精品解析：云南民族大学附属高级中学2025-2026学年第一学期期末诊断测试高二数学试卷

2025—2026学年秋季学期期末诊断测试 高二年级数学试卷 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚.并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中平面，，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 不等式的解集是 D. 当时， 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在区间上为增函数 B. 直线是函数图像的一条对称轴 C. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 对任意，恒有 11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且为第二象限角，则_________. 13. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 14. 已知点，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为___________． 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别是，，．已知． （1）求角的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 17. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 18. 如图，在三棱柱−中，平面，，，，分别为，，，的中点，，． （1）求证：⊥平面； （2）求二面角的余弦值； （3）证明：直线与平面相交． 19. 在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为. （1）若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值； （2）若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足. 证明：当时，为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年秋季学期期末诊断测试 高二年级数学试卷 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚.并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的概念和运算法则计算求解． 【详解】集合，， ，故C正确． 故选：C． 2. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再求出其共轭复数，最后求． 【详解】， ， ． 故选：A． 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的定义进行计算即可. 【详解】由题意知，解得且， 即函数的定义域为. 故选：A. 4. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】因为直线，所以斜率为. 因为该直线的倾斜角为，，所以.所以. 故选：B. 5. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为， 则， 所以. 故选：A. 6. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型求解概率即可. 【详解】所有基本事件有个， 和从3，6中选共有4个，和从1，4中选1个，从2，5中选1个，共有8个， 所求概率为. 故选：D. 7. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中平面，，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直得到线线垂直，进而得到三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，求出长方体体对角线的长，得到该球的半径和体积. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又， 所以两两垂直， 所以三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球， 即该球的直径为长方体体对角线的长， 因为， 所以， 所以该球的半径为2，体积为. 故选：C 8. 如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出的坐标，确定，由直线与圆相切于点，求出，再求出，，，再由得到，进而求出离心率. 【详解】圆的圆心，半径， 双曲线中，令，解得，则， 由直线与圆相切于点，得， 又， 则， 即，于是，即， 有，解得：或，而，所以. 故选：C. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 不等式的解集是 D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据奇偶性可判断A，D选项，根据所求解析式可判断B选项，利用单调性可求解集，判断C选项. 【详解】对于选项A、D：因为是定义域为上的奇函数，所以，且， 令，则，有，所以，故D错误； ，故A正确； 对于选项B：当时，在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数， 所以是定义在上的增函数，故B正确； 对于选项C：不等式转化为，即， 因为在上恒成立，所以，解得，故C正确. 故选：ABC. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在区间上为增函数 B. 直线是函数图像的一条对称轴 C. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 对任意，恒有 【答案】BD 【解析】 【分析】首先利用二倍角的正弦与余弦公式可得，根据正弦函数的单调递增区间可判断A；根据正弦函数的对称轴可判断B；根据三角函数图像的平移变换的原则可判断C；代入利用诱导公式可判断D. 【详解】， 当时，，函数在上不是增函数，故A错误； 令，得， 显然直线是函数图像的一条对称轴，故B正确； 函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，故C错误； ，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面垂直证得线线垂直；等体积法计算三棱锥的体积；先计算三棱锥的外接球的半径，根据球的表面积公式计算即可；先找到平面的截面图形再计算截面周长. 【详解】对于A，，，， 平面，平面，平面， 又平面，，A正确； 对于B：三棱锥的体积，B错误； 对于C，三棱锥的外接球等价于正方体外接球，设其半径为， 其直径等于正方体体对角线长：， 则所求外接球的表面积为，C正确． 对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形， 为的中点（平行则四点共面），∴等腰梯形周长为，D正确． 故选：ACD． 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且为第二象限角，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解. 【详解】因为且为第二象限角，所以， 所以. 故答案为： . 13. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知等式变形可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足，等式两边同时除以可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 故答案为：. 