精品解析：山西省大同市第二中学校2025-2026学年度高二第一学期期末学情调研监测数学试题

2025-2026学年度第一学期期末学情调研监测 高二数学 时间：150分钟 分值：150分 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线方程化为斜截式，得出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】直线化为斜截式，设其倾斜角为， 则直线的斜率为， 因为，所以， 故选：A. 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则S5=（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式有关计算得到，进而利用求和公式得到答案. 【详解】设等差数列{an}的公差为d，则由已知可得，所以S5=5a1+d=5（a1+2d）=5×4=20. 故选：B. 3. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】令，求其导数，由条件分析出，求出值即可. 【详解】令，则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 且直线的斜率为2， 所以曲线在处的切线斜率为， 即，解得. 故选：B 4. 直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得方程. 【详解】设 ，。 因为是的中点，所以：， 即： 点和都在椭圆上： ， 将 (1) 和 (2) 相减： ， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为 1，其方程为： ，即. 直线过点，点在椭圆内， 所以直线与椭圆相交，满足条件. 故选：D 5. 已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得直线过定点，则定点到圆心距离等于圆心到直线距离时可得最小值. 【详解】圆 ，则直线过定点， 因定点在圆内， 定点到圆心的距离为，所以直线与圆相交弦长的最小值为. 故选：A. 6. 已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ） A. 40 B. 60 C. 32 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】运用等比数列的性质，成等比数列. 【详解】由等比数列的性质可知，数列是等比数列，即数列4，8，是等比数列，因此． 故选:B. 7. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及已知条件求出，，利用余弦定理得到与的关系，进而求出离心率. 【详解】由双曲线的定义知，，又， 所以，. 在中，，， 由余弦定理得，， 即，整理得，即. 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 8. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 二、多选题（本题3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的有（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中线面的位置关系判断A，根据空间共面定理的推论判断B，根据空间数量积的定义判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为直线的方向向量为，平面的一个法向量为， 则，所以，所以或，故A错误； 对于B：若空间中任意一点，有， 因为，所以，，，四点共面，故B正确； 对于C：若，则， 所以与夹角为钝角或平角，故C错误； 对于D：因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD 10. 等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（ ） A. B. C. 当时最小 D. 时的最小值为. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由等差数列是递增数列可得公差可对A判断求解；由可求得可对B判断求解；由再结合二次函数性质即可对C求解判断；令即即可对D判断求解． 【详解】A：等差数列是递增数列可得公差，故A正确； B：由，即，解得，故B正确； C：由， 因为所以可得二次函数图象开口向上，对称轴为， 由于为正整数，所以当时，取得最小值，故C正确； D：令，即，即，解得或，故D错误； 故选：ABC. 11. 下列说法正确的是（ ）. A. 直线与直线平行，则 B. 抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值为 C. 椭圆上的点到直线距离的最小值为 D. 已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，即可判断A，求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义判断B，设，利用点到直线的距离公式及辅助角公式判断C，求出双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式判断D. 【详解】对于A：因为直线与直线平行， 则，解得或， 当时直线与直线重合，故舍去； 当时直线与直线平行，符合题意； 所以，故A正确； 对于B：抛物线，即，焦点为，准线为， 过点作准线，垂足为，则， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：在椭圆上任取一点，设， 那么点到直线的距离为： ，其中 . 所以椭圆上的点到直线距离的最小值为，故C错误； 对于D：双曲线的离心率为，可得， 即，解得， 双曲线的渐近线方程为， 因此点到双曲线的渐近线的距离为，故D正确． 故选：ABD 三、（填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】或或或． 【解析】 【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁； 方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解． 13. 已知数列中，满足，则数列的通项公式为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法和裂项相消法求和，即可求通项公式. 【详解】由 当时，由上式可得： ， 当时，满足， 故答案为： 14. 函数有两个极值点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于有两个不同的根，令，利用导数法求出单调性，数形结合即可求解. 【详解】由得， 因为函数有两个极值点，所以有两个异号零点， 即有两个不同的根，显然，则有两个不同的根，令， 则与的图象有两个不同的交点， ，当和时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在时，取得极小值，作出图象如图： 由图可知，所以，所以m的取值范围是 . 故答案为： 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在时取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）递增区间是，递减区间是； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点求出值并验证，再解导数大于0、小于0的不等式即得. （2）利用（1）中单调区间求出极小值及端点处的函数值即得. 【小问1详解】 函数，求导得， 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此，，当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，函数的在上单调递增，在上单调递减， ，， 所以函数在区间上的最小值是. 16. 已知数列满足，． （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） 由，得， 所以，又， 故是首项为1，公比为2的等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）对递推公式进行变形，结合等比数列的定义进行证明即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则，． 所以， 所以． 两式相减，得， 所以， 所以． 17. 已知函数， （1）讨论的单调性． （2）若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） 当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，最大值小于等于即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. 【小问2详解】 因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故 . 18. 在四棱锥中，底面ABCD，，，，M是PD中点. （1）求证：平面PAB； （2）若， ①求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面MAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点， 为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）①；②存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的余弦值为； ②存在点满足题意，，， 假设存在点满足题意，设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学情调研监测 高二数学 时间：150分钟 分值：150分 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则S5=（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 3. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 6. 已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ） A. 40 B. 60 C. 32 D. 50 7. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 二、多选题（本题3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的有（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 10. 等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（ ） A. B. C. 当时最小 D. 时的最小值为. 11. 下列说法正确的是（ ）. A. 直线与直线平行，则 B. 抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值为 C. 椭圆上的点到直线距离的最小值为 D. 已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为 三、（填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 13. 已知数列中，满足，则数列的通项公式为________. 14. 函数有两个极值点，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在时取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值. 16. 已知数列满足，． （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前n项和． 17. 已知函数， （1）讨论的单调性． （2）若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 18. 在四棱锥中，底面ABCD，，，，M是PD中点. （1）求证：平面PAB； （2）若， ①求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面MAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $