精品解析：湖北省襄阳市谷城县第二中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025年10月．．二中月考测试题 年级： 高二 科目： 数学 命题人： ．．． 审题人： ．．． ★祝考试顺利★ 1、请同学们按要求把选择、填空题的答案填在第二卷的答题卡上，未填写在指定位置不得分． 2、除作图、涂答题卡用铅笔外，其它解答一律采用0.5的黑色中性笔作答（未按要求作答不得分）． 3、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟． 本试卷共4页，19小题，满分150分． 第Ⅰ卷　　（选择题　共 58分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（ ） A. 至多一枚硬币正面朝上 B. 只有一枚硬币正面朝上 C. 两枚硬币反面朝上 D. 两枚硬币正面朝上 3. 如图，在四面体中，．点M在上，且，N为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 从1，2，3，4，5这5个数中随机选出2个数，则这2个数都是偶数的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.1 5. 在空间直角坐标系中，已知点，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 给出下列命题，其中错误的命题是（ ） A. 向量，，共面，即它们所在的直线共面 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 7. 已知空间向量满足，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 8. 已知空间三点，，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）． A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数小于，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与互斥 11. 对于概率的基本性质，下列选项正确的是（ ） A. 如果事件A与事件B互斥，那么 B. 如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C. 如果，则 D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知向量，向量，则与的夹角的大小为__________. 13. 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为________． 14. 甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为______，甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 年的疫情让人刻骨铭心，年某地的疫情又出现了反弹，为切实维护广大人民群众生命安全和身体健康，扎实开展疫情防控工作，当地应对新冠肺炎疫情工作领导小组研究决定，除保障防疫工作、医疗服务、城市运行、值班执勤工作外，对全城车辆和行人采取严格的管控措施．该地区要进行全员核酸检测，由于工作量巨大，招募了名志愿者，记录了这些志愿者的年龄，将志愿者的年龄进行分段统计，并制成频率分布直方图，结果如下图表： 年龄 志愿者人数 8 40 4 （1）求a，b，并利用所给的频率分布直方图估计所有志愿者的平均年龄（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）； （2）若从年龄在，的志愿者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出人，求这人在同一年龄组的概率． 16. 如图，在棱长为4的正方体中，，设，，. （1）试用，，表示； （2）求的长. 17. 在空间直角坐标系中，已知点，，. （1）若，求的值； （2）求的最小值. 18. 如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，. （1）求证：A，E，，F四点共面； （2）若，求x+y+z 的值. 19. 在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月．．二中月考测试题 年级： 高二 科目： 数学 命题人： ．．． 审题人： ．．． ★祝考试顺利★ 1、请同学们按要求把选择、填空题的答案填在第二卷的答题卡上，未填写在指定位置不得分． 2、除作图、涂答题卡用铅笔外，其它解答一律采用0.5的黑色中性笔作答（未按要求作答不得分）． 3、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟． 本试卷共4页，19小题，满分150分． 第Ⅰ卷　　（选择题　共 58分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用两次勾股定理求解. 【详解】连接， 在中，， 在中，. 故选：D. 2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（ ） A. 至多一枚硬币正面朝上 B. 只有一枚硬币正面朝上 C. 两枚硬币反面朝上 D. 两枚硬币正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】由对立事件的概念直接判断即可. 【详解】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”. 故选：C. 3. 如图，在四面体中，．点M在上，且，N为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过向量的加法运算用表示，根据向量的共线关系用表示，最后根据减法法则用基底表示. 【详解】因为N为的中点，所以， 又因为点M在上，且， 所以， . 故选： 4. 从1，2，3，4，5这5个数中随机选出2个数，则这2个数都是偶数的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.1 【答案】D 【解析】 【分析】先求出从5个数中随机选出2个数，共有种情况，再求出从2个偶数中选2个，有种情况，即可得答案. 【详解】这5个数中2，4为偶数，从这5个数中随机选出2个数共有种情况，其中都是偶数的有种情况， 则所求的概率. 故选：D. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间两点间距离公式求出三角形边长作答. 【详解】点，则， ，， 而，所以一定为直角三角形. 故选：C 6. 给出下列命题，其中错误的命题是（ ） A. 向量，，共面，即它们所在的直线共面 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】A 【解析】 【分析】根据共面向量的性质，结合基底的定义、投影向量的定义进行逐一判断即可. 【详解】对于A，向量可以通过平移后共面，但是它们的所在直线不一定是共面直线，故A错误； 对于B，，，即， 所以，，，四点共面，故B正确； 对于C，根据空间向量基底的性质可知这两个向量共线，故C正确； 对于D，在上的投影向量为， 故D正确. 故选：A. 7. 已知空间向量满足，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值. 【详解】由题设，， 所以. 故选：D 8. 已知空间三点，，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量求出两向量夹角的余弦值，确定夹角的度数，利用正弦定理求出，即可求出平行四边形面积为. 【详解】因为，，，所以,， 所以，，所以 ，所以， 平行四边形面积为，在中与正弦定理有： ，设平行四边形的面积为， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）． A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可判定A、B选项；利用投影向量的定义可判定C、D选项. 【详解】因为 ，故A不正确，B正确． 如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC， 故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为， 由题意易得故，C不正确． ，D正确． 故选：BD 10. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数小于，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与互斥 【答案】BC 【解析】 【分析】通过确定样本空间中样本点的数量，利用古典概型概率公式计算各事件的概率，再根据事件独立和互斥的定义判断事件间的关系. 【详解】根据题意，抛掷两次，其样本空间共有36个样本点． 事件的样本空间，有18个样本点； 事件的样本空间有9个样本点，错误； 正确： ，正确； 事件与事件能同时发生，所以不互斥，D错误， 故选：BC． 11. 对于概率的基本性质，下列选项正确的是（ ） A. 如果事件A与事件B互斥，那么 B. 如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C. 如果，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质逐项判断即得. 【详解】对于A，事件A与事件B互斥，则，而可以为1，A错误； 对于B，事件A与事件B互为对立事件，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知向量，向量，则与的夹角的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹角的坐标表示来求解. 【详解】因为， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 13. 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由线面平行可得，由向量垂直的坐标表示可构造方程求得的值. 【详解】直线平面，，即，解得：. 故答案为：. 14. 甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为______，甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为______． 【答案】 ①. ，或，； ②. 【解析】 【分析】利用相互独立事件同时发生的乘法公式、对立事件概率公式及互斥事件至少一个发生的加法公式计算，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A、B、C，， 由题意，，所以， 解得或； 设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的事件为D， 则，所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为. 故答案为：，或，；. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 年的疫情让人刻骨铭心，年某地的疫情又出现了反弹，为切实维护广大人民群众生命安全和身体健康，扎实开展疫情防控工作，当地应对新冠肺炎疫情工作领导小组研究决定，除保障防疫工作、医疗服务、城市运行、值班执勤工作外，对全城车辆和行人采取严格的管控措施．该地区要进行全员核酸检测，由于工作量巨大，招募了名志愿者，记录了这些志愿者的年龄，将志愿者的年龄进行分段统计，并制成频率分布直方图，结果如下图表： 年龄 志愿者人数 8 40 4 （1）求a，b，并利用所给的频率分布直方图估计所有志愿者的平均年龄（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）； （2）若从年龄在，的志愿者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出人，求这人在同一年龄组的概率． 【答案】（1），；38（岁） （2） 【解析】 【分析】（1）由分布直方图得频率后可得相应人数即值，再由频数分布表可得，同一组数据用该组数据区间的中点值乘以频率然后相加可得估计平均值； （2）确定两个区间内抽取的人数，把它们编号后，用列举法写出任选2人的所有基本事件，并可得出人在同一年龄组的基本事件，计数后由概率公式计算概率． 【小问1详解】 根据题意， 所有志愿者的平均年龄的估计值为 （岁）； 【小问2详解】 从年龄在，的志愿者中利用分层抽样选取了6人， 则年龄在的志愿者有4人，记为，，， 年龄在的志愿者有2人，记为， 若从这6人中选2人，则有，，，，，，，，，，，，，，共15种可能的结果， 其中满足在同一年龄组的有，，，，，，共7种结果． 所以这2人在同一年龄组的概率为P=． 16. 如图，在棱长为4的正方体中，，设，，. （1）试用，，表示； （2）求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）根据数量积的运算律求出，即可得解. 【小问1详解】 依题意可得 【小问2详解】 依题意可得， 所以 ， 所以，即. 17. 在空间直角坐标系中，已知点，，. （1）若，求的值； （2）求的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积坐标运算公式计算求参； （2）先由空间两点间的距离公式计算，再结合二次函数值域求解. 【小问1详解】 由题意可得，， 因为， 整理得：，解得或. 【小问2详解】 由空间两点间的距离公式， 得 ， 当时，有最小值. 18. 如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，. （1）求证：A，E，，F四点共面； （2）若，求x+y+z 的值. 【答案】（1）证明： ， 所以A，E，，F四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明； （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，，， . 19. 在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，．因为为中点，所以， 所以，，所以，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，计算得，即可证明结论； （2）先求出，再利用向量夹角公式即可得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，， ，所以与所成角的余弦值为． 【点睛】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $