为奇函数 D. 的最小正周期为 10. 已知函数，直线，则下列说法不正确的有（ ） A. B. 若有两个不等实根，则 C. 若有且仅有2个整数，使得点在直线的上方，则实数的取值范围为 D. 当时，轴右侧，直线恒在曲线上方 11. 已知是双曲线的一个焦点，则下列选项正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 到双曲线的一条渐近线的距离为1 C. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 D. 过点的直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有两条 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与交于两点（点在轴的上方），则__________. 13. 已知正实数，满足，则的最小值是__________． 14. 已知关于的方程的两根分别是，且满足，则实数_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 （1）根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； （2）在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． 16. 四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； （3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 已知正项等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求前项和； （3）设数列的前项和为，求． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为是上异于的两点. （1）设、分别为直线、的斜率，求的值； （2）若直线和直线相交于点，且点在直线上， （i）证明:直线过定点； （ii）若和的外接圆面积分别为，求的最大值. 19. 已知函数. （1）求的极值; （2）若函数 （i）证明:当时， （ii）当时，若对任意的，存在，恒成立，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2026届高三上学期12月第1周周考数学试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】集合表示被3整除余数为1的整数所构成的集合， 集合表示被3整除余数为2的整数构成的集合， 表示被3整除余数为1或2的整数集合， 则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集. 故选：A. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直接代入求得即可. 【详解】因为，代入得：， 所以虚部为， 故选：D 3. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】通过赋值法先求出，继而求得. 【详解】由得， 令，则，得； 令，则，得； 令，则，得. 故选：A. 4. 已知向量，设，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示计算出，再由数量积公式计算出夹角的余弦，结合角度范围求出夹角. 【详解】因为， 所以， 所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为． 故选：C． 5. 将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 10种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】根据隔板法来解决相同元素分组问题，通过在元素之间插入隔板来将元素分成不同的组. 【详解】本题是6个相同的小球放入3个不同的盒子，且每个盒子至少有1个小球的组合问题，可以使用隔板法， 将6个小球排成一排，中间形成5个空隙，在这5个空隙中插入2个隔板， 即可将小球分成3份，每份至少有1个， 因此，不同的放法共有种， 故选：C． 6. 二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用.但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到需要至少多少整数分钟（参考：）（ ） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据初始条件，先求出，得函数模型解析式，再代入，利用对数的运算性质计算即得. 【详解】依题意，时，，则得，解得，则， 由，可得，即， 两边取自然对数，，故. 故降至需要至少20分钟. 故选：B. 7. 已知是上的偶函数，当且时，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的对称性和单调性，可将不等式化为，进而可求解. 【详解】因为是上的偶函数，所以的图象关于直线对称， 当且时，恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则不等式可化为， 即或，解得或， 故原不等式的解集为． 故选：A 8. 在棱长为6的正方体中，，过的平面将该正方体分成体积为的两个部分，则的最大值是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线是长方体的体对角线，所以截面将长方体截成体积相等的两部分，进而可得截正方体的两部分体积的范围，从而可得所求值的最大值. 【详解】如图：由，得是的中点，是的三等分点（靠近A点）. 构造长方体是其体对角线，其体积. 设线段的中点为，过的平面为， 则平面将长方体分成的两个几何体关于点对称，体积都为. 而正方体的体积. 不妨设，则，， 当且仅当截面过四点时取得最大值. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若函数对任意的，都有，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 的最小正周期为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据最小值求得，判定A；利用两角和余弦公式和余弦函数的单调性研究，从而判定B；利用余弦函数的奇偶性判定C；利用二倍角余弦公式化简，利用余弦函数的周期性分析，得到周期，从而判定D. 【详解】依题意知，是的最小值，故，解得，故A正确； 由，得. 由，得在[上单调递增， 在上单调递增，故B错误； 为偶函数，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，直线，则下列说法不正确的有（ ） A. B. 若有两个不等实根，则 C. 若有且仅有2个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围为 D. 当时，在轴右侧，直线恒在曲线上方 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导函数由单调性即可判断AB，结合函数图象可得即可判断C，利用相切时的切线斜率即可判断D. 【详解】，故当时，，此时单调递减， 当时，,此时单调递增，故当时，取极大值也是最大值， 故，又，， 画出的大致图象如图： 对于A，由于在上单调递减，故，故A不正确， 对于B，若有两个不等实根，则，故B不正确， 对于C，由于直线恒过定点， 若有且仅有2个整数，使得点在直线的上方,则只有2个整数解， 结合图象可知：这两个整数解只能是1和2，故解得， 故C不正确， 对于D，当直线与相切于第一象限时，设切点为， 所以切点为的切线方程为，在切线上， 此时，故， 故切点处的横坐标为，故当， 当时，即，此时，在y轴右侧直线恒在曲线上方，正确. 故选：ABC 11. 已知是双曲线的一个焦点，则下列选项正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 到双曲线的一条渐近线的距离为1 C. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 D. 过点的直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有两条 【答案】BD 【解析】 【分析】求出双曲线的离心率可判断A；由点到直线的距离可判断B；求出双曲线与双曲线的渐近线可判断C；由直线与双曲线的位置关系可判断D. 【详解】由双曲线的方程可得双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距， 所以双曲线的离心率，故A错误； 由题意得，双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为， 由点到直线的距离公式得，到双曲线的渐近线的距离，故B正确； 双曲线的渐近线方程为，故C错误； 点在双曲线的渐近线上， 所以过点的直线与双曲线只有一个公共点的直线有两条， 一条和渐近线平行，一条与右支相切，故D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与交于两点（点在轴的上方），则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线方程，得点和点坐标，直线与抛物线联立方程组，得两点坐标，两点间距离公式得和，可求. 【详解】由抛物线，得，则直线的方程为， 由，消去得，解得或， 则有， 所以，， 可得. 故答案为：4 13. 已知正实数，满足，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，构造函数，根据函数的单调性得到，从而得到，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以，又因为  都是正数，所以 ，， 可构造函数 ， 因为与均在上单调递增，所以函数在上单调递增， 由 ，即  ， 根据函数单调性可得 ， 则  ， 当且仅当 ，，即 ，取等号， 因此  的最小值是  ． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是同构得到，结合函数的单调性得到. 14. 已知关于的方程的两根分别是，且满足，则实数_____． 【答案】 【解析】 分析】利用韦达定理化简，即可求. 【详解】由题设， 又， 所以，可得. 故答案为：2 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 （1）根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； （2）在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． 【答案】（1），8.7亿元 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）因为，由求出，由求出 再由回归方程求解旅游综合收入的估计值即可； （2）由题意可知，，根据二项分布概率公式求解分布列，再根据二项分布的期望求解期望. 【小问1详解】 因为 所以． 所以回归方程为：，当时， 当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元． 【小问2详解】 由题意可知， 则 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . 16. 四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； （3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由平面平面得到平面从而得到， 在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度， 在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解； （3）假设在侧棱上存在点，使得平面，设，，利用空间向量法求解. 【小问1详解】 ，是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； 【小问2详解】 取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设二面角的平面角为，则，， ，，，， 【小问3详解】 假设在侧棱上存在点，使得平面， 设，，， 设，，， ，， ， ，， 平面的法向量为， ，，， 存在点，使得平面， . 17. 已知正项等差数列满足，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）设数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式进行计算即可. （3）根据数列的性质分组求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则 解得或 依题意得，则，所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为是上异于的两点. （1）设、分别为直线、的斜率，求的值； （2）若直线和直线相交于点，且点在直线上， （i）证明:直线过定点； （ii）若和的外接圆面积分别为，求的最大值. 【答案】（1）; （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，表示出，并计算，根据点在椭圆上，化简即可得结果； （2）（i）设，表示出直线、的方程，求出点的坐标，进而表示出直线的方程即可得证； （ii）设和的外接圆半径分别为，根据结合正弦定理得到，根据（i）中求得的的坐标通过代数方法求出 PQ 的最小值即得. 【小问1详解】 由题意可得，． 设，则，，所以． 因为在椭圆上，所以，所以． 故； 【小问2详解】 设，，则 直线的方程为，直线的方程为， 由，消去，整理得：， 则，， ∴ 由，消去，整理得：, 则，， ∴ 所以 直线方程为， 即 故直线PQ恒过定点. （ii）由（i）知， 令，则， , 当时，取得最小值， 因为，所以. 设和的外接圆半径分别为， 由正弦定理得，所以. . 所以的最大值为. 19. 已知函数. （1）求的极值; （2）若函数 （i）证明:当时， （ii）当时，若对任意的，存在，恒成立，证明： 【答案】（1）极小值为无极大值 （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数工具研究函数的单调性即可由极值定义得解. （2）（i）将问题转化为：当时，.设，，利用导数分析函数的单调性，求其最值即可. （ii）原命题等价于当时，若， ，求需满足的条件.可利用（i）的结论进行证明. 【小问1详解】 依题意，，令，解得 . 故当 时，，单调递减， 当 时，，单调递增. 故的极小值为,无极大值. 【小问2详解】 （i）依题意 要证当时，，即证当时，. 令，， 则 ， 令，设，， 则， 当时，恒成立. 所以在上为减函数，则，则， 所以在上为增函数，故，结论得证. （ii）依题意，，，则. 令，， 则， 由（2）知所以，所以为增函数， 故，， 故原命题等价于当时，若， ，求需满足的条件. 设，则，， 由得记为， 故当时，，当时，， 因为，故; 又当时，，故存在，使得， 所以当时，，当时，， 又，所以 所以由可知，成立，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $