5.3.2 极大值与极小值 课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

5.3.2 极大值与极小值 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 如图，函数y＝f(x)的图象. 思考1：观察函数y＝f(x)在点x1、x3处的函数值f(x1)、f(x3)，与它们“附近”各点处的函数值相比有什么特点? f (x1) f(x3) y O a b y=f(x) x1 x2 x3 x4 f(x1)比x1“附近”各点处的函数值都大. f(x3)比x3“附近”各点处的函数值都大. x f (x2) f(x4) y x O a b y=f(x) x1 x2 x3 x4 思考2:观察函数y＝f(x)在点x2、x4处的函数值f(x2)、f(x4)，与它们“附近”各点处的函数值相比有什么特点? f(x2)比x2“附近”各点处的函数值都小. f(x4)比x4“附近”各点处的函数值都小. 极值点与极值 一般地，设函数的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)，则称x0为函数的一个极大值点，且在x0处取极大值，例如a和； (2)，则称x0为函数的一个极小值点，且在x0处取极小值，例如b和. 极大值点与极小值点都称为极值点； 极大值与极小值都称为极值. 知识梳理 追问：(1)函数 在极值点处的切线有什么特征？这说明导数值有何特点？ (2)函数 在极值点“附近”的切线有什么特征？这说明导数值有何特点？ (1)切线都是水平的，导数值都等于0. f (x1) f(x3) y x O a b y=f(x) x1 x2 x3 x4 f (x2) f(x4) (2)极值点“附近”左侧和右侧的切线斜率符号相反，导数值异号. (3)以为例，判断如果 ′()=0，则一定是函数的极值点吗？ (3)不一定，′(x)=3x2，从而′(0)=0，但0不是极值点 x y o y=x3 f ′(x0)=0 x0是函数 f(x) 的极值点 x0是函数 f(x) 的极值点 f ′(x0)=0 结论：f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件. (4)函数 y=f (x)在x=x0处取得极值的充分条件是什么？ x0左右侧导数异号 f ′(x0)=0 x0为极值点 (5)函数的极大值一定大于极小值吗？函数的极大值与极小值是否有大小关系？ 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值． 极小值 极大值 函数图象的升降可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象. 归纳总结 例1 求下列函数的极值. (1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝. 解：(1)f'(x)=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2. 令f'(x)=0，解得x1=-1，x2=0，x3=1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表: x (-∞，-1) -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，+∞) f'(x) - 0 - 0 + 0 + f(x) ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗ ∴当x=0时，f(x)有极小值且f(x)极小值=0，没有极大值. 当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表: 归纳总结 求可导函数f(x)的极值的步骤: ①求导数f'(x). ②求方程f'(x)=0的根. ③观察f'(x)在方程f'(x)=0的根左右两边的符号， 如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值； 如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值. 例2 已知函数f(x)=x3－x2＋ax－2. (1)若函数的极大值点是﹣1，求a的值； (2)若函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围. 解:(1)f′(x)＝x2－2x＋a， 由题意有f′(﹣1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝﹣3， 则f′(x)＝x2－2x－3， 经验证可知，f(x)在x＝﹣1处取得极大值，故a＝﹣3. (2)由题意有方程x2－2x＋a＝0有两个不等实根， ∴△＝(﹣2)2－4a＞0，解得a＜1， 故a的取值范围是(﹣∞，1). 因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须检验． 1.(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( 　 　) A.在(1，2)上函数f(x)是增函数 B.在(3，4)上函数f(x)是减函数 C.在(1，3)上函数f(x)有极大值 D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点 2.函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为 . ABC 0 3.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( 　 ) A.－e B.－1 C.1－e D.0 4.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　) A.(-1，2) B.(-3，6) C.(-∞，-1)∪(2，+∞) D.(-∞，-3)∪(6，+∞) B D 求可导函数y＝f (x)的极值的方法 解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是___________； (2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是___________． 极大值 极小值 因此，x=e是函数的极大值点，极大值为f(e)=，没有极小值. (2)函数f(x)=的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=， 令f'(x)=0，解得x=e. x (0，e) e (e，+∞) f'(x) + 0 - f(x) ↗ ↘ $