精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年度上学期高三1月月考数学试题

2025-2026学年度上学期2023级 1月月考数学试卷 命题人：沙市中学高三数学组 审题人：沙市中学高三数学组 考试时间：2026年1月27日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解. 【详解】根据题意，， 则的共轭复数为，其对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. 集合，则满足的集合的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求出集合，然后根据子集的概念求解． 【详解】， 又， 则满足的集合有：，共4个， 故选：A． 3. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可. 【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为， 则渐近线的倾斜角为或， 所以渐近线的斜率为或. 因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为. 所以或. 所以双曲线的离心率为或2. 故选：C. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，结合题意可知该函数为奇函数，利用奇函数的性质列式，化简求值，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得的图象对应的函数为， 由题意知的图象关于原点对称，即函数为奇函数， 故， 即， 故， 即， 因为，故当时，m取最小值. 另解：由题意知的图象关于原点对称， 故，即， 因为，故当时，m取最小值， 故选：A 5. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（ ）的值. A. 和 B. 和 C. 和 D. 三者 【答案】D 【解析】 【分析】在中用已知条件和正弦定理表示的长，再在中用正弦定理表示的长最后即可表示的长，即可知道为了测出隧道的长度，还需直接测出哪些值. 【详解】在中， 由正弦定理有：，所以， 在中， 由正弦定理有：， 所以， 因为， 所以为了测出隧道的长度，还需直接测出三者的值. 故选：D 7. 设数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，求出的值，当且时，由可得，两式作差推导出为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出的通项公式，进而可得出的表达式，逐项判断即可. 【详解】因为数列的前项和为，且， 当时，则，解得， 当且时，由可得， 上述两式作差可得，整理可得， 等式两边同时除以可得， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，所以， 对于AB选项，，，则，A错B对； ， 对于CD选项，，， 所以，，CD都错. 故选：B. 8. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得的轨迹方程，进一步作二面角的平面角为，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件. 【详解】因为，所以，点的轨迹方程为（椭球）， 又因为，所以点的轨迹方程为，（双曲线的一支） 过点作，而面， 所以面， 设为中点，则二面角为， 所以不妨设， 所以， 所以，令， 所以， 等号成立当且仅当， 所以当且仅当时，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，得到，且，结合期望和方差的性质，以及正态分布曲线的对称性，逐项判定，即可求解. 【详解】由随机变量服从正态分布，可得， 又由随机变量服从正态分布，可得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由正态分布曲线的性质，得，所以C正确； 对于D中，由， 又由正态分布曲线的对称性，可得， 所以. 故选：ACD. 10. 已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形三边关系可以判断AC，根据抛物线的定义可以判断B，根据AB可以判断D. 【详解】根据题意可知的坐标为，因为，故， 当且仅当，，共线时等号成立， 而的方程为：，联立，得出，此时，故A正确； 设在的准线上的射影为，因为，故， 当且仅当，，共线时等号成立，此时，，故B正确； 故，当且仅当，，共线时等号成立，故C错误； 由A，B选项可知， 当且仅当的坐标为时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 11. 设，其中．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 当为奇数时，为奇函数 C. 当时，的值域为 D. 当时，关于对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二倍角的正弦结合同角的三角函数关系可得A；举反例可判断B；由可得C；先求函数的定义域，再分为奇数和偶数讨论可得D. 【详解】因为并且，所以选项A正确； 因为，所以不是奇函数，B选项错误； 当时， ，并且，，所以的值域为，C选项正确； 时，若，则定义域为；若，则定义域为，均关于对称． 当为奇数时， ； 当为偶数时， ． 综上所述，D选项正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的正整数的值______． 【答案】（只需满足，） 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，可得出，结合，可得出的取值. 【详解】的展开式通项为， 令，可得， 因为，，由，故， 从而可知. 故答案为：（只需满足，）. 13. 已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理求出最小时的值，确定在中，，再利用余弦定理求出的关系，解得答案. 【详解】设椭圆方程为，其焦距为2c， 由题意可知； 设，则， 故 ， 当时，取最小值，此时取最小值， 则此时在中，， 则, 即，整理得， 故椭圆离心率， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用余弦定理确定最小时的值，进而再利用余弦定理求出的关系，解得答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤． 15. 在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）平面平面平面. 同理可得平面. 又平面， 平面平面. 平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而根据线面平行的性质可证得结论. （2）法1：根据面面垂直得线面垂直，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解线面夹角即可；法2：根据点、线、面的位置关系，利用等体积转化求解到平面的距离，从而转化求解直线与平面所成角得正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法1：取中点，易知. 平面平面，平面平面， 又平面，， 平面. 如图，建立空间直角坐标系， 则. 从而，得. 又，设平面的法向量， 有，得，解得，取，故， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 法2：取中点，则是平行四边形，所以. 从而与平面所成角即为与平面所成角，设为. 过作交于，过作交于， 过作交于. 因为平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 从而平面，因为平面， 所以，又，平面， 从而平面. 所以的长即为到平面的距离. 由，可得. 又，所以到平面的距离设为即为到平面的距离，即. 又，可得. 在中，，所以，得. 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 设． （1）求函数的单调区间； （2）若的三个顶点均在半径为的圆周上，求面积的最大值． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间； （2）结合三角形面积公式和三角函数的性质求出面积的最大值. 【小问1详解】 ，令，，，的单调增区间为； 令，，，的单调减区间为 ． 综上所述，函数的单调增区间为，单调减区间为 ． 【小问2详解】 不妨设为锐角，设为圆心，如图所示， ，． 由第（1）问可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，． 当为等边三角形时，． 综上所述，面积的最大值为． 17. 已知函数. （1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围. 【答案】（1） 不存在，理由如下： 由知的定义域为，且， 假设存在实数，使得为函数的极小值点， 则，即，解得， 此时， 所以是减函数，与为函数的极小值点矛盾， 所以假设不成立，即不存在实数，使得为函数的极小值点； （2）. 【解析】 【分析】（1）反证法说明不存在满足题意的实数； （2）将问题转化为在上有解，整理后得到一个等式，换元后构造函数，利用导数研究该函数的最值，对的范围分类讨论从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若图象上总存在关于点对称的两点， 则在上有解， 即在上有解， 整理得， 令，得， 问题可转化为在上有解， 令，则； ①当时，，是减函数， 又，所以， 所以在上无零点，不符合题意； ②当时，，是增函数， 又，所以， 所以在上无零点，不符合题意； ③当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增， 所以的最小值为， 又时，， 根据函数零点存在定理可知在上必存在零点，符合题意； 综上，的取值范围是. 18. 在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． （1）求所在椭圆的离心率； （2）若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； （3）是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率； （2）问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切，且切线与有交点，设切线方程，利用与圆相切关系求参数，进而确定P的坐标； （3）设，，联立椭圆方程，结合韦达定理、判别式得，注意讨论、，确定中点为，再结合、求参数范围. 【小问1详解】 由，则，即离心率为； 【小问2详解】 由题设，问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切， 且切线与有交点，显然切线斜率存在，令切线为， 所以，可得，则或， 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，满足； 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，不满足； 综上，. 【小问3详解】 由题设，直线的斜率存在，可设，， 联立，整理得， 其中，即， 所以，，则， ， 所以且，故， 当时，则且，则，此时，满足； 当，而的中点为，又， 则，即， 且， ， 所以，则， 所以，则，故 所以，则. 综上，. 【点睛】关键点点睛：第三问，设，，根据已知得到，且、的应用为关键 19. 光明中学举行校乒乓球比赛，共有人报名参加男子单打比赛，参赛选手的编号记为，并将所有选手分成A，B两组，每组各人，其中为不小于10的整数. （1）若，求编号为10和20的选手都在A组的概率； （2）若编号为和的选手都在A组，证明：在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于； （3）A组选手与B组选手一对一比赛后共有人晋级.已知在晋级的选手中有不超过10%的选手退赛，证明：在晋级且没有退赛的选手中总能找出4人，使得在这4人中有2人的编号之和等于另外2人的编号之和. 【答案】（1） （2）证明：设B组选手的编号分别为， 因为编号为和的选手都在A组， 故这个数的值只能取这个值， 故它们中必有两个数相等， 因为互不相等，所以也互不相等， 故一定存在，其中，， 又因为，，故存在，使得， 即在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于. （3）证明：设晋级且没有退赛的选手共有人，他们组成集合， 其中表示选手的编号，，且，， 假设中不存在4个元素满足其中2个元素之差等于另2个元素之差； （i）当为奇数时，考虑两组差：和 根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数， 故， ， 两式相加有； （ii）当为偶数时，考虑两组差：和， 根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数， 故， ， 两式相加有， 故若，即时， 中一定存在4个元素满足其中2个元素之差等于另2个元素之差， 也等价于其中2个元素之和等于另2个元素之和， 又因为当时，，故， 所以在晋级且没有退赛的选手中总能找出4人，使得其中2人的编号之和等于另外2人的编号之和． 【解析】 【分析】（1）先求出所有可能的分组情况，再求出编号为10和20的选手都在A组的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率； （2）通过分析编号为和的选手在A组时，B组选手编号的组合情况，利用抽屉原理证明存在编号之和等于的两人； （3）先确定晋级且没有退赛的选手人数范围，再通过构造编号之和的组合，利用抽屉原理证明存在满足条件的4人． 【小问1详解】 编号为10和20的选手都在A组的概率； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期2023级 1月月考数学试卷 命题人：沙市中学高三数学组 审题人：沙市中学高三数学组 考试时间：2026年1月27日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 集合，则满足的集合的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 15 D. 16 3. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（ ）的值. A. 和 B. 和 C. 和 D. 三者 7. 设数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设，其中．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 当为奇数时，为奇函数 C. 当时，的值域为 D. 当时，关于对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的正整数的值______． 13. 已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤． 15. 在菱形中，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 设． （1）求函数的单调区间； （2）若的三个顶点均在半径为的圆周上，求面积的最大值． 17. 已知函数. （1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． （1）求所在椭圆的离心率； （2）若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； （3）是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 光明中学举行校乒乓球比赛，共有人报名参加男子单打比赛，参赛选手的编号记为，并将所有选手分成A，B两组，每组各人，其中为不小于10的整数. （1）若，求编号为10和20的选手都在A组的概率； （2）若编号为和的选手都在A组，证明：在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于； （3）A组选手与B组选手一对一比赛后共有人晋级.已知在晋级的选手中有不超过10%的选手退赛，证明：在晋级且没有退赛的选手中总能找出4人，使得在这4人中有2人的编号之和等于另外2人的编号之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $