精品解析：山西太原市2025--2026学年第一学期九年级数学期末试卷

2025~2026学年第一学期九年级期末学业诊断 数学 （考试时间：上午8：00−9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 反比例函数的图像一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 2. 柱础石是中国建筑石构件中的一种，在传统砖木结构建筑中用以负荷与防潮．如图是一种空心柱础石的示意图及其主视图（柱础石中空的部分是圆柱形），则其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，与是第一象限内以点为位似中心的位似图形．若，点的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 5. 为分析一元二次方程根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在花艺造型中，黄金分割率被赞誉为最美的比例．如图，在竖向的花艺作品中，花材的高、花器的高以及整体作品的高满足黄金分割率，即．若要使花艺造型满足黄金分割率，且整体作品高，则花材的高约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 近年，我省文博场馆旅游热潮持续升温，全省文旅市场呈现“人气旺、活力足”的繁荣景象．据统计，2023年国庆期间文博场馆门票收入约为1247万元，2025年国庆期间文博场馆门票收入约为1774万元．设连续两年国庆期间文博场馆门票收入的年平均增长率为．则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数的图象经过点，则下列结论一定成立的是（ ） A. 点在同一个象限 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 如图，小彬将两根长度相等的细木条的一端固定（固定点记为O），制成一个可以活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径．已知，，则储物罐内径的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 12. 如图，均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则的值为__________． 13. 2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案．电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机转到相邻两个区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按两次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图像上，点是轴上的一个动点，连接．若轴，且的面积为，则的值为__________． 15. 如图，在中，，，点是边的一个三等分点，点在边上，线段交于点．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 16. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 17. 如图，矩形中，点是边的中点，连接，点是矩形外一点，连接．若，判断四边形的形状，并说明理由． 18. 学校开展“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的国防教育活动，组织同学们到三处红色教育基地学习，分别是：山西国民师范旧址革命活动纪念馆、太原解放纪念馆、彭真生平暨中共太原支部旧址纪念馆．薪火社团和星星社团收集了三枚红色教育基地的书签（除正面图案外完全相同，分别记为A，B，C）．现将三张书签背面朝上放置于桌面，搅匀后由薪火社团代表先从中随机抽取一张，记下图案名称后放回搅匀；由星星社团代表再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求两个社团代表抽到的恰好是同一个红色教育基地书签的概率． 19. 综合与实践 问题情境：物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动就发出了声音．大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究． 实验操作：将吸管不断剪短，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表： 吸管长度（） 200 150 120 100 80 60 50 … 振动频率（） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 … 数学思考：根据上述信息，解决下列问题： （1）观察振动频率随吸管长度变化的规律，可知是的__________函数（选填：“一次”或“反比例”），y与之间的函数关系式为__________； （2）若一根同型号吸管的长为40，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为_____； （3）已知人耳通常能够感知的声波频率不超过．若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？ 20. 智能家居已经悄悄融入我们的日常生活，人脸识别门锁就是智能家居产品中常见的一种．某商家销售一款人脸识别门锁，每套进价为1200元．调查发现，当销售价为1600元时，平均每天能售出8套；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4套．该商家要使这款人脸识别门锁平均每天的销售利润为5000元，每套应降价多少元？ 21. 研学实践 研学主题：在太原市五一广场的南广场上，一座大型雕塑《力量》巍然矗立．该雕塑展现了八路军部队集结于首义门外准备开赴抗日前线，广大太原民众自发欢送将士北上抗日的历史情景．研学实践活动中，同学们利用所学知识测量这座雕塑的高度． 方案设计：如图，点表示雕塑最高点，矩形表示雕塑基座，测倾仪安装在雕塑旁水平地面上点处．调整测倾仪高度，使测倾仪顶部与在同一水平直线上．同时测得点的仰角；保持测倾仪高度不变．沿方向移动测倾仪到点，测倾仪顶部也在直线上，测得点的仰角．图中各点均在同一竖直平面内． 问题解决： （1）同学们发现根据上述方案得到的信息，仍无法计算出雕塑的实际高度（即点到的距离），他们计划补充测量如下数据： ①测倾仪的高度；②基座的宽度； ③测倾仪移动的距离；④测倾仪最初位置到基座的距离． 这四个补测数据中仅有一个能求出雕塑的实际高度，这个数据是_____（填序号即可）； （2）若（1）中符合要求的数据测量结果是，请根据你所选择的数据求出雕塑的实际高度（即点到的距离，结果精确到．参考数据：， 22. 阅读与思考 下面是一篇数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 等腰五边形 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究．下面我们按照“定义一性质一判定”的路径研究“等腰五边形”． 定义对象：如图1，在凸五边形中，，，像这样的五边形叫做等腰五边形，其各部分要素名称如图1所示． 由定义直接可以得到：等腰五边形的两条上腰相等、两条下腰相等，两个旁角相等； 分析性质： ①从整体看，等腰五边形是轴对称图形； ②从局部看，关于底角：……；关于对角线：…… 任务： 概念理解：（1）已知：如图2，正方形中，点分别在，边上，且，连接．求证：五边形是等腰五边形； 性质探究：（2）根据定义，进一步探索等腰五边形的其他性质． ①写出等腰五边形底角的性质； ②如图3，已知等腰五边形，其中．在图3中适当添加线段，可以获得关于等腰五边形性质的相关结论． 例：在图3中连接，得到图4，则． 请仿照上例，在图3中添加其它线段（画出添加的线段，说明添加方法），写出相应的一个结论； 应用拓展：（3）如图5，在一张菱形纸片中，，点分别在菱形的一组邻边上（不与顶点重合），连接，可将菱形纸片分成两部分，其中一部分的形状是以为底边的等腰五边形，若其面积是菱形面积的，则的长为_____． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，老师让同学们以矩形为背景，探索动点运动过程中产生的数学问题．已知四边形是矩形，，是它的一条对角线，点是平面内的一个动点，且始终等于，作线段的垂直平分线，分别交直线，，于点，，． （1）如图1，小敏画出了点在线段的延长线上时的图形．判断此时四边形的形状，并证明你的结论； （2）如图2，小捷画出了点与点重合时的图形．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）保持（2）中的矩形形状不变，小琪继续改变点的位置（不再与点重合），且其他条件不变．请直接写出直线经过点时，的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期九年级期末学业诊断 数学 （考试时间：上午8：00−9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 反比例函数的图像一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上的点，根据反比例函数图像上的点的横纵坐标之积为6，进行判断即可． 【详解】解：A、，故点在反比例函数的图像上；符合题意； B、，故点不在反比例函数的图像上；不符合题意； C、，故点不在反比例函数的图像上；不符合题意； D、，故点不在反比例函数的图像上；不符合题意； 故选A 2. 柱础石是中国建筑石构件中的一种，在传统砖木结构建筑中用以负荷与防潮．如图是一种空心柱础石的示意图及其主视图（柱础石中空的部分是圆柱形），则其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图．根据左视图的定义，结合图形判断即可，实物中存在的线条，视图中无法看到的用虚线表示． 【详解】解：该图形的左视图为 故选：B． 3. 已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 根据因式分解法可直接进行求解． 【详解】解：A、由方程解得，，故不符合题意； B、由方程解得，，故符合题意； C、由方程解得，，故不符合题意； D、由方程解得，，故不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，与是第一象限内以点为位似中心的位似图形．若，点的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据与以原点为位似中心，以及，得出与的相似比为，再结合点的坐标为，进而求出点的坐标． 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形， ， ， ∴与位似比为， ∵点的坐标是， ∴点的坐标为，即点的坐标为， 故选：A． 5. 为分析一元二次方程根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先将方程化为一般形式，再计算判别式 ，判断即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 其中，，， ∴， 故只有选项D正确； 故选D． 6. 在花艺造型中，黄金分割率被赞誉为最美的比例．如图，在竖向的花艺作品中，花材的高、花器的高以及整体作品的高满足黄金分割率，即．若要使花艺造型满足黄金分割率，且整体作品高，则花材的高约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ， 故选：B． 7. 如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定定理，正方形的判定定理，含30度角的直角三角形的性质．根据菱形的判定方法和正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的四个图形中， 第一个四边形中，，， ∴，不是菱形； 第二个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， ∴第二个四边形是菱形； 第三个图形是菱形，如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴,， ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 第四个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， 四个角都等于， ∴第四个四边形是正方形； 综上，是菱形但不是正方形的有2个． 故选：B． 8. 近年，我省文博场馆旅游热潮持续升温，全省文旅市场呈现“人气旺、活力足”的繁荣景象．据统计，2023年国庆期间文博场馆门票收入约为1247万元，2025年国庆期间文博场馆门票收入约为1774万元．设连续两年国庆期间文博场馆门票收入的年平均增长率为．则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设连续两年国庆期间文博场馆门票收入的年平均增长率为， 由题意，得： ； 故选：A． 9. 已知反比例函数的图象经过点，则下列结论一定成立的是（ ） A. 点在同一个象限 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，当时，， ∴当，， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 无法得到点在同一个象限，若，则，当点在不同象限时，，； 故只有选项D正确； 故选D． 10. 如图，小彬将两根长度相等的细木条的一端固定（固定点记为O），制成一个可以活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径．已知，，则储物罐内径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，连接，过点作交于点，根据，，，得出，，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作交于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查配方法解方程，熟练掌握配方法是解题的关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可． 【详解】解：方程，两边加上 9，得，即； 故答案为：10 12. 如图，均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则的值为__________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握余弦的定义是解题的关键；由网格可知：，则有，然后根据余弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接 由网格可知， ， ， 故答案为：． 13. 2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案．电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机转到相邻两个区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按两次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 设“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”分别用表示，先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”分别用表示， 可画树状图为： 由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果数有2种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率是． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图像上，点是轴上的一个动点，连接．若轴，且的面积为，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可知、两点横坐标相同，则设其为，进而可得，最后将的面积表示出来进行求解即可． 【详解】解：∵轴， ∴、两点横坐标相同，设其为， ∵点在上， ∴坐标为， ∵点在上， ∴坐标为， ∴， ∵的面积底高，且底为，高为到轴的水平距离，即， ∴ 解得， 故答案为：2． 15. 如图，在中，，，点是边的一个三等分点，点在边上，线段交于点．若，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．利用等腰直角三角形两腰相等、底角为的性质得到斜边长和角度相等，根据三角形相似进而得到对应边的比例关系，是解题的关键． 首先根据等腰三角形的性质，得到的长，根据点是边的一个三等分点，得到的长，根据两角相等，得到，进而根据对应线段成比例得到的长，根据勾股定理得到的长，根据两角相等，得到，进而根据对应线段成比例得到的长，进而得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是边的一个三等分点， ∴, 在和中， ，， ∴， ∴, ∴， ∴, ∴， ∴, 又∵，， ∴， ∴, ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 16. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）, （2）, 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．熟悉利用因式分解法和配方法解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）配方法解一元二次方程：通过移项将常数项移项至等式右边，通过配方将等式左边写成完全平方式，进而开平方求解． （2）因式分解法解一元二次方程：通过平方差公式变形等号左边的式子，再移项使方程右边为，提取公因式，将方程化为“因式乘积等于”的形式，进而求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得： 配方，得：， 写成完全平方式，得：， 降次，得：， 移项，得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解，得：， 移项，得：， 提公因式，得：， 化简，得：， ∴或， 解得：, ． 17. 如图，矩形中，点是边的中点，连接，点是矩形外一点，连接．若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，详见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定定理，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理． 先证明四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质证明，则，即可证明四边形为菱形． 【详解】解：四边形是菱形． 理由：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形 18. 学校开展“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的国防教育活动，组织同学们到三处红色教育基地学习，分别是：山西国民师范旧址革命活动纪念馆、太原解放纪念馆、彭真生平暨中共太原支部旧址纪念馆．薪火社团和星星社团收集了三枚红色教育基地的书签（除正面图案外完全相同，分别记为A，B，C）．现将三张书签背面朝上放置于桌面，搅匀后由薪火社团代表先从中随机抽取一张，记下图案名称后放回搅匀；由星星社团代表再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求两个社团代表抽到的恰好是同一个红色教育基地书签的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两个社团代表抽到的恰好是同一个红色教育基地书签的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 薪火 星星 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两个社团代表抽到的恰好是同一个红色教育基地书签的结果数有3种， ∴两个社团代表抽到的恰好是同一个红色教育基地书签的概率为． 19. 综合与实践 问题情境：物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动就发出了声音．大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究． 实验操作：将吸管不断剪短，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表： 吸管长度（） 200 150 120 100 80 60 50 … 振动频率（） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 … 数学思考：根据上述信息，解决下列问题： （1）观察振动频率随吸管长度变化的规律，可知是的__________函数（选填：“一次”或“反比例”），y与之间的函数关系式为__________； （2）若一根同型号吸管的长为40，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为_____； （3）已知人耳通常能够感知的声波频率不超过．若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？ 【答案】（1）反比例， （2）2175 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据表格，得到的值为定值，进行求解即可； （2）令，求出函数值即可； （3）求出时的函数值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由表格可知，，为定值， ∴是的反比例函数，； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴当时，； 故答案为：2175 【小问3详解】 解：当时，， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴吸管的长度最短应是． 20. 智能家居已经悄悄融入我们的日常生活，人脸识别门锁就是智能家居产品中常见的一种．某商家销售一款人脸识别门锁，每套进价为1200元．调查发现，当销售价为1600元时，平均每天能售出8套；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4套．该商家要使这款人脸识别门锁平均每天的销售利润为5000元，每套应降价多少元？ 【答案】每套应降价150元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准题目中的数量关系建立方程是关键． 设每套应降价元，则可以多售出套，每套人脸识别门锁的利润为元，再由题意建立方程求出其解． 【详解】解：设每套应降价元，则可以多售出套，每套人脸识别门锁的利润为元， 由题意，得． 整理得， 解得：， 答：每套应降价150元． 21. 研学实践 研学主题：在太原市五一广场的南广场上，一座大型雕塑《力量》巍然矗立．该雕塑展现了八路军部队集结于首义门外准备开赴抗日前线，广大太原民众自发欢送将士北上抗日的历史情景．研学实践活动中，同学们利用所学知识测量这座雕塑的高度． 方案设计：如图，点表示雕塑最高点，矩形表示雕塑基座，测倾仪安装在雕塑旁水平地面上点处．调整测倾仪高度，使测倾仪顶部与在同一水平直线上．同时测得点的仰角；保持测倾仪高度不变．沿方向移动测倾仪到点，测倾仪顶部也在直线上，测得点的仰角．图中各点均在同一竖直平面内． 问题解决： （1）同学们发现根据上述方案得到的信息，仍无法计算出雕塑的实际高度（即点到的距离），他们计划补充测量如下数据： ①测倾仪的高度；②基座的宽度； ③测倾仪移动的距离；④测倾仪最初位置到基座的距离． 这四个补测数据中仅有一个能求出雕塑的实际高度，这个数据是_____（填序号即可）； （2）若（1）中符合要求的数据测量结果是，请根据你所选择的数据求出雕塑的实际高度（即点到的距离，结果精确到．参考数据：， 【答案】（1）③ （2）雕塑的实际高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）连接，作，根据题意，可知所需数据应与有关，才能进行计算，即可得出结果； （2）分别解，求出，根据列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：作，如图， 根据题意，可知所需数据应与有关， 故这个数据是③； 【小问2详解】 解：在中，， ∴； 在中，， ∴； ∴， 解得； 答：雕塑的实际高度为． 22. 阅读与思考 下面是一篇数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 等腰五边形 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究．下面我们按照“定义一性质一判定”的路径研究“等腰五边形”． 定义对象：如图1，在凸五边形中，，，像这样的五边形叫做等腰五边形，其各部分要素名称如图1所示． 由定义直接可以得到：等腰五边形的两条上腰相等、两条下腰相等，两个旁角相等； 分析性质： ①从整体看，等腰五边形是轴对称图形； ②从局部看，关于底角：……；关于对角线：…… 任务： 概念理解：（1）已知：如图2，正方形中，点分别在，边上，且，连接．求证：五边形是等腰五边形； 性质探究：（2）根据定义，进一步探索等腰五边形的其他性质． ①写出等腰五边形底角的性质； ②如图3，已知等腰五边形，其中．在图3中适当添加线段，可以获得关于等腰五边形性质的相关结论． 例：在图3中连接，得到图4，则． 请仿照上例，在图3中添加其它线段（画出添加的线段，说明添加方法），写出相应的一个结论； 应用拓展：（3）如图5，在一张菱形纸片中，，点分别在菱形的一组邻边上（不与顶点重合），连接，可将菱形纸片分成两部分，其中一部分的形状是以为底边的等腰五边形，若其面积是菱形面积的，则的长为_____． 【答案】（1）证明见解析；（2）①等腰五边形的底角相等；②连接，则；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，推出，即可得证； （2）①等腰五边形的底角相等；②连接连接，证明，得到即可； （3）连接交于点，在上分别取点，且，根据菱形的性质，推出五边形为等腰五边形，易得为含30度的等腰三角形，求出菱形的面积，根据等腰五边形的面积是菱形面积的，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在五边形中，， ∴五边形是等腰五边形； （2）①等腰五边形的底角相等； 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即等腰五边形的底角相等； ②连接，则； 由①知：， ∵， ∴， ∴； （3）连接交于点，在上分别取点，且， ∵菱形， ∴，，， ∴，即，， 在五边形中，， ∴五边形为等腰五边形， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵五边形的面积是菱形面积的， ∴， 作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握新定义，是解题的关键． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，老师让同学们以矩形为背景，探索动点运动过程中产生的数学问题．已知四边形是矩形，，是它的一条对角线，点是平面内的一个动点，且始终等于，作线段的垂直平分线，分别交直线，，于点，，． （1）如图1，小敏画出了点在线段的延长线上时的图形．判断此时四边形的形状，并证明你的结论； （2）如图2，小捷画出了点与点重合时的图形．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）保持（2）中的矩形形状不变，小琪继续改变点的位置（不再与点重合），且其他条件不变．请直接写出直线经过点时，的度数． 【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析 （2），理由见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线的性质和矩形的性质可证明四边形是矩形，结合，可判定四边形是正方形； （2）根据含有的直角三角形的性质进行证明即可； （3）根据点在上的位置分三类讨论，结合（2）中的结论可得，，，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理，计算出即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，点与点重合， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴，点是中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①当点在线段上时，如图，设， 由（2）可知，，， ∴， ∵， ∴在点运动的过程中，始终等于， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，； ②当点在线段的延长线上时，如图，设， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，； ③当点在线段的延长线上时，如图，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质， 三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $