精品解析：广东深圳南方科技大学附属中学2025-2026学年高三下学期高考适应性训练数学试卷

2025-2026学年春季学期高三年级高考适应性训练 数学 （本试卷共4页 满分150分考 试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答时，务必把答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. i B. －i C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得：，分母有理化得：. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得或，解得或，所以， 所以，A错；，B错；，C错；，D对. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； B. 当相关系数时，两个变量负相关； C. 甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D. 线性回归直线必过样本数据的中心点； 【答案】D 【解析】 【分析】利用回归直线的性质,相关系数和决定系数的规定及残差分析的分析方式，逐项判断即可. 【详解】选项A：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，说明观测值与预报值之间的差距越大，数据分布越分散，因此回归方程的预报精确度就越差，所以选项A错误； 选项B：当相关系数时，说明两个变量正相关，所以选项B错误； 选项C：模型的决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好,，所以模型甲的拟合效果更好，所以选项C错误； 选项D：回归直线的定义规定回归直线必过样本数据的中心点，所以选项D正确. 5. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】是定义域为的奇函数，可得， ，令，得， 令，得， 又函数为上的奇函数，故. 6. 在中，角所对边分别为，已知向量， 且，同时满足，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，结合余弦定理得到，再由，边化角得到，即可求解. 【详解】由，得：  ，  展开整理得： ，  由余弦定理​，代入得， 因为，所以， 又， 将边化为角：  ， 又，所以 ， 代入展开得：  ，  整理得： ，又， 所以，即 所以， 因此是等边三角形. 7. 曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 最终的曲线如图一 ， 可以理解为点到直线的距离， 是上一点，所以原题等价于求上一点到直线的距离的最小值， 观察图象得在第一象限的部分到直线的距离更近， 对第一象限的圆弧，过圆心作的垂线，垂线长， 到的距离的最小值， 所以的最小值为. 8. 已知数列满足，其中.若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题设中的递推关系即为，据此可求及，根据对任意的恒成立，可求实数的取值范围. 【详解】由可得， 而，故即， 即， 因为对任意的恒成立，故对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 而，故对任意的恒成立， 由化简可得对任意的恒成立， 而，而当时，故. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在直三棱柱中，．为的中点，为棱的中点，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 四点共面 C. 平面 D. 平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面的基本性质判断A，利用异面直线的定义确定为异面直线判断B，应用线面平行的判定证明并判断C，由面面垂直的判定、性质证明判断D. 【详解】由，，且，平面， 所以平面，则平面，A对， 由平面，平面，则平面， 而平面，且，则为异面直线，B错， 若为的中点，连接，为的中点，则且， 而，且，即，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 由平面，平面，则平面，C对， 由直棱柱中平面，平面，则平面平面， 由，则，而平面，平面平面， 所以平面，结合C的结论，知平面，D对. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前99项和为99 D. 若数列满足，则的前50项和为2132 【答案】ABD 【解析】 【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出可判断选项A；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故选项AB正确； 选项C，数列的前项和 ，故C项错误； 选项D，， 则前项和为， 故D项正确. 11. 已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D. 直线，（为坐标原点）的斜率之积为 【答案】AC 【解析】 【分析】通过联立方程组，整理得到一元二次方程，由韦达定理求得交点坐标的关系，由抛物线的定义和性质，逐一判断各个选项. 【详解】由题意可知，直线一定过焦点， 联立方程组，整理得， 设， 则， 即 当时，，由交点弦长公式可知，A选项正确； ， 则，B选项错误； 直线，则，则，， 因为，，所以，所以，，三点共线，C选项正确； ，所以，D选项错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 垂直于直线且与曲线相切的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】切线与垂直，则切线斜率为，且， 设切点的坐标为，则， 代入曲线方程中，得，所以切点的坐标为， 故该切线方程为，即. 13. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________. 【答案】64 【解析】 【详解】已知随机变量，且， 由正态分布的对称性可得与关于对称， 即，则，解得. 令，展开式中各项系数之和为. 14. 如图，粒子在四个容器中移动，当在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在容器时，粒子停止移动．当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则______，______． 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【分析】B的相邻容器：A、C，A的相邻容器：B、D，D的相邻容器：A、C，C到达后停止移动 解法一：(1)表示粒子在第3小时首次到达C，说明前2小时未到达C，第3小时到达C，到达每个容器的概率都为，以此进行计算； (2)分析粒子每小时运动到C的概率找规律，列出计算式，利用数列求和知识求出均值． 解法二：设表示n小时后，粒子首次进入C容器的概率，分别设，，表示n小时后，粒子在A，B，D容器的概率.分析，，，之间的递推关系，可求的值，再结合期望的关系，可求. 【详解】解法一：(1)第0小时，在B； 第1小时，只能到A，概率为； 第2小时，可能到B，可能到D，概率为； 第3小时，到C，概率为； 故； (2)由题意知；；；； ； 由此可得，偶数小时时，粒子都在B或D，无法停止，故； 奇数小时时： 由可知：， 即； 令， 则 将式两边同时乘以可得： 式减式可得：， ； 故，即． 解法二： 设表示n小时后，粒子首次进入C容器的概率， 分别设，，表示n小时后，粒子在A，B，D容器的概率. 当时，则，，，， 则，因为，，则， 则，则，化简得． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，设函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 【答案】（1），， （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式、二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质求解即得； （2）结合条件求出角，再由余弦定理即可求得. 【小问1详解】 由 ， 故该函数的最小正周期为， 对称轴方程满足，解得，． 故函数的最小正周期为；对称轴方程为，． 【小问2详解】 由得，即， ，则，故，解得， 由余弦定理得，代入得， 化简得，解得或，经检验均符合题意． 故或. 16. 如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为的正方形，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 在五面体中，底面是正方形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，平面平面， 所以. 