精品解析：福建莆田市仙游县第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

仙游二中2026-2027学年高二数学上学期 第一次月考卷（数学） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2. 已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A. 55 B. 50 C. 100 D. 58 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】由题意，. 故选：A. 3. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则 ，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 4. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】为等比数列，得到，结合对数运算法则得到. 【详解】为等比数列，，故， 且， 故. 故选：B 5. 设中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，结合大边对大角得，则，进而得到． 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，， 则为锐角， ，则． 故选：B． 6. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 7. 若直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可. 【详解】如图， 当直线过点时，设直线的斜率为，则； 当直线过点时，设直线的斜率为，则， 所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是．故选B． 故选：. 8. 在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“数列”定义逐项判断可得答案. 【详解】在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且， 则称数列为“数列”，“数列”不是递增或递减数列． 对于A，因为，所以是递增数列，A错误； 对于B，因为，所以是递增数列，B错误； 对于C，，满足且，故是“数列”，C正确； 对于D，因为， 所以是递减数列，D错误． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用倾斜角与斜率的关系及截距的定义一一判定选项即可. 【详解】对于A，若直线倾斜角大于，则直线的斜率存在负值，故A错误； 直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，设直线与轴交点为，则与轴交点为， 当时，直线过原点，斜率为，故方程为； 当时，直线的斜率， 故直线方程为，即，故C错误； 直线斜率定义为倾斜角的正切值，但不能是，故D错误. 故选:ACD. 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当时，最小 C. 使得成立的最小自然数 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据条件得到，，，A错误；B选项，均为负数，当时，，B正确；C选项，计算出，，C错误；D选项，去绝对值，作差法比较出大小 【详解】A选项，，故， 故，，， ，故，A错误； B选项，因为，所以均为负数，当时，， 所以当时，最小，B正确； C选项，，， 使得成立的最小自然数，C错误； D选项，， ， 故，D正确 11. 若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（ ） A. B. 是奇数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A列出前9项即可判断；找出奇偶三循环规律，计算2026除以3的余数判断奇偶得出B；C项通过裂项计算偶数项和，对比即得；D项通过结合扇形面积公式与平方和结论化简验证等式. 【详解】对于A，数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以，故A正确； 对于B，将斐波那契数列从第一项起按每三个数分成一段，则在每一段中前两个为奇数，后一个为偶数， 因为，所以是在第676段的第一个数，为奇数，故B正确； 对于C，由，得，，…，， 累加得，故C错误； 对于D，由，得 , 因,则 ,所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由倾斜角求出直线斜率，得到直线的斜截式方程. 【详解】由题意得，直线斜率为， 故直线的斜截式方程为. 故答案为： 13. 已知是公比为的等比数列，若，则______. 【答案】25 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】因为 所以 故答案为：25 14. 已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 【答案】29 【解析】 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的结构为：在和之间插入个3， 即数列由，个3，，个3，等依次构成， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共7分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在平面直角坐标系中，已知直线过点. （1）若直线又过点，求直线的方程； （2）若直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）由过两点可求直线的斜率，再由点斜式即可求解； （2）设：，代入，利用基本不等式可得，即可求解面积的最小值. 【小问1详解】 因为过点，，所以斜率为， 所以：，即； 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设：， 代入得，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以面积的最小值是8. 16. 已知分别是的角所对的边，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理对已知式进行边角互化，并根据余弦定理求得，从而得到； （2）由已知条件求出，再根据三角形面积公式求得的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ，所以， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 解得， 所以. 17. 已知等差数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依次得，，即可求解； （2）由等差数列求和公式、裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 由可得， 由可得，，公差， 故. 【小问2详解】 由（1）得， 故 则. 18. 已知数列满足 （1）求证：为等差数列； （2）设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 由． 则数列是以为首项，2为公差的等差数列. （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）要证明为等差数列，可根据等差数列的定义，通过计算是否为常数来判断； （2）①先根据(1)求出的通项公式后，进而可得到的通项公式，求出的表达式，然后利用错位相减法求出， ②由恒成立，可将m分离出来，通过求数列的最大值来确定m的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 所以数列的通项公式为； ①由（1）得; 则． 于是， 以上两式相减得： 所以 ②由，得．令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值． 由，即，解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是 19. 记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）考虑利用作差，结合，得出，根据等差数列求得数列的通项公式； （2）根据的通项公式得到的通项公式，然后对奇数项与偶数项分组求和即可； （3）根据的通项公式，得到的前项和的表达式，然后根据的奇偶性分别讨论数列不等式的恒成立问题即可求解. 【小问1详解】 令，则， 化简得，又，所以 由题意 于是两式相减可得 化简可得 因为，所以，所以， 所以为首项为3，公差为2的等差数列. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由上可知，当为奇数时，设，则，. 当为偶数时，设，则， 所以当为偶数时,. 【小问3详解】 由上可知，当为偶数时，设，, ,即 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上， 最接近对称轴的整数为，所以当时,有最小值，即. 当为奇数时，设，. ，化简得 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上 最接近对称轴的整数为，所以当时有最小值.即. 综上所述， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仙游二中2026-2027学年高二数学上学期 第一次月考卷（数学） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A. 55 B. 50 C. 100 D. 58 3. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 4. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 30 5. 设中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当时，最小 C. 使得成立的最小自然数 D. 11. 若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（ ） A. B. 是奇数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为______. 13. 已知是公比为的等比数列，若，则______. 14. 已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共7分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在平面直角坐标系中，已知直线过点. （1）若直线又过点，求直线的方程； （2）若直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值. 16. 已知分别是的角所对的边，且. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 已知等差数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 18. 已知数列满足 （1）求证：为等差数列； （2）设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 19. 记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $