2025-2026学年高二上学期期末模拟考试数学试题

高2024级高二上学期期末模拟考试 数学参考答案 一．单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B D C B B A 二．多选题 题号 9 10 11 答案 CD ABD ACD 三．填空题 12． 13． 14．6 15．解：（1）由，解得，即， 显然轴，，点在轴上方，则， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，，，线段的中点为，而直线的斜率为1， 因此线段的中垂线方程为，即， 由，解得，于是所求圆的圆心为，半径， 所以所求圆的标准方程为.   16．解：（1）众数：75， 第1至第6组的频率分别为， 平均数：； （2）根据题意可知，成绩落在的学生人数为20人，成绩落在的学生人数为30人， 总体平均数：， 总体方差：. 17．解：（1）由四边形ABCD是正方形，得，而平面平面ABCD， 平面平面平面ABCD，则平面PCD， 又平面PCD，于是， 由，点为线段PC的中点，得， 又平面PBC，因此平面PBC，而平面DEF， 所以平面平面PBC. （2）由（1）知平面PCD，而，则平面PCD， 在平面PCD内过D作交PC于点G，显然直线DA，DC，DG两两垂直， 以D为原点，直线DA，DC，DG分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 由，，得，， 设，则，设平面DEF的法向量为， 则，令，得， 而平面PCD的法向量为，则， 而，解得，此时． 18．解：（1）由已知，得，得故椭圆C的方程为：. （2）设，原点到直线的距离，即， 由得，， ，， ， ， ，同理， (i)， ， 由，得，故， 为定值4. （ii）由，得，由（i） 的周长为， ，当且仅当时取“”， 当时，的周长的最大值为. 19．解：（1）因为直线和距离为1， 由题意点到直线的距离与到点的距离相等， 由抛物线的定义可得动点的轨迹方程为： （2）设，，，， （ⅰ）设直线的方程为，的方程为，因为直线与直线垂直，所以， 联立得， 则，，，， 所以，同理可得 当时，：， 即 ， 因为，所以直线的方程为， 故当时，，此时过定点， 当时，由得，此时直线的方程为，同样经过点， 所以直线过定点，该定点为. （ⅱ）由抛物线方程得，， 则：，同理可得：， 联立得， 即，由，同理， 故， 所以，即直线，的交点在定直线上. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高二上学期期末模拟考试 数 学 第I卷 选择题 58分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列抛物线中，以直线为准线的是 A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 3．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是 A．70和50 B．70和67 C．75和50 D．75和67 4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为 A． B． C． D． 5．已知方程表示双曲线，则k的取值范围是 A． B． C． D．或 6．直线与直线平行，则 A． B．或 C． D．或 7．已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则母线与底面所成的角为 A． B． C． D． 8．已知椭圆C：上存在关于直线l：对称的点，则实数m的取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知为虚数单位，复数满足，是复数的共轭复数，则下列关于复数的说法正确的是 A． B． C． D．复数在复平面内对应的点位于第二象限 10．已知事件满足，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若互斥，则 C．若互斥，则 D．若相互独立，则 11．在棱长为2的正方体中为CD的中点，是的中点，是侧面内的一动点（不包含四个顶点），则下列结论正确的是： A．点到平面的距离为 B．三棱锥体积是定值，定值为1 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得且 第II卷 非选择题 92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．方程表示一个圆，则实数的取值范围是 . 13．已知O是边长为3的正三角形ABC的中心，点P是平面ABC外一点，平面ABC，二面角的大小为60°，则三棱锥外接球的表面积为 ． 14．已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点． (1)求直线的方程； (2)求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 16．（15分） “世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2025年4月23日是第30个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）； (2)已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差. 17．（15分） 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点． (1)求证：平面平面PBC； (2)设二面角的平面角为θ，当时，求的值． 18．（17分） 已知椭圆的短轴长为2，点，分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆的上顶点，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)不过右焦点的直线与以短轴为直径的圆相切，且与椭圆交于两点，直线与轴交点记为. （ⅰ）若，证明：为定值； （ⅱ）若，求周长的最大值. 19．（17分） 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $