精品解析：山东省菏泽市第二中学2025-2026学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题

高二级部上学期第一次月考数学试题 命题人：张治国 审核人：王永胜 （时间：120分钟 满分：150分） 遇难心不慌逢易心更细 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线 的倾斜角是 （ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 5. 把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 曲线的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 8. 已知一条直线截圆所得的弦长为定值，则该定值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 当时，与的交点是 B. 直线与都恒过 C. 若，则 D. ，使得 10. 已知圆的方程为，点是圆上任意一点，为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆的半径为4 B. 满足的点有两个 C. 的最大值为 D. 若点在轴上，则满足的点有两个 11. 已知点在圆上，点，则（ ） A. 点到直线AB的距离最小值为 B. 在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则 C. 当最小时， D. 当最大时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________． 13. 圆与圆关于直线对称，则圆的方程为______． 14. 一束光线从点发出，经直线上的点处反射后与圆相切于点，则光程长______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点． （1）若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； （2）若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 16. 已知点，，，过点A且以向量为方向向量的直线为l，点到直线l的距离为. （1）求m； （2）若，证明：四边形ABCD是等腰梯形. 17. 设直线 （1）求与直线的距离为的直线的方程； （2）求圆关于直线的对称圆的方程. 18. 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． （1）求圆的方程； （2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 19. 年月日是郑和下西洋周年纪念日，也是第个中国航海日.设立“航 海日”对于我国开发海洋、维护海权、加强海防、实现建 设航天强国和海洋强国的目的，有着十分深远的战略意义. 在某次任务中，为了保证南沙群岛附近海域航行的安全， 我国航海部门在南沙群岛的中心岛屿正西与正北两个方 向，分别设立了观测站，它们与南沙群岛中心岛屿 的距离分别为海里和海里.某时段，为了检 测观察的实际范围（即安全预警区），派出一艘观察船，始终要求巡视行驶过程中观察船 的位置到观测站的距离与南沙群岛中心岛屿的距离之商为. （1）求小船的运动轨迹方程； （2）为了探查更远的范围，航海部门又安排一艘巡艇，从观测站出发，往观测站方向直线行驶，规定巡艇不进入预警区，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二级部上学期第一次月考数学试题 命题人：张治国 审核人：王永胜 （时间：120分钟 满分：150分） 遇难心不慌逢易心更细 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线 的倾斜角是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化简为斜截式方程，即可求出斜率，从而求解倾斜角. 【详解】因为，即，所以斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，所以. 故选：D. 2. 已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：方程化为斜截式：，再依据题意分斜率是否为零即可求解；法二: 方程化为点斜式为，得到不论为何值直线都过定点，再数形结合即可求解. 【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为， 当时，直线的方程为，满足题意； 当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上， 且斜率，即，解得． 综上可得，的取值范围为． 故选：C 法二：方程化为点斜式为， 所以不论为何值，直线都过定点， 作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示， 因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即， 所以的取值范围为． 故选：C 3. 已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件确定正确选项. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以． 故选：B. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点间距离公式及线段和的性质求解. 【详解】如图，设，， ， ， 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 所以 ， 其中是以1为边长的正方形内任意一点， ，； 故， 当且仅当时，，等号成立，所以原式的最小值为. 故选：B 5. 把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出平移后的圆心，得到圆的方程. 【详解】圆的圆心为原点， 原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到， 故得到. 故选：C 6. 曲线的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画图得出结论． 【详解】由题意， 曲线，即: 或 或， 作出曲线如图所示： 曲线是以A，B，C，D四个点为圆心，半径为的四个半圆， ∴曲线的周长为． 故选：B. 7. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 8. 已知一条直线截圆所得的弦长为定值，则该定值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对圆的方程进行变形，列出方程组，解方程组即可得到动圆恒过的两个定点，最后使用两点间距离公式解出定弦长. 【详解】由可得， 令，解得或， 故动圆恒过两个定点， 故定弦长为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，直线：，则（ ） A. 当时，与的交点是 B. 直线与都恒过 C. 若，则 D. ，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D. 【详解】对于A，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，故A正确； 对于B，将点代入的方程，两方程对任意参数都成立，所以直线与都恒过，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D，假设存在，使，则， 解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即， ，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知圆的方程为，点是圆上任意一点，为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆的半径为4 B. 