精品解析：湖南省衡阳市第八中学2026届高考适应性考试（一）数学试题

2026届衡阳市八中高三年级高考适应性考试（一） 数学试卷 时量：120分钟 命题人：彭韬 审题人：高三数学组 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则命题p的否定是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（ ） A. 1.24 B. 1.44 C. 1.2 D. 0.96 4. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ） A. 48 B. 32 C. 24 D. 16 5. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 定义在的增函数满足：，且，.已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 二、多选题 9. 如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的正弦值为 B. 平面 C. 直线与是异面直线 D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 10. 假设某厂有两条包装食盐的生产线甲､乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为，随机变量服从正态密度函数，其中，则（ ）附：随机变量，则， A. 正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为 B. 生产线乙的食盐质量 C. 曲线的峰值为 D. 生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，则该判断是合理的. 11. 函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的解集是 B. C. 时，取得最大值 D. 的解集是 三、填空题 12. 已知函数，则______ . 13. 已知等比数列为递增数列，且的等差中项为，则公比为________． 14. 定义在上的可导函数满足，且在上有成立.若实数满足，则的取值范围是__________． 四、解答题 15. 某兴趣小组为了解某市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表． 年龄 周平均锻炼时长 合计 少于4h 不少于4h 50以下 100 50及以上 75 100 合计 65 200 （1）补全列联表，试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关； （2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4h，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷．记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4h的人数为X，求X的分布列和数学期望． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 附：，． 16. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，且． （1）求； （2）若，是中点，，求的面积． 17. 已知为数列的前n项和，且满足． （1）求的通项公式； （2）设，，若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的周长为6，为的中点，为坐标原点，直线的斜率分别为，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：为定值； （3）求面积的最大值． 19. 已知函数. （1）讨论的极值点个数； （2）若有两个极值点，直线过点. （i）证明：； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届衡阳市八中高三年级高考适应性考试（一） 数学试卷 时量：120分钟 命题人：彭韬 审题人：高三数学组 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的定义求结论. 【详解】因为，又，所以， 故选：D． 2. 已知命题p：，，则命题p的否定是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，可解. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题p：，，的否定为：，. 故选：C 3. 甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（ ） A. 1.24 B. 1.44 C. 1.2 D. 0.96 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布期望值公式以及方差公式计算可得结果. 【详解】根据题意可得命中次数服从二项分布，即； 即可得均值为，解得； 所以的方差为. 故选：B 4. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ） A. 48 B. 32 C. 24 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解. 【详解】1与4相邻，共有种排法， 两个2之间插入1个数， 共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法， 则总共有种密码． 故选：C 5. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 故选：A． 6. 定义在的增函数满足：，且，.已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】应用已知条件分别构造抽象函数模型计算得出再应用等比数列的求和公式计算可得. 【详解】，可令，又，则， ， ． ． 故选：B． 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【详解】由可得：. 则 . 故选：C 8. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 二、多选题 9. 如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的正弦值为 B. 平面 C. 直线与是异面直线 D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用定义法作出异面直线所成的角，然后求解即可判断A，利用线面平行的判定定理即可判断B，利用平面的性质判断C，作出截面利用菱形的定义判断D. 【详解】对于A，如图所示， 取的中点，连接，因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 故或其补角即为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为， 在中，，所以， 即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确； 对于B，由选项A可知，，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图所示， 连接，因为，，所以，所以四点共面， 所以直线与直线共面，故C错误； 对于D，如图所示， 取的中点，连接，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，同理，所以， 所以四边形为平行四边形， 则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形， 又，所以四边形为菱形，故D正确， 故选：ABD 10. 假设某厂有两条包装食盐的生产线甲､乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为，随机变量服从正态密度函数，其中，则（ ）附：随机变量，则， A. 正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为 B. 生产线乙的食盐质量 C. 曲线的峰值为 D. 生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，则该判断是合理的. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质计算判断AD；利用正态密度函数的意义、性质判断BC作答. 【详解】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为，则，其中， 则，A正确； 对于B，随机变量服从正态密度函数，有，因此生产线乙的食盐质量，B错误； 对于C，因为，当且仅当时取等号，因此当时，，C正确； 对于D，，说明生产线甲抽到质量大于的可能性很低， 则随机抽取两包质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确. 故选：ACD 11. 函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的解集是 B. C. 时，取得最大值 D. 的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象可得出以及的解集，根据图象的上升下降可得以及的解集.由此可判断A、D项；由图象分析可知，结合极值点代入计算后可判断B项，联立即可得到的关系，代入导函数整理即可判断C项. 【详解】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增， 所以的解集是，故A项错误； 对于B项，因为，结合A可得，故B项正确； 对于C项，又为二次函数，根据三次函数的图象可知. 因为函数在以及处取得极值， 故，故， 因为，所以时，取得最大值，故C项正确； 对于D项，由可得或. 由图象知，当时，. 又的解集为，所以由可得； 由图象知，当时，. 又的解集为. 所以由可得. 所以，的解集是，故D项错误. 故选：BC. 三、填空题 12. 已知函数，则______ . 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的性质和对数求值即可求解. 【详解】因为函数，且， 所以， 故答案为：. 13. 已知等比数列为递增数列，且的等差中项为，则公比为________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用等差中项的性质建立方程，结合等比数列的性质化简方程，求解参数即可. 【详解】因为的等差中项为，所以， 则，由等比数列性质得， 得到，解得或， 由于为递增数列，故符合题意. 故答案为：5 14. 定义在上的可导函数满足，且在上有成立.若实数满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据已知判断函数的奇偶性和单调性，再将目标不等式转化为，利用单调性和奇偶性可解. 【详解】记，则 由可得 所以为偶函数 记，则 因为当时，，当时， 所以，当时，有最小值 又因为在上，即 所以 所以在上单调递增， 由可得 即 所以，即，解得. 故答案为： 四、解答题 15. 某兴趣小组为了解某市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表． 年龄 周平均锻炼时长 合计 少于4h 不少于4h 50以下 100 50及以上 75 100 合计 65 200 （1）补全列联表，试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关； （2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4h，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷．记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4h的人数为X，求X的分布列和数学期望． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 附：，． 【答案】（1）周平均锻炼时长与年龄有关. （2） 随机变量的数学期望. 【解析】 【分析】（1）根据题意完成列联表，根据表中数据，计算卡方值，即可求解； （2）根据抽样比可得抽取的人中，周平均锻炼时长少于小时的有人，不少于小时的有人，即可利用超几何分布的概率公式求解. 【小问1详解】 由题意可得： 年龄 周平均锻炼时长 合计 少于4h 不少于4h 50以下 50及以上 合计 零假设：周平均锻炼时长是否与年龄无关， 由列联表中的数据，可得， 又，根据的独立性检验，我们推断假设不成立， 即周平均锻炼时长与年龄有关. 【小问2详解】 抽取的人中，周平均锻炼时长少于小时的有人， 不少于小时的有人， 所以所有可能的取值为， ，，， 所以随机变量的分布列为： 随机变量的数学期望. 16. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，且． （1）求； （2）若，是中点，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简计算即可； （2）利用等腰三角形的性质及勾股定理、三角形的面积公式计算即可. 【小问1详解】 由正弦定理知， 又， 所以， 即， 所以， 所以，，故； 【小问2详解】 由，所以知为等腰三角形， 取中点N，连接AN，则， 不妨设，则， 由勾股定理知， 即，所以的面积为. 17. 已知为数列的前n项和，且满足． （1）求的通项公式； （2）设，，若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系式求解即可； （2）由题意有，利用分组求和法和裂项相消法分别求出，再根据数列的单调性分别求出，即可得解. 【小问1详解】 由， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， 故， 随的增大而减小， 所以， ， 所以， 因随的增大而增大， 所以当时，， 因为对任意的，都有， 所以. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，的周长为6，为的中点，为坐标原点，直线的斜率分别为，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：为定值； （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明：由题意知直线的斜率存在且不为0，设，， 则，，， 所以，即， 得， 因为，，所以， 又，所以，为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义得到的关系式，再根据椭圆的标准方程即可求解； （2）设出点的坐标，结合椭圆方程得到坐标之间的关系式，利用点差法结合斜率公式即可得证； （3）将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到的表达式，结合直线的方程得到的表达式，由三角形面积公式结合换元法可得面积的最大值. 【小问1详解】 因为的周长为6，所以， 又，所以，， 故， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，所以． 由题可得直线的方程为， 将与联立，消去并整理得， 所以， 则． 因为，所以直线的方程为，即， 又，所以直线的方程为， 与联立， 消去并整理得， 则，， 所以 ． 故的面积 ， 令，则， ，当，即时取等号， 因此面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：解决解析几何中与面积有关的最值或范围问题的一般步骤： 列式：常用直接法或分割法求出面积的表达式； 定参：得到目标函数解析式后，利用方程根的判别式大于0等，明确自变量的限制条件； 求值：利用配方法、基本不等式、函数单调性等求出面积的最值或取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论的极值点个数； （2）若有两个极值点，直线过点. （i）证明：； （ii）证明：. 【答案】（1）当时，极值点个数为；当时，极值点个数为2. （2）（i）证明：由（1）知，，不妨设， 则，，所以， 要证成立，只需证明，只需证明， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以成立. 所以. （ii）证明： 由得， 要证成立， 只需证明， 因为， 所以只需证明， 只需证明， 只需证明，即， 因为成立，所以成立. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的极值点的个数； （2）（i）由（1）知，，不妨设，且，，依题意只需证明，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明； （ii）依题意可得，则只需证明，即证明，结合（i）的结论即可得证. 【小问1详解】 因为定义域为，且， 当时，恒成立， 在上单调递增，极值点个数为； 当时，对于函数，， 所以恒成立， 所以在上单调递增，极值点个数为； 当时，由得，或， 由得，或；由得，. 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 所以为极大值点，为极小值点，极值点个数为. 综上，当时，极值点个数为；当时，极值点个数为2. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $