5.3.3 第2课时 导数在实际问题中的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

第5章 导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 1 5.3.3 最大值与最小值 第2课时 导数在实际问题中的应用 2 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 3 PART 01 新知学习 探究 4 一 面积、容积的最值问题 ［例1］ （对接教材例8）如图所示， 是边长为 的正方形硬纸片， 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角 三角形，再沿虚线折起，使得，， ， 某厂商要求包装盒的容积(单位：最大，试问 应取何值？并求出此 时包装盒的高与底面边长的比值. 四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点， 在边 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设 . 返回导航 5 【解】 因为 . 所以 . 令,得（舍去）或 . 因为当时， ； 当时， . 返回导航 6 所以在 时取极大值也是唯一的极值，故为最大值，所以此时包 装盒的底面边长为，高为 ， 即此时包装盒的高与底面边长的比值为 . 返回导航 利用导数解决实际问题的基本思路 （1）实际问题往往涉及变量之间的变化，因而就产生了函数关系，这时 就可以利用导数解决实际问题. （2）导数是解决实际问题的基本方 法之一.利用导数解决生活中的实际 问题的基本思路是： 返回导航 8 ［跟踪训练1］ （1）在函数的图象与 轴围 成的封闭图形内作一内接矩形 ，则可作矩形的最大面 积为( ) A. B. C. D.27 √ 返回导航 9 解析：选B．设，在抛物线上，若，，则点 的 坐标为 ， 所以矩形的面积可表示为， ， 则 ， 令，解得或 （舍去）， 当时，；当时， ，可得 在上单调递增，在 上单调递减，所以矩形的最 大面积为 ．故选B. 返回导航 10 （2）已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高 的 值为_____. 解析：设圆柱的底面半径为 ， 则， ， 所以圆柱的表面积 . 所以 ， 又圆柱的体积， ， 返回导航 11 令，得，所以，所以 只有一个极值点，故当 时圆柱的容积最大. 又，所以 . 即当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为 . 返回导航 12 二 用料（费用）最省问题 ［例2］ 某出版社出版某一读物，1页上所印文字占去 ，上、下 边要留空白.左、右两侧要留 空白.出版商为降低成本，应选用 什么尺寸的纸张？ 【解】 设印字部分的矩形宽为，则高为 ，故纸张面积 .则，令 ， 得（舍去），.又当时，，当 时，，故可知当时， 取得极小值，也是最小值，此时纸宽 为，高为.故应选用 的 纸张. 返回导航 13 利用导数解决实际问题的一般步骤 （1）抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式<m></m>； （2）求函数<m></m>的导函数<m></m>,并解方程<m></m>，即求函数可能的极值点； （3）比较函数<m></m>在区间端点的函数值和极值点的函数值的大小，得出 函数<m></m>的最大值或最小值； （4）根据实际问题的意义给出答案. 返回导航 14 ［跟踪训练2 ］ 为了应对比赛，某游泳跳水馆将对泳池进行检修，已知 泳池深度为，其容积为 ，如果池底每平方米的维修费用为 150元，设入水处的较短池壁长度为 ，且据估计较短的池壁维修费用与池 壁长度成正比，且比例系数为 ，较长的池壁维修费用满足代数 式，则当泳池的总维修费用最低时 的值为( ) A.25 B.30 C.35 D.40 √ 返回导航 15 解析：选A．设泳池维修的总费用为 元，则由题意得 ， 则 ， 令，解得 ， 当时， ； 当时， ， 故当时， 有最小值． 因此，当较短池壁为 时，泳池的总维修费用最低．故选A． 返回导航 16 三 利润最大问题 ［例3］ 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售价格 （单位：元/千克）满足关系式 .其中， 为常数.已知销售价格为5元/千克 时，每日可售出该商品11千克. （1）求 的值； 【解】因为当时，，所以，解得 . 返回导航 17 （2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格 的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大. 【解】由（1）可知，该商品每日的销售量 ， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 ， . 从而 . 令，解得或 （舍去）. 返回导航 18 当变化时，， 的变化情况如表所示： 4 0 - 极大值 由表可得，是函数在区间 内的极大值点，也是最大值点.所 以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 返回导航 19 （1）经济生活中实际问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为 自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产 活动. （2）关于利润问题常用的2个等量关系 ①利润 收入-成本； ②利润 每件产品的利润×销售件数. 返回导航 20 ［跟踪训练3］ 某厂生产某种商品件的总成本 （单位：万元），已知产品单价的平方与产品件数 成反比，生产100件这 样的产品单价为50万元，则产量定为____件时，总利润最大. 25 解析：设产品的单价为万元，根据已知，可设，其中 为比例系数. 因为当时，，所以 . 所以，， . 返回导航 21 设总利润为 万元， 则 ，则 . 令，得 . 故当时，，当时，，所以当 时，函 数 取得极大值，也是最大值，即产量定为25件时，总利润最大. 返回导航 22 PART 02 课堂巩固 自测 23 1.某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量 （单位：万件）的函数 关系式为 ，则该生产厂家获取的最大年利润为( ) A.16万元 B.18万元 C.19万元 D.21万元 解析：选C.由题意， ， 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减， 所以当时， 有最大值，此时最大值为19万元.故选C. √ 返回导航 24 2.用总长为 的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比 宽多 ，要使它的容积最大，则容器底面的长为( ) A. B. C. D. √ 返回导航 25 解析：选B.设该容器底面的宽为，则长为 .因为长方体的 棱长之和为 ， 所以长方体的高为，因为 ，所以 ， 故容积， ， 则，令，整理得 ， 解得 ； 令，解得 . 故在上单调递增，在上单调递减.所以当 时，容积 取得极大值，也是最大值.此时长方体的宽为，长为 .故选B. 返回导航 26 3.现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为 ，若要使其体积最大，则其高为 ( ) A. B. C. D. √ 返回导航 27 解析：选B.设圆锥形漏斗的高为 ，则圆锥的底面半径为 ， 圆锥的体积，则 . 令，则或 （舍去）. 因为，所以当时， ， 当时， . 所以当高时，圆锥的体积 取得极大值，也是最大值.故选B． 返回导航 28 4.某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料，若以每吨 元零售，销 量（单位：吨）与零售价 （单位：元）有如下关系： ，则该批材料零售价定为____元时利润最大， 最大利润为________元. 30 23 000 解析：设该商品的利润为 元，由题意知， ， 则 ， 令，得或 （舍去）， 当时，；当时， ， 因此当时，取得极大值，也是最大值，且 . 返回导航 29 1.已学习：导数在实际问题中的应用. 2.须贯通：在解决实际问题的数学建模过程中，一定要认真读题、审题， 分析各个量之间的关系，恰当设出变量. 3.应注意：在解决问题的过程中一定要注意自变量的实际意义及范围. 返回导航 30 $