满足的点有两个 C. 的最大值为 D. 若点在轴上，则满足的点有两个 【答案】BC 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程确定圆心坐标与半径，可判断选项A；由圆上任意点到原点距离的最值可判断选项B；令，然后根据点在圆上，借助一元二次方程有解求解的最值，即可判断选项C；设出点的坐标，利用待定系数法可判断选项D． 【详解】选项A：圆的方程可化为，所以圆心，半径等于2，故A错误； 选项B：由于，所以圆上任意一点到原点的最大距离是， 最小距离是，因此满足的点有两个，故B正确； 选项C：令，则，所以， 将点的坐标代入圆的方程并整理，得， 依题意有，即， 解得，因此的最大值为，故C正确． 选项D：不妨设，由于，所以， 整理得．因为点在圆上， 所以，则， 因此，得， 所以符合要求的点是唯一的，故D错误． 故选：BC 11. 已知点在圆上，点，则（ ） A. 点到直线AB的距离最小值为 B. 在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，确定圆心坐标与半径，结合直线与圆的位置关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心，半径， 且，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以点到直线AB的距离最小值为，故A错误； 在中，， 当最小时，则最小，由选项A可知，的最小值为， 则，故B正确； 如图所示，当直线与圆相切时，取到最大值和最小值， 此时，切线长， 其中，则，故C错误，D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________． 【答案】或1 【解析】 【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可. 【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点， 若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1． 故答案为：或1 13. 圆与圆关于直线对称，则圆的方程为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出圆心关于直线的对称点，从而求出对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 故圆心关于直线的对称点为， 则对称圆的方程为． 故答案为： 14. 一束光线从点发出，经直线上的点处反射后与圆相切于点，则光程长______． 【答案】 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，将问题转化为求，最后利用切线长公式计算即可. 【详解】如图，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 圆心，半径， 则． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点． （1）若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； （2）若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用截距式，设直线的方程为，再根据面积和经过的得到方程组，解出即可； （2）分直线过原点和不过原点讨论即可. 【小问1详解】 由题意可设直线的方程为， 代入有，又由题意得，则， 联立解得或， 则直线的方程为或， 即或. 【小问2详解】 当直线经过原点时，则，则，即； 当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得， 即. 综上所述直线的方程为或. 16. 已知点，，，过点A且以向量为方向向量的直线为l，点到直线l的距离为. （1）求m； （2）若，证明：四边形ABCD是等腰梯形. 【答案】（1）或 （2）由（1）得或， 当时，， 当时，， 由，得， 又，，则， 即，且， 所以四边形ABCD是等腰梯形. 【解析】 【分析】（1）先确定直线l斜率，从而求出l的方程，再由点到直线的距离公式求解； （2）由，得，且，即可得证. 【小问1详解】 根据题意，以向量为方向向量的直线l斜率为， 所以l的方程为，即， 点到直线l的距离为， 得或； 【小问2详解】 略 17. 设直线 （1）求与直线的距离为的直线的方程； （2）求圆关于直线的对称圆的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意该直线与直线平行，由平行直线间的距离公式列方程即可求解； （2）利用“垂直”，“平分”即可求出圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆方程. 【小问1详解】 由题意可知该直线与直线平行， 所以设该直线方程为， 依题意，解得或， 故该直线方程为或. 【小问2详解】 圆的圆心为， 设圆心关于直线的对称点为， 则且的中点在直线上． ，解得， ， 圆关于直线的对称圆半径不变， 该对称圆方程为：． 18. 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． （1）求圆的方程； （2）若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】（1） （2）以为圆心，为半径的圆 【解析】 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【小问1详解】 因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． 【小问2详解】 设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 19. 年月日是郑和下西洋周年纪念日，也是第个中国航海日.设立“航 海日”对于我国开发海洋、维护海权、加强海防、实现建 设航天强国和海洋强国的目的，有着十分深远的战略意义. 在某次任务中，为了保证南沙群岛附近海域航行的安全， 我国航海部门在南沙群岛的中心岛屿正西与正北两个方 向，分别设立了观测站，它们与南沙群岛中心岛屿 的距离分别为海里和海里.某时段，为了检 测观察的实际范围（即安全预警区），派出一艘观察船，始终要求巡视行驶过程中观察船 的位置到观测站的距离与南沙群岛中心岛屿的距离之商为. （1）求小船的运动轨迹方程； （2）为了探查更远的范围，航海部门又安排一艘巡艇，从观测站出发，往观测站方向直线行驶，规定巡艇不进入预警区，求的取值范围. 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，由两点间距离公式表示，化简即可； （2）求出直线截距式方程，再由点到直线的距离公式求解即可； 【小问1详解】 根据已知条件设以为坐标原点，为轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据已知条件设且， 由有 ， ； ， 即， 整理得，它是以为圆心，为半径的圆． 所以小船的运动的轨迹方程为：． 【小问2详解】 由（1）可知，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为 化为一般式方程为， 根据题意，，解得，所以综上可知的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $