2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟卷（上海专用）（2027年中考新题型结构）

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷（上海专用） 数 学 · （2027中考新题型结构） · （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 涂卡必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4. 本试卷测试范围：沪教版五四制九年级上第27,28，29章 一、单选题（共24分） 1．（本题4分）已知点，，都在抛物线上，则大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．（本题4分）若，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 4．（本题4分）已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（      ） A． B． C． D． 5．（本题4分）为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 6．（本题4分）抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则的取值范围为（     ） A． B．或 C．或 D． 二、填空题（共48分） 7．（本题4分）已知二次函数的图象经过点，则_______________． 8．（本题4分）将二次函数向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线的解析式为______． 9．（本题4分）将二次函数化为的形式，结果为_____． 10．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且．若，则点的坐标是________． 11．（本题4分）在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离为_________． 12．（本题4分）如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 13．（本题4分）求值：________． 14．（本题4分）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 15．（本题4分）“五星红旗你是我的骄傲”，五星红旗中包含着数学知识，五角星中每一个角都是顶角为的等腰三角形，这样的三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为________． 16．（本题4分）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中：①0；②；③；④，正确的结论是______填序号）． 17．（本题4分）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 18．（本题4分）如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上（）．请画出点A、B、C、D分别关于的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是___________． 三、解答题（共78分） 19．（本题10分）按要求解答下列问题： (1)已知实数a、b满足，求的值． (2)已知，求的值． 20．（本题10分）计算： 21．（本题10分）如图，在中，D为上一点，E为上一点，已知，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 22．（本题10分）综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 23．（本题12分）某商场购进一批商品，进价为每件40元，售价为每件60元，每天可卖出100件；如果每件商品的价格每上涨1元，则每天少卖2件．物价局规定，该类商品的利润率不得超过． (1)每件商品的售价定为多少元时，商场销售该商品每天可获利2250元？ (2)当售价定为多少元时，每天可获得最大利润，并求出最大利润． 24．（本题12分）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为. (1)①判断：函数_________“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的“3倍点”的坐标为_____________. (2)若抛物线上有两个“2倍点”，求的取值范围； (3)若函数的图像上存在唯一一个“k倍点”，且当时，n的最小值为，求k的值. 25．（本题14分）在平面直角坐标系中，为坐标原点．抛物线顶点坐标为点，与轴交于点．点在轴上，其横坐标为，点坐标为． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)连结，，以，为邻边作平行四边形． ①当轴将平行四边形分成两部分时，求的值； ②当此抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随增大而增大时，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷（上海专用） 数 学 · （2027中考新题型结构） · （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 涂卡必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4. 本试卷测试范围：沪教版五四制九年级上第27,28，29章 一、单选题（共24分） 1．（本题4分）已知点，，都在抛物线上，则大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ ， ∴ ． 2．（本题4分）若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知比例设参数，代入待求分式化简求值． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴． 3．（本题4分）如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：A、，解得，符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得，不符合题意； D、，解得，不符合题意． 4．（本题4分）已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（本题4分）为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】根据解直角三角形和相似三角形的判定和性质，逐项判断即可． 【详解】解：①已知和，则在中，，即，故①可以； ②在中，，即， 在中，，即， ， ，可求出，故②可以； ③，， ， ， ， ， ，故③可以； ④已知，，，则，只知道和，求不出，故④不可以； 综上所述，求出，间距离的有3组． 6．（本题4分）抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则的取值范围为（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】将恒成立的问题转化为两点到对称轴的距离关系，按抛物线开口方向分类讨论求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点，，且为抛物线， ∴，对称轴为直线． ∵，， ∴两点到对称轴的距离分别为，． 当时，抛物线开口向上， ∵恒成立， ∴，即， ∵， ∴，解得． 当时，抛物线开口向下， ∵恒成立， ∴，即，解得， ∵， ∴． 综上，的取值范围为或． 二、填空题（共48分） 7．（本题4分）已知二次函数的图象经过点，则_______________． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，整理即可求出的值. 【详解】解：二次函数的图象经过点， 将，代入解析式，可得 整理得， 移项计算得. 8．（本题4分）将二次函数向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到结果． 【详解】解：原抛物线解析式为， 将抛物线向右平移个单位，可得解析式， 再将得到的抛物线向下平移个单位，可得新的解析式为． 9．（本题4分）将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【详解】解：． 10．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且．若，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：与位似，原点是位似中心，且， 相似比为， 又， 点的坐标是，即． 11．（本题4分）在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离为_________． 【答案】 【分析】根据比例尺定义得到比例关系，计算实际距离后进行单位换算即可． 【详解】解：设这两地的实际距离是， 根据题意得 解得 ∵ ∴ 即这两地的实际距离是． 12．（本题4分）如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 13．（本题4分）求值：________． 【答案】 【分析】先代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算减法． 【详解】解：． 14．（本题4分）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 【答案】 【分析】根据迎水坡的坡度是计算即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（本题4分）“五星红旗你是我的骄傲”，五星红旗中包含着数学知识，五角星中每一个角都是顶角为的等腰三角形，这样的三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为________． 【答案】 或 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，取中点连接，利用直角三角形斜边中线定理及等腰三角形性质证得为“黄金三角形”；根据“黄金三角形”定义分点与重合、两种情况，结合等腰三角形判定与性质、相似三角形性质列方程求解． 【详解】解：在中，，， ， 取的中点，连接， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， 若是“黄金三角形”，分两种情况讨论： ①当点与点重合时，即为，符合题意， ； ②当为顶角时，即， ， ，， ，， ， 设，则， ，， ， ，即， 整理得，解得（负值舍去）， ； 综上所述，的长为或． 16．（本题4分）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中：①0；②；③；④，正确的结论是______填序号）． 【答案】 【分析】对于①，根据图象判断、、的符号即可；对于②，由对称性可知二次函数的图象与轴的交点为与，则；对于③，由对称轴为即可判断；对于④，将与都用表示，结合的符号进行判断． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵二次函数的图象交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， ∵二次函数的图象交轴于点， ∴由二次函数的对称性可知，另一个交点为， ∴，故②错误， ∵，且， ∴，即， ∴， 综上，正确的结论为③④． 17．（本题4分）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】连接并延长，过点作交于点，过点作交延长线于点，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代值求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点作交于点，过点作交延长线于点， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 18．（本题4分）如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上（）．请画出点A、B、C、D分别关于的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是___________． 【答案】 / 【分析】尺规作图作出点P、Q、R、S．连接，设正方形的边长为1，，，运用正方形性质和折叠性质证明点Q在上，点R在上，点S在上，点P在上，８个小三角形全等，．根据，得，代入，，得到方程，解方程求出x的值，即可得到的长，即可计算的正切值． 【详解】以点A为圆心，以长为半径画弧交于另一点， 分别以这点和点H为圆心，以大于点H和这点之间的距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点， 从点A向两弧交点作射线， 在射线上取点P，使点P和点A到的距离相等． 以同样方法作出点Q、R、S． 连接，，设正方形的边长为1，，， ∵正方形中，， 令，则， ∵， ∴， 解得， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证图中四个直角三角形、、、互相全等， 由折叠知，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在上， 同理点R在上，点S在上，点P在上， ∴小正方形与8个全等的小直角三角形密铺在大正方形内， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴． 三、解答题（共78分） 19．（本题10分）按要求解答下列问题： (1)已知实数a、b满足，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：实数a、b满足， ∴． （2）解： ∴ ∴． 20．（本题10分）计算： 【答案】 【详解】解： ． 21．（本题10分）如图，在中，D为上一点，E为上一点，已知，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又，， ∴， 又， ∴； (2) 【分析】（1）先证明，再结合即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 22．（本题10分）综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 【答案】(1)方案一中的长度为，方案一不可行； (2)方案二可行，理由如下： 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点， ∴四边形和是矩形， ∴，，，， 设，则， ∵坡道的坡度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴方案二可行． 【分析】过作于点，可得四边形是矩形，则，，由题意可知，坡道的坡度为，所以，解得，然后通过，然后与比较即可； 过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点，则有四边形和是矩形，所以，，，，设，则，根据题意得，然后证明，根据，即，解得，所以，，则，然后与比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，坡道的坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为，且， ∴方案一不可行， 答：方案一中的长度为，方案一不可行； （2）略． 23．（本题12分）某商场购进一批商品，进价为每件40元，售价为每件60元，每天可卖出100件；如果每件商品的价格每上涨1元，则每天少卖2件．物价局规定，该类商品的利润率不得超过． (1)每件商品的售价定为多少元时，商场销售该商品每天可获利2250元？ (2)当售价定为多少元时，每天可获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)每件商品的售价定为65元时，商场销售该商品每天可获利2250元 (2)当售价定为72元时，每天可获得最大利润，最大利润为2432元 【分析】（1）根据总利润单件利润销售量列一元二次方程求解，结合利润率限制舍去不符合条件的解； （2）建立利润关于售价的二次函数关系式，结合售价的取值范围，利用二次函数的增减性求最大利润． 【详解】（1）解：设每件商品的售价为x元， 进价为40元， 每件利润为元， 售价为60元时每天可卖100件，每上涨1元少卖2件， 每天的销售量为（件）， 每天获利2250元， 解得． 利润率不得超过， 最高售价为元， ，不符合题意，舍去， ； （2）解：设每天获得的总利润为w元， 由题意得， ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 当时，w随x的增大而增大． 最高售价为72元， 当时，w取得最大值，（元）． 24．（本题12分）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标倍的点（为常数，且），则把该函数称为“倍函数”，该点称为“倍点”，例如：“2倍函数”，其“2倍点”坐标为. (1)①判断：函数_________“2倍函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的“3倍点”的坐标为_____________. (2)若抛物线上有两个“2倍点”，求的取值范围； (3)若函数的图像上存在唯一一个“k倍点”，且当时，n的最小值为，求k的值. 【答案】(1)①不是；②或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据“2倍函数” “3倍函数”的定义，设出“2倍点”“3倍点”的坐标，代入原函数解答即可； （2）根据“2倍函数” 的定义，设出“2倍点”的坐标，代入解答即可； （3）根据“倍函数”的定义，设“倍点”的坐标为，代入原函数解答即可． 【详解】（1）解：设“2倍点”的坐标为，代入得，此方程无解， 不是“2倍函数”． 设函数的图像上的“3倍点”的坐标为，代入得： ， 解得：或 函数的图像上的“3倍点”的坐标为． （2）解：抛物线上有两个“2倍点”， 设“2倍点”坐标为，代入得 ， 整理得，， ∵抛物线有两个“2倍点”， ，  解得：， 的取值范围为：且； （3）解：设“k倍点”坐标为， ， 整理得，， ∵图像上存在唯一一个“k倍点”， ， ， ，即n是关于m的二次函数，图像开口向上， ∴对称轴为直线， 当时，的最小值为，根据对称轴与取值范围的关系，分类讨论： ①，即， ，解得，； ，不符合题意，舍去． ②当时，， 时取到最小值， ，整理得，， 解得，，（舍去）； ③当时，， 时取到最小值， ，整理得，，，无解； 综上所述，k的值为． 25．（本题14分）在平面直角坐标系中，为坐标原点．抛物线顶点坐标为点，与轴交于点．点在轴上，其横坐标为，点坐标为． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)连结，，以，为邻边作平行四边形． ①当轴将平行四边形分成两部分时，求的值； ②当此抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)①的值为或；② 【分析】（1）由抛物线解析式可直接得到点的坐标，令，求解的值，可得点的坐标； （2）将点的坐标代入抛物线解析式即可得解； （3）①分三种情况讨论：若点在轴的正半轴（含坐标原点）；若点在轴的负半轴，点在轴左侧时；若点在轴的负半轴，点在轴右侧时，根据全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，将面积问题转化为点与点的横坐标之间的数量关系，列方程求解即可；②分三种情况讨论：当时，点在对称轴左侧；当时，点与顶点重合；当时，点在对称轴右侧，画出对应图象即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为点，与轴交于点， ∴， 当时，， ∴； （2）解：∵点落在抛物线上，点坐标为， ∴， 整理得，解得，， ∴点的坐标为或； （3）解：①若点在轴的正半轴（含坐标原点）， ∵，， ∴点在点的右侧，以，为邻边作平行四边形，此时平行四边形均在轴右侧，不存在轴将平行四边形分成两部分，故此情况不存在； 若点在轴的负半轴，点在轴左侧时，如图，设交轴于点，过点作轴交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵轴将平行四边形分成两部分， ∴，即， ∴，即， ∴，即， 解得或（不合题意，故舍去）， 即的值为； 若点在轴的负半轴，点在轴右侧时， 同理可得，， ∵轴将平行四边形分成两部分， ∴，即， ∴，即， ∴， 解得， 综上，的值为或； ②当时，点在对称轴左侧，此时内部的点的纵坐标随增大而减小，不符合题意； 当时，点与顶点重合，此时内部无抛物线的点，不符合题意； 当时，点在对称轴右侧，此时内部的点的纵坐标随增大而增大，符合题意； 综上，的取值范围是：． 学科网（北京）股份有限公司 $