因为为中点，，所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形得，利用线面平行判定推出平面，再由线面平行性质得，结合中点及边长得，证出四边形为平行四边形从而，最后用线面平行判定定理证得平面. （2）利用等腰三角形和面面垂直的性质，证明两两垂直，建立空间直角坐标系.然后分别求出平面和平面的法向量，最后用向量夹角公式计算出两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，作，. 因为为正方形，所以. 因为，所以. 因为，，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以，即两两互相垂直. 如图建立空间直角坐标系， 则. 因此，由题可知平面的一法向量为. 设平面的法向量为. 则即 令，则.于是. 设平面与平面夹角为，则 . 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在小于0的极小值，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数，讨论 和两种情况下，函数的单调性； （2）结合（1）的结论，根据在处取得极小值，由极小值小于，得关于的不等式，构造函数，并分析函数的单调性，可求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，且 ①当时，则，所以在区间上单调递增； ②当时，，令，可得， 时，时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知若在区间上单调递增，没有极值点， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在处取得极小值， 则，即. 令，由可得，是单调递增函数， 因为，所以，即的取值范围为. 18. 教育部印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持五育并举，践行“健康第一”教育理念，全面提高学生健康水平，加强学校体育工作，落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时．体育活动时间甲、乙、丙三人做投篮练习，每次仅一人投且只能投一次，之后等可能地选定另外两人当中任何一人投篮，第1次由甲投篮． （1）前三次投篮练习结束时，求丙仅投篮一次的概率； （2）求第n次由甲投篮的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前n次投篮练习中丙投篮的次数为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）列出丙仅投篮一次的情况，然后计算概率. （2）根据题意，找出与，然后根据等比数列通项公式求解即可. （3）先求出的可能取值，然后计算，然后根据求出. 【小问1详解】 由题意得投篮顺序可以是甲乙丙、甲丙乙或者甲丙甲， 所以前三次投篮练习结束时，丙仅投篮一次的概率为. 【小问2详解】 由题知＝1，若第n＋1次由甲投篮，那么第n次投篮的一定不是甲， 所以必有，即， 即，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 【小问3详解】 因为第n次分别由甲、乙、丙投篮的概率和为1，且乙、丙投篮的概率相等， 所以由（2）得第n次由丙投篮的概率为， 设第n次投篮时，丙投篮的次数为，则的可能取值为0，1， 所以，显然， 所以． 19. 已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． （1）求的方程． （2）求面积的最小值． （3）试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）6 （3）存在定点 【解析】 【分析】（1）当直线垂直于轴时，求出，通过面积和离心率求出双曲线方程． （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，写出面积表达式，从而求得最值． （3）设，整理表达式，由分子分母系数比例关系可求出． 【小问1详解】 设的焦距为，则．当直线垂直于轴时， 将代入的方程，得，解得， 所以，又， 所以的面积为． 由，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，易知直线斜率不为0， 设直线． 由，得， ， 易知，所以． ， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为1， 则，所以面积的最小值为6． 【小问3详解】 假设存在，不妨设， 则 将和代入， 可得 若为定值，则， 解得，此时， 所以轴上存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年春季学期高三年级高考适应性训练 数学 （本试卷共4页 满分150分考 试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答时，务必把答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. i B. －i C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； B. 当相关系数时，两个变量负相关； C. 甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D. 线性回归直线必过样本数据的中心点； 5. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对边分别为，已知向量， 且，同时满足，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7. 曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，其中.若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在直三棱柱中，．为的中点，为棱的中点，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 四点共面 C. 平面 D. 平面 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前99项和为99 D. 若数列满足，则的前50项和为2132 11. 已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D. 直线，（为坐标原点）的斜率之积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 垂直于直线且与曲线相切的直线方程为______. 13. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________. 14. 如图，粒子在四个容器中移动，当在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在容器时，粒子停止移动．当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则______，______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，设函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 16. 如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为的正方形，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在小于0的极小值，求的取值范围. 18. 教育部印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持五育并举，践行“健康第一”教育理念，全面提高学生健康水平，加强学校体育工作，落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时．体育活动时间甲、乙、丙三人做投篮练习，每次仅一人投且只能投一次，之后等可能地选定另外两人当中任何一人投篮，第1次由甲投篮． （1）前三次投篮练习结束时，求丙仅投篮一次的概率； （2）求第n次由甲投篮的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前n次投篮练习中丙投篮的次数为，求． 19. 已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． （1）求的方程． （2）求面积的最小值． （3）试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $