山西太原市2025--2026学年第一学期九年级数学期末试卷

2025~2026学年第一学期九年级期末学业诊断 数学 （考试时间：上午8：00−9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 反比例函数的图像一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 2. 柱础石是中国建筑石构件中的一种，在传统砖木结构建筑中用以负荷与防潮．如图是一种空心柱础石的示意图及其主视图（柱础石中空的部分是圆柱形），则其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，与是第一象限内以点为位似中心的位似图形．若，点的坐标为，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 5. 为分析一元二次方程根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在花艺造型中，黄金分割率被赞誉为最美的比例．如图，在竖向的花艺作品中，花材的高、花器的高以及整体作品的高满足黄金分割率，即．若要使花艺造型满足黄金分割率，且整体作品高，则花材的高约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 近年，我省文博场馆旅游热潮持续升温，全省文旅市场呈现“人气旺、活力足”的繁荣景象．据统计，2023年国庆期间文博场馆门票收入约为1247万元，2025年国庆期间文博场馆门票收入约为1774万元．设连续两年国庆期间文博场馆门票收入的年平均增长率为．则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数的图象经过点，则下列结论一定成立的是（ ） A. 点在同一个象限 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 如图，小彬将两根长度相等的细木条的一端固定（固定点记为O），制成一个可以活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径．已知，，则储物罐内径的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 11. 用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 12. 如图，均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则的值为__________． 13. 2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案．电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机转到相邻两个区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按两次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图像上，点是轴上的一个动点，连接．若轴，且的面积为，则的值为__________． 15. 如图，在中，，，点是边的一个三等分点，点在边上，线段交于点．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 16. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 17. 如图，矩形中，点是边的中点，连接，点是矩形外一点，连接．若，判断四边形的形状，并说明理由． 18. 学校开展“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的国防教育活动，组织同学们到三处红色教育基地学习，分别是：山西国民师范旧址革命活动纪念馆、太原解放纪念馆、彭真生平暨中共太原支部旧址纪念馆．薪火社团和星星社团收集了三枚红色教育基地的书签（除正面图案外完全相同，分别记为A，B，C）．现将三张书签背面朝上放置于桌面，搅匀后由薪火社团代表先从中随机抽取一张，记下图案名称后放回搅匀；由星星社团代表再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求两个社团代表抽到的恰好是同一个红色教育基地书签的概率． 19. 综合与实践 问题情境：物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动就发出了声音．大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究． 实验操作：将吸管不断剪短，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表： 吸管长度（） 200 150 120 100 80 60 50 … 振动频率（） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 … 数学思考：根据上述信息，解决下列问题： （1）观察振动频率随吸管长度变化的规律，可知是的__________函数（选填：“一次”或“反比例”），y与之间的函数关系式为__________； （2）若一根同型号吸管的长为40，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为_____； （3）已知人耳通常能够感知的声波频率不超过．若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？ 20. 智能家居已经悄悄融入我们的日常生活，人脸识别门锁就是智能家居产品中常见的一种．某商家销售一款人脸识别门锁，每套进价为1200元．调查发现，当销售价为1600元时，平均每天能售出8套；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4套．该商家要使这款人脸识别门锁平均每天的销售利润为5000元，每套应降价多少元？ 21. 研学实践 研学主题：在太原市五一广场的南广场上，一座大型雕塑《力量》巍然矗立．该雕塑展现了八路军部队集结于首义门外准备开赴抗日前线，广大太原民众自发欢送将士北上抗日的历史情景．研学实践活动中，同学们利用所学知识测量这座雕塑的高度． 方案设计：如图，点表示雕塑最高点，矩形表示雕塑基座，测倾仪安装在雕塑旁水平地面上点处．调整测倾仪高度，使测倾仪顶部与在同一水平直线上．同时测得点的仰角；保持测倾仪高度不变．沿方向移动测倾仪到点，测倾仪顶部也在直线上，测得点的仰角．图中各点均在同一竖直平面内． 问题解决： （1）同学们发现根据上述方案得到的信息，仍无法计算出雕塑的实际高度（即点到的距离），他们计划补充测量如下数据： ①测倾仪的高度；②基座的宽度； ③测倾仪移动的距离；④测倾仪最初位置到基座的距离． 这四个补测数据中仅有一个能求出雕塑的实际高度，这个数据是_____（填序号即可）； （2）若（1）中符合要求的数据测量结果是，请根据你所选择的数据求出雕塑的实际高度（即点到的距离，结果精确到．参考数据：， 22. 阅读与思考 下面是一篇数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 等腰五边形 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究．下面我们按照“定义一性质一判定”的路径研究“等腰五边形”． 定义对象：如图1，在凸五边形中，，，像这样的五边形叫做等腰五边形，其各部分要素名称如图1所示． 由定义直接可以得到：等腰五边形的两条上腰相等、两条下腰相等，两个旁角相等； 分析性质： ①从整体看，等腰五边形是轴对称图形； ②从局部看，关于底角：……；关于对角线：…… 任务： 概念理解：（1）已知：如图2，正方形中，点分别在，边上，且，连接．求证：五边形是等腰五边形； 性质探究：（2）根据定义，进一步探索等腰五边形的其他性质． ①写出等腰五边形底角的性质； ②如图3，已知等腰五边形，其中．在图3中适当添加线段，可以获得关于等腰五边形性质的相关结论． 例：在图3中连接，得到图4，则． 请仿照上例，在图3中添加其它线段（画出添加的线段，说明添加方法），写出相应的一个结论； 应用拓展：（3）如图5，在一张菱形纸片中，，点分别在菱形的一组邻边上（不与顶点重合），连接，可将菱形纸片分成两部分，其中一部分的形状是以为底边的等腰五边形，若其面积是菱形面积的，则的长为_____． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，老师让同学们以矩形为背景，探索动点运动过程中产生的数学问题．已知四边形是矩形，，是它的一条对角线，点是平面内的一个动点，且始终等于，作线段的垂直平分线，分别交直线，，于点，，． （1）如图1，小敏画出了点在线段的延长线上时的图形．判断此时四边形的形状，并证明你的结论； （2）如图2，小捷画出了点与点重合时的图形．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）保持（2）中的矩形形状不变，小琪继续改变点的位置（不再与点重合），且其他条件不变．请直接写出直线经过点时，的度数． 2025~2026学年第一学期九年级期末学业诊断 数学 （考试时间：上午8：00−9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置． 【11题答案】 【答案】10 【12题答案】 【答案】##0.8 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2 【15题答案】 【答案】## 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 【16题答案】 【答案】（1）, （2）, 【17题答案】 【答案】 解：四边形是菱形． 理由：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】（1）反比例， （2）2175 （3） 【20题答案】 【答案】每套应降价150元 【21题答案】 【答案】（1）③ （2）雕塑的实际高度为 【22题答案】 【答案】 （1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在五边形中，， ∴五边形是等腰五边形； （2）①等腰五边形的底角相等；②连接，则；（3） 【23题答案】 【答案】（1） 解：四边形是正方形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 略 ∴四边形是正方形； （2） 解：，理由如下： 连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，点与点重合， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴，点是中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴； （3）或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $