5.3.2 极大值与极小值（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

5.3.2 极大值与极小值 知识点 1 函数极值、极值点的概念 必备知识 清单破 1.极大值与极大值点 一般地,若存在δ>0,当x∈(x1-δ,x1+δ)时,都有f(x)≤f(x1),则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值,称x1为 函数f(x)的一个极大值点. 2.极小值与极小值点 一般地,若存在δ>0,当x∈(x2-δ,x2+δ)时,都有f(x)≥f(x2),则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值,称x2为 函数f(x)的一个极小值点. 3.极值与极值点 函数的极大值、极小值统称为函数的极值,函数的极大值点、极小值点统称为函数的极值点. 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.极大值与导数之间的关系 知识点 2 函数的极值与导数的关系 x x1左侧 x1 x1右侧 f '(x) f '(x)>0 f '(x)=0 f '(x)<0 f(x) ↗ 极大值f(x1) ↘ 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 2.极小值与导数之间的关系 x x2左侧 x2 x2右侧 f '(x) f '(x)<0 f '(x)=0 f '(x)>0 f(x) ↘ 极小值f(x2) ↗ 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.函数的极值点是平面内的一个点吗? 2.导数为0的点一定是函数的极值点吗? 3.函数的极大值一定比极小值大吗? 4.若函数f(x)在(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不单调,这种说法正确吗? 5.在可导函数的极值点处,该函数图象的切线与x轴一定平行或重合吗? 6.函数的极值点一定只能出现在区间内部吗?区间的端点能不能成为极值点? 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.函数的极值点是一个实数.如f(x)在x=a处取得极值,则实数a是f(x)的一个极值点. 2.不一定.只有导数为0的点的两侧导数值异号时才是极值点,但极值点处导数值必定为0,所 以函数在一点处的导数为0是函数在这点处取得极值的必要不充分条件. 3.不一定.函数的极大值一定大于相邻的极小值,对于不相邻的极大值与极小值不能确定大小 关系.如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,但f(x1)<f(x4). 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 4.正确.根据极值的概念,极值点两边导数值不同号,所以函数不单调. 5.一定.由极值的概念可知,可导函数在极值点处的导函数值为0,即函数图象的切线的斜率为 0,所以切线与x轴平行或重合. 6.根据函数极值的定义,若x1为极值点,则存在δ>0,当x∈(x1-δ,x1+δ)时,都有f(x)≤f(x1)或f(x)≥ f(x1),极值点x1的左、右两侧应该都存在f(x),故函数的极值点只能出现在区间内部,区间的端点 不能成为极值点. 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求函数的导函数f'(x); (3)由f'(x)=0,求出全部的根; (4)列表:方程的根将整个定义域划分成若干个区间(如果根中含有参数,则需根据参数的范围 分类划分区间),把x, f'(x), f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内; (5)得结论:若导数在根x0附近左正右负,则函数在x0处取得极大值;若左负右正,则取得极小值. 2.有关含参数的函数的极值问题 (1)求含参数的函数的极值,要根据f'(x)=0的不同类型对参数进行分类讨论.通常要考虑以下 几个方面: 定点 1 利用导数解决函数的极值问题 关键能力 定点破 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 ①方程f'(x)=0有无实数根; ②方程f'(x)=0的实数根是否在定义域内; ③方程f'(x)=0的实数根的大小. (2)由极值求参数的值或取值范围,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0, 极值点两侧的导数值异号.解题步骤如下: ①求函数的导函数f'(x); ②由极值点处的导数值为0,列出方程(组),求解参数. 　　注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件. 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知f(x)=[x2-(a+3)x+a+3]ex-a+1,a∈R,求f(x)的极值. 解析    f(x)的定义域为R,f'(x)=[x2-(a+3)x+a+3+2x-(a+3)]ex=x[x-(a+1)]ex, 令f'(x)=0,得x=0或x=a+1, ①当a=-1时,f'(x)≥0恒成立,则f(x)在R上单调递增,无极值; ②当a<-1时,列表如下: x (-∞,a+1) a+1 (a+1,0) 0 (0,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值f(a+1) ↘ 极小值f(0) ↗ 所以f(x)的极大值为f(a+1)=(1-a)(ea+1+1),极小值为f(0)=4; 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 x (-∞,0) 0 (0,a+1) a+1 (a+1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值f(0) ↘ 极小值f(a+1) ↗ 所以f(x)的极大值为f(0)=4,极小值为f(a+1)=(1-a)(ea+1+1). 综上,当a=-1时,f(x)无极值; 当a<-1时,f(x)极大值=f(a+1)=(1-a)(ea+1+1),f(x)极小值=f(0)=4; 当a>-1时,f(x)极大值=f(0)=4,f(x)极小值=f(a+1)=(1-a)(ea+1+1). ③当a>-1时,列表如下: 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 (1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求a,b的值; (2)已知函数f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数)在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数 m的取值范围. 思路点拨    (1)求f'(x) 建立关于a,b的方程组 解方程组 求出a,b的值并检验. (2)由题知f'(x)的图象在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点 列关于m的不等式组 解不 等式组,得到m的取值范围. 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由f(x)=x3+ax2+bx+a2得 f'(x)=3x2+2ax+b, 依题意得 整理得  解得 或  当a=-3,b=3时, f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0, 故f(x)在R上单调递增,不可能在x=1处取得极值,所以a=-3,b=3不符合题意,舍去. 而当a=4,b=-11时,经检验符合题意,故a,b的值分别为4,-11. (2)由f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x得 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6. 因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点, 所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的图象在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示. 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念   所以 解得m>3,故实数m的取值范围是(3,+∞). 易错警示    解决利用极值求函数中的参数问题时,注意f'(x0)=0是x0为极值点的必要不充分条 件,(1)中由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,注意检验极值的存在条件,防止漏掉检验导致解题 错误. 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图 象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的 个数问题提供了方便. 2.利用导数解决函数问题中,函数的零点问题是比较复杂的综合问题,常常在高考压轴题中出 现.解决此类问题可通过极值的正用和逆用,分类讨论、数形结合等思想方法进行有效处理, 解题的关键是掌握求单调区间和极值的方法. 定点 2 利用函数极值解决函数零点(方程的根)问题 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex(a∈R,且a为常数). (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)若a=-1,函数f(x)与g(x)= x3+ x2+m的图象有3个不同的交点,求实数m的取值范围. 思路点拨    (1)对f(x)求导  f'(x)>0, f(x)单调递增, f'(x)<0, f(x)单调递减. (2)构造函数h(x)=f(x)-g(x),则问题转化为函数h(x)有3个不同的零点,求出h(x)的极值,进而得到 关于m的不等式组,求解即可. 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=1时,f(x)=(x2+x-1)ex,则f'(x)=x(x+3)ex. 令f'(x)=0,得x=0或x=-3, 当x<-3时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当-3<x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 综上所述,f(x)的单调递减区间为(-3,0),单调递增区间为(-∞,-3),(0,+∞). (2)a=-1时,f(x)=(-x2+x-1)ex, 令h(x)=f(x)-g(x)=(-x2+x-1)ex- ,则h'(x)=-(x2+x)(ex+1), 令h'(x)=0,解得x=0或x=-1. 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 列表如下: x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,+∞) h'(x) - 0 + 0 - h(x) ↘ 极小值h(-1) ↗ 极大值h(0) ↘ ∴h(x)在x=-1处取得极小值h(-1)=- - -m,在x=0处取得极大值h(0)=-1-m. 若函数f(x),g(x)的图象有3个不同的交点,则h(x)有3个不同的零点, ∴ 即 得- - <m<-1,故m的取值范围为 . 第5章 导数及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 $$