14. 已知点，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，因此先求的最小值，由此可知当，，共线时取得最小值. 【详解】由题意知，圆心是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 记点到抛物线的准线的距离为， ，， 所以， 当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时，即，，共线时取得最小值，等号成立， 所以的最小值为6． 故答案为：6 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别是，，．已知． （1）求角的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 选①：不合题意. 选②：面积为. 选③：面积为 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出角的大小； （2）选①：由余弦定理以及判别式求解即可；选②：由余弦定理得出，进而求出面积；选③：由正弦定理得出，进而由余弦定理得出，即可得解.. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 选①：由余弦定理可得，. 即，此时，无解，不合题意. 选②：由余弦定理可得，整理得， 解得或（舍），即. 满足存在且唯一确定，则的面积为. 选③：，由正弦定理可得. 由余弦定理可得，，即. 解得， 当时，，不合题意； 所以，满足存在且唯一确定， 则的面积为 16. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【小问1详解】 由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 17. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【答案】（1）. （2）480 （3）. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果； （2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数； （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率； 【小问1详解】 由图知，，解得. 评分在的频率为； 评分在的频率为，故中位数在之间. 设这200户居民本次问卷评分的中位数为， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为. 【小问2详解】 由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户. 【小问3详解】 由（1）知，评分在的频数为， 评分在的频数为. 按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户， 则评分在内被抽取户， 分别记为，评分在内被抽取户，分别记为. 从中任意选取2户，有，共10种选法， 其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种， 这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 18. 如图，在三棱柱−中，平面，，，，分别为，，，的中点，，． （1）求证：⊥平面； （2）求二面角的余弦值； （3）证明：直线与平面相交． 【答案】（1）在三棱柱中， 平面，四边形为矩形． 又，分别为，的中点，． ，为的中点，，而， 平面． （2）； （3）［方法一］：【最优解】【通性通法】向量法 平面的一个法向量为，，， ，，与不垂直， 与平面不平行且不在平面内，与平面相交． ［方法二］：几何转化 如图4，取的中点，分别在，点，，使． 连接． 由棱柱性质得，， 平面，平面. 又，平面， 平面平面. 又平面，平面，故直线与平面相交． ［方法三］：根据相交的平面定义 如图5，设与交于，联结． 因为，所以四点共面． 因为，所以． 又，所以四边形是梯形，即直线与直线一定相交． 因为平面，所以直线与平面相交． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果； （3）根据平面一个法向量与直线方向向量数量积不为零，可得结论. 【详解】（1）略 （2）［方法一］：【通性通法】向量法 由（1）知，，．又 平面，平面． 平面，． 如图建立空间直角坐称系． 由题意得 ，，， ， ． ， 设平面的法向量为， ，， 令，则，， 平面的一个法向量， 又平面的一个法向量为，． 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为． ［方法二］： 【最优解】转化＋面积射影法 考虑到二面角与二面角互补，设二面角为， 易知，，所以． 故． ［方法三］：转化＋三垂线法 二面角与二面角互补，并设二面角为，易知平面． 如图3，作，垂足为，联结． 平面，平面，. 又，， 平面，得. 则是二面角的平面角， 设，在中，， 因为二面角 ， 所以二面角的余弦值为． （3）略 【整体点评】（2）方法一：直接利用向量法求出，属于通性通法； 方法二：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用面积射影法求出，是该问的最优解； 方法三：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用三垂线法求出； （3）方法一：利用向量证明平面的法向量与直线的方向向量不垂直即可，既是该问的通性通法，也是最优解； 方法二：通过证明与平面平行的平面与直线相交证出； 方法三：构建过直线且与平面相交的平面，通过证明直线与交线相交证出． 19. 在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为. （1）若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值； （2）若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足. 证明：当时，为定值，并求出该定值. 【答案】（1）； （2）或 （3） ① 当直线与轴垂直时，显然不成立； ② 当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，， 联立方程， ， ∵，∴ 代入韦达定理可得：，即 解得或， 当时， 直线经过点,故舍去 ∴，则，且， 当时, 由得 当过点，；当过点，. ∴点在轴的上半平面，点在轴的下半平面， 点在空间中的坐标分别为， 为定值 【解析】 【分析】（1）求得在空间中的坐标，，利用定义求解即可； （2）分点在轴的上半平面，点在轴的下半平面两种情况计算可求得结论； （3）分直线与轴垂直与直线不与轴垂直两种情况讨论求解. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系，则点在空间中的坐标分别为，，， ∴； . 【小问2详解】 由题意可知，点在空间中的坐标为，对点分类讨论， ①当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为， ∴，化简得：， 因此，在平面直角坐标中，点在轴的上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆. ②点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为， 化简得：， ∴点的轨迹方程为：或 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：对空间折叠距离的理解，求得折叠后的点的坐标是关键，平面解析几何的方程